2019年32导数在研究函数中的应用.ppt

主页山东金榜苑文化传媒集团步步高大一轮复习讲义导数在研究函数中的应用主页导数导数的概念导数的计算导数的应用平均变化率与瞬时变化率平均速度与瞬时速度导数的几何意义基本初等函数导数公式导数的四则运算复合函数求导函数的单调性函数的极值与最值生活中的优化问题举例定积分定积分的概念微积分基本定理定积分的简单应用导数及其应用知识网络主页1.函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f'(x)0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f'(x)0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减.☞在(a,b)内可导函数f(x),f'(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0.f'(x)≥0⇔f(x)为__________；f'(x)≤0⇔f(x)为___________.增函数减函数要点梳理忆一忆知识要点主页(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧________,右侧________，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧________，右侧,那么f(x0)是极小值.2.函数的极值()0fx()0fx()0fx()0fx要点梳理忆一忆知识要点主页①求f'(x);②求方程的根；③检查f'(x)在方程的根左右值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得.(2)求可导函数极值的步骤：2.函数的极值：()0fx()0fx极大值极小值要点梳理忆一忆知识要点主页3.函数的最值(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则_____为函数的最小值，_____为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则_____为函数的最大值，_____为函数的最小值.()fa()fb()fa()fb要点梳理忆一忆知识要点主页①求f(x)在(a,b)内的_______；极值②将f(x)的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.(),()fafb(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：要点梳理忆一忆知识要点主页题号答案12345(,1)(1,)和减函数[3,)②③A基础自测主页3.函数f(x)=x3+ax-2在区间(1,+∞)上是增函数，则实数a的取值范围是.∵f(x)=x3+ax-2在(1,+∞)上是增函数,∴f′(x)=3x2+a≥0在(1,+∞)上恒成立,即a≥-3x2在(1,+∞)上恒成立.3.a≥基础自测[-3，+∞)主页5．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则()．A.a－1B.a－1C.a－1eD.a－1e∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.当a≥0时，y不可能有极值点，故a0.由ex＋a＝0得ex＝－a，∴x＝ln(－a)，∴x＝ln(－a)即为函数的极值点，∴ln(－a)0，即ln(－a)ln1，∴a－1.A∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.当a≥0时，y不可能有极值点，故a0.由ex＋a＝0得ex＝－a，∴x＝ln(－a)，∴x＝ln(－a)即为函数的极值点，∴ln(－a)0，即ln(－a)ln1，∴a－1.∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.当a≥0时，y不可能有极值点，故a0.由ex＋a＝0得ex＝－a，∴x＝ln(－a)，∴x＝ln(－a)即为函数的极值点，∴ln(－a)0，即ln(－a)ln1，∴a－1.∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.当a≥0时，y不可能有极值点，故a0.由ex＋a＝0得ex＝－a，∴x＝ln(－a)，∴x＝ln(－a)即为函数的极值点，∴ln(－a)0，即ln(－a)ln1，∴a－1.∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.当a≥0时，y不可能有极值点，故a0.由ex＋a＝0得ex＝－a，∴x＝ln(－a)，∴x＝ln(－a)即为函数的极值点，∴ln(－a)0，即ln(－a)ln1，∴a－1.基础自测主页题型一利用导数研究函数的单调性【例1】已知函数f(x)＝mx3＋nx2(m，n∈R，m≠0)，函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线与x轴平行.(1)用关于m的代数式表示n；(2)求函数f(x)的单调增区间.解：(1)由已知条件得f′(x)＝3mx2＋2nx，又f′(2)＝0，∴3m＋n＝0，故n＝－3m.主页题型一利用导数研究函数的单调性(2)∵n＝－3m，∴f(x)＝mx3－3mx2，∴f′(x)＝3mx2－6mx.令f′(x)0，即3mx2－6mx0，当m0时，解得x0或x2，则函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m0时，解得0x2，则函数f(x)的单调增区间是(0,2).综上,当m0时,函数f(x)的单调增区间是(－∞,0)和(2，＋∞)；当m0时，函数f(x)的单调增区间是(0,2).(2)∵n＝－3m，∴f(x)＝mx3－3mx2，∴f′(x)＝3mx2－6mx.令f′(x)0，即3mx2－6mx0，当m0时，解得x0或x2，则函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m0时，解得0x2，则函数f(x)的单调增区间是(0,2).综上,当m0时,函数f(x)的单调增区间是(－∞,0)和(2，＋∞)；当m0时，函数f(x)的单调增区间是(0,2).(2)∵n＝－3m，∴f(x)＝mx3－3mx2，∴f′(x)＝3mx2－6mx.令f′(x)0，即3mx2－6mx0，当m0时，解得x0或x2，则函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m0时，解得0x2，则函数f(x)的单调增区间是(0,2).综上,当m0时,函数f(x)的单调增区间是(－∞,0)和(2，＋∞)；当m0时，函数f(x)的单调增区间是(0,2).(2)∵n＝－3m，∴f(x)＝mx3－3mx2，∴f′(x)＝3mx2－6mx.令f′(x)0，即3mx2－6mx0，当m0时，解得x0或x2，则函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m0时，解得0x2，则函数f(x)的单调增区间是(0,2).综上,当m0时,函数f(x)的单调增区间是(－∞,0)和(2，＋∞)；当m0时，函数f(x)的单调增区间是(0,2).(2)∵n＝－3m，∴f(x)＝mx3－3mx2，∴f′(x)＝3mx2－6mx.令f′(x)0，即3mx2－6mx0，当m0时，解得x0或x2，则函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m0时，解得0x2，则函数f(x)的单调增区间是(0,2).综上,当m0时,函数f(x)的单调增区间是(－∞,0)和(2，＋∞)；当m0时，函数f(x)的单调增区间是(0,2).主页题型一利用导数研究函数的单调性利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)0和f′(x)0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.探究提高主页变式训练1已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1处取得极值－2.(1)试用c表示a，b；(2)求f(x)的单调递减区间.解：(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由已知条件f′(1)＝0f(1)＝－2，即3＋2a＋b＝01＋a＋b＋c＝－2解得a＝c，b＝－3－2c.(2)f′(x)＝3x2＋2cx－3－2c＝(3x＋3＋2c)(x－1)＝3x＋3＋2c3(x－1)解：(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由已知条件f′(1)＝0f(1)＝－2，即3＋2a＋b＝01＋a＋b＋c＝－2解得a＝c，b＝－3－2c.(2)f′(x)＝3x2＋2cx－3－2c＝(3x＋3＋2c)(x－1)＝3x＋3＋2c3(x－1)解：(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由已知条件f′(1)＝0f(1)＝－2，即3＋2a＋b＝01＋a＋b＋c＝－2解得a＝c，b＝－3－2c.(2)f′(x)＝3x2＋2cx－3－2c＝(3x＋3＋2c)(x－1)＝3x＋3＋2c3(x－1)解：(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由已知条件f′(1)＝0f(1)＝－2，即3＋2a＋b＝01＋a＋b＋c＝－2解得a＝c，b＝－3－2c.(2)f′(x)＝3x2＋2cx－3－2c＝(3x＋3＋2c)(x－1)＝3x＋3＋2c3(x－1)解：(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由已知条件f′(1)＝0f(1)＝－2，即3＋2a＋b＝01＋a＋b＋c＝－2解得a＝c，b＝－3－2c.(2)f′(x)＝3x2＋2cx－3－2c＝(3x＋3＋2c)(x－1)＝3x＋3＋2c3(x－1)解：(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由已知条件f′(1)＝0f(1)＝－2，即3＋2a＋b＝01＋a＋b＋c＝－2解得a＝c，b＝－3－2c.(2)f′(x)＝3x2＋2cx－3－2c＝(3x＋3＋2c)(x－1)＝3x＋3＋2c3(x－1)主页①若－3＋2c3＝1，即c＝－3，f′(x)＝3(x－1)2≥0.f(x)在(－∞，＋∞)上递增不合题意，c＝－3应舍去.②若－3＋2c31，即c－3时，f(x)的递减区间为－3＋2c3，1；③若－3＋2c31，即c－3时，f(x)的递减区间为1，－3＋2c3.①若－3＋2c3＝1，即c＝－3，f′(x)＝3(x－1)2≥0.f(x)在(－∞，＋∞)上递增不合题意，c＝－3应舍去.②若－3＋2c31，即c－3时，f(x)的递减区间为－3＋2c3，1；③若－3＋2c31，即c－3时，f(x)的递减区间为1，－3＋2c3.①若－3＋2c3＝1，即c＝－3，f′(x)＝3(x－1)2≥0.f(x)在(－∞，＋∞)上递增不合题意，c＝－3应舍去.②若－3＋2c31，即c－3时，f(x)的递减区间为－3＋2c3，1；③若－3＋2c31，即c－3时，f(x)的递减区间为1，－3＋2c3.①若－3＋2c3＝1，即c＝－3，f′(x)＝3(x－1)2≥0.f(x)在(－∞，＋∞)上递增不合题意，c＝－3应舍去.②若－3＋2c31，即c－3时，f(x)的递减区间为－3＋2c3，1；③若－3＋2c31，即c－3时，f(x)的递减区间为1，－3＋2c3.①若－3＋2c3＝1，即c＝－3，f′(x)＝3(x－1)2≥0.f(x)在(－∞，＋∞)上递增不合题意，c＝－3应舍去.②若－3＋2c31，即c－3时，f(x)的递减区间为－3＋2c3，1；③若－3＋2c31，即c－3时，f(x)的递减区间为1，－3＋2c3.①若－3＋2c3＝1，即c＝－3，f′(x)＝3(x－1)2≥0.f(x)在(－∞，＋∞)上递增不合题意，c＝－3应舍去.②若－3＋2c31，即c－3时，f(x)的递减区间为－3＋2c3，1；③若－3＋2c31，即c－3时，f(x)的递减区间为1，－3＋2c3.主页题型二【例2】(2010·全国)已知函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.(1)设a＝2，求f(x)的单调区间；(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围．利用导数研究函数的极值(1)单调区间即为f′(x)0，f′(x)0的解区间．(2)f′(x)的零点在(2,3)内至少有一个．主页题型二利用导数研究函数的极值解:(1)当a＝2时，f(x)＝x3－