导数复习专题(重要)

第一节导数的概念及运算导数及其应用1.导数与导函数的概念(1)，即f′(x0)＝＝.知识梳理limΔx→0ΔyΔxlimΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx2.导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝.f′(x0)3.基本初等函数的导数公式f(x)＝ax(a0，a≠1)f′(x)＝_______f(x)＝logax(a0，a≠1)f′(x)＝______1xlnaaxlna4.导数的运算法则5.复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝，即y对x的导数等于的导数与的导数的乘积.yu′·ux′y对uu对x2.[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x).1.f(x)＝x(2018＋lnx)，若f′(x0)＝2019，则x0等于题型一导数的计算2.若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于3.已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝.－4命题点1求切线方程典例(1)曲线f(x)＝在x＝0处的切线方程为.题型二导数的几何意义exx－12x＋y＋1＝0(2)已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为.x－y－1＝0本例(2)中，若曲线y＝xlnx上点P的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是.引申探究(e，e)导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值k＝f′(x0).思维升华(2)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由y1＝fx1，y0－y1＝f′x1x0－x1求解即可.(3)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况.命题点2求参数的值典例(1)直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b＝.1(2)已知f(x)＝lnx，g(x)＝x2＋mx＋(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m＝.－21272命题点3导数与函数图象典例(1)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是√(2)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝.01.函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减.2.函数的极值知识梳理求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程的根；③考查f′(x)在方程的根附近的左右两侧导数值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得.f′(x)＝0f′(x)＝0极大值极小值3.函数的最值题型一不含参数的函数的单调性例1(1)函数y＝x2－lnx的单调递减区间为？12(2)已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsinx＋cosx，则f(x)的单调递增区间是_________________.f′(x)＝xcosx0，规律：确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)；(3)解不等式f′(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.题型二含参数的函数的单调性例2已知函数f(x)＝ln(ex＋1)－ax(a0).(1)若函数y＝f(x)的导函数是奇函数，求a的值；(2)求函数y＝f(x)的单调区间.2.求导后对数型函数𝑓′𝑥=𝑙𝑛𝑥+𝑎1.求导后指数型函数3.求导后二次函数(1)𝑓′𝑥=𝑎𝑥2+3𝑥+1(2)𝑓′𝑥=𝑥2+3𝑎𝑥+1(3)𝑓′𝑥=𝑥2+3𝑥+𝑎(4)𝑓′𝑥=𝑥2+𝑎(5)𝑓′𝑥=𝑥−1(𝑥−𝑎)2009()(0),()kxfxxekfx（年北京）设函数求函数的单调区间。()(1)kxkxkxfxekxeekx解：()1,gxkx令1()0(0)gxxkk由得10,(,)()0,()kxfxfxk若则当时，函数单调递减；1(,)()0,()xfxfxk当时，函数单调递增。10,(,)()0,()kxfxfxk若则当时，函数单调增；1(,)()0,()xfxfxk当时，函数单调递减。对于一次函数取值的正负，要按斜率的正负进行讨论。322008()1,.()fxxaxxaRfx（全国）已知函数讨论函数的单调区间.22()321,4(3).fxxaxa解：判别式033aa当即或时，2233(,)(33aaaa在,+)上,()0,()fxfx则是增函数.2233()0,()33aaaafxfx在（，）上，则是减函数.对于二次函数取值正负,当根的情况不能确定时，要对判别式进行讨论。033a当即时，()0()xRfxfxR对所有都有恒成立,故在上是增函数；0,3a当即时，()0,()0.()(0,)33aafxfxfx仅有对其余都有故在上是增函数.2()2ln)0,()fxxaxafxx(2009安徽）已知函数(-，讨论的单调性22222()(0,)()1.axaxfxfxxxx解：的定义域是，22()2,()08.gxxaxgxa设二次方程的判别式0,220()0()(0,)axfxfx当即0时，对一切都有.故在上是增函数.0,222()0,0()0.()(0,)axfxxfxfx当即时，仅对有对其余都有故在上是增函数.0,22a当即时,2288(0,)(()0,()22aaaafxfx在，,+)上则是增函数.2288()0,()22aaaafxfx在（，）上则是减函数.321())24()3fxxaxaxafx设函数-(1++4，讨论的单调性.2()2(1)4fxxaxa解:(2)(2)xxa1,(,2),(2,)()0,()aafxfx当时在上故是增函数；(2,2)()0,()afxfx在上故是减函数。1,(,2),(2,)()0,()aafxfx当时在上故是增函数；(2,2)()0,()afxfx在上故是减函数。12()0,0()0.axfxxfx当时，仅对有对其余都有()(,)fx故在上是增函数.对于所对应方程一定有根的二次函数，要按根的大小进行讨论。2(1)(1)112()0xaafxx若，即时，恒成立，()0fx故在（，）单调递增；21112aaa（）若＜，而＞，故1＜＜时，11()001()0xafxxaxfx当（，）时，＜；当（，）及（1，+）时，＞()1101fxaa故在（，）单调递减，在（，）和（1，+）单调递增。111011aaaa（3）若＞，即＞2，同理可得在（1，）单调递减，在（，）和（，）单调递增。1()afxxax21xaxax(1)(1)xxax()0fx解：的定义域为（，）1.a21(2009(1)ln,2fxxaxaxfx辽宁卷理）已知函数()=讨论函数()的单调性110,01();aaxfx(4)当时，当（，）时,是减函数()xfx（1，+）时，是减函数。导函数的零点与函数定义域关系2(2010(+1)ln+1,fxaxaxfx辽宁理）已知函数()=讨论函数()的单调性。()0fx解：的定义域为（，）.2+12+1()2aaxafxaxxx0,()0,()0afxfx当时故在（，）单调递增;1,()0,()0afxfx当时故在（，）单调递减;+110,()0.2aafxxa当-时令，解得+1+1(0,)()0;(,)()022aaxfxxfxaa则当时，时，+1+1()(0,)(,)22aafxaa故在单调递增，在单调递减。对于二次项系数含有参数的二次型函数，要按二次项系数的正负进行讨论2(2011ln2,fxxaxaxfx辽宁理）已知函数()=（）讨论函数()的单调性()01(2+1)(1)()220,()0,()010,()011(0,)()0;(,)()011()(0,)(,)fxxaxfxaxaxxafxfxafxxaxfxxfxaafxaa解：的定义域为（，）（）当时故在（，）单调递增;当时令，解得则当时，时，故在单调递增，在单调递减。导数小专题：构造函数法4.已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)＝3，且f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)2(x∈R)，则不等式f(x)2x＋1的解集为?题型三已知函数单调性求参数（利用分参）例3已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax2＋2x(a≠0).(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；12a－1.(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围.题型三已知函数单调性求参数（利用分类讨论）题型四极值与零点问题命题点1求函数的极值例2(2017·泉州质检)已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R).(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；aex(2)求函数f(x)的极值.命题点2已知极值求参数例3(1)(2016·广州模拟)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b＝________.(2)(2017·福州质检)若函数f(x)＝x33－a2x2＋x＋1在区间(12，3)上有极值点，则实数a的取值范围是A.(2，52)B.[2，52)C.(2，103)D.[2，103)区间存在极值变式：𝑓𝑥=𝑎𝑥22−1+2𝑎𝑥+2𝑙𝑛𝑥在区间0.5,1内有极大值，求𝑎的取值范围？题型三函数极值和最值的综合问题例5已知函数f(x)＝－x3＋x2x1，alnxx≥1.(1)求f(x)在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点；(2)求f(x)在[－1，e](e为自然对数的底数)上的最大值.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.跟踪训练3若函数f(x)＝13x3＋x2－23在区间(a，a＋5)上存在最小值，则实数a的取值范围是A.[－5,0)B.(－5,0)C.[－3,0)D.(－3,0)由题意，得f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2,0)上是减函数，作出其图象如图所示，令13x3＋x2－23＝－23得，x＝0或x＝－3，则结合图象可知，－3≤a＜0，a＋50，解得a∈[－3,0).8.函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是____________.f′(x)＝3x2－3a2＝3(x＋a)(x－a)，由f′(x)＝0得x＝±a，当－axa时，f′(x)0，函数递减；当xa或x－a时，f′(x)0，函数递增.∴f(