..一份好的考研复习资料,会让你的复习力上加力。中公考研辅导老师为考生准备了【高等数学-多元函数微分学知识点讲解和习题】,同时中公考研网首发2017考研信息,2017考研时间及各科目复习备考指导、复习经验,为2017考研学子提供一站式考研辅导服务。第六章多元函数微分学综述:本章是对一元函数中极限、连续、导数与微分等知识的推广,主要考点是围绕偏导数的一系列计算,由于多元函数微分学计算的复杂性要大于一元函数,考试在微分学中的大题一般都出在本章.在考试中,每年直接涉及到本章知识所占的分值平均在12分左右.本章的主要知识点有:二重极限的定义及其简单的性质,二元函数的连续、偏导数和可微,多元函数偏导数的计算,方向导数与梯度,多元函数的极值,曲线的切线与法平面,曲面的切平面与法线.其中学习的难点是二重极限、二元函数连续、有偏导数和可微这些概念.这一部分考查的频率不高,且以小题为主,考生在学习时要注重把握相关概念严格的数学定义,并与一元函数的相关概念进行比较.本章考查的重点在偏导数的计算及其应用上:首先,偏导数的计算与一元函数的求导并无本质区别,考生只需将一元函数求导的相关知识进行推广,就可以得到偏导数相应的计算公式;在全面掌握了偏导数的计算方法之后,考生还需要掌握偏导数的各种应用,包括多元函数的极值(无条件极值与条件极值)、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线,对于它们,考生只要能计算偏导数,再记住相关的公式定理即可.本章常考的题型有:1.关于连续、偏导数与全微分定义的考查;2.偏导数的计算;3.方向导数与梯度;4.极值,5.空间曲线的切线与法平面,6.空间曲面的切平面与法线.常考题型一:连续、偏导数与全微分1.【1994-13分】二元函数(,)fxy在点00,xy处两个偏导数0000(,),(,)xyfxyfxy存在是(,)fxy在该点连续的()A充分条件而非必要条件B必要条件而非充分条件C充分必要条件D既非充分条件又非必要条件..2.【1997-13分】二元函数22(,)(0,0)(,)0(,)(0,0)xyxyxyfxyxy,,,在点(0,0)处()A连续,偏导数存在B连续,偏导数不存在C不连续,偏导数存在D不连续,偏导数不存在3.【2002-13分】考虑二元函数(,)fxy的下面4条性质,正确的是()①(,)fxy在点00(,)xy处连续②(,)fxy在点00(,)xy处的两个偏导数连续③(,)fxy在点00(,)xy处可微④(,)fxy在点00(,)xy处的两个偏导数存在A②③①B③②①C③④①D③①④4.【2003-34分】设可微函数(,)fxy在点),(00yx取得极小值,则下列结论正确的是A),(0yxf在0yy处的导数等于零.B),(0yxf在0yy处的导数大于零.C),(0yxf在0yy处的导数小于零.D),(0yxf在0yy处的导数不存在.5.【2007-14分】二元函数(,)fxy在点0,0处可微的一个充分条件是()A(,)0,0lim(,)(0,0)0xyfxyf.B00(,0)(0,0)(0,)(0,0)lim0,lim0xyfxffyfxy且.C22(,)0,0(,)(0,0)lim0xyfxyfxy.D00lim(,0)(0,0)0,lim(0,)(0,0)0xxyyxyfxffyf且.6.【2008-34分】已知24(,)xyfxye,则A(0,0)xf,(0,0)yf都存在B(0,0)xf不存在,(0,0)yf存在C(0,0)xf不存在,(0,0)yf不存在D(0,0)xf,(0,0)yf都不存在7.【2012-14分】如果(,)fxy在0,0处连续,那么下列命题正确的是()..(A)若极限00(,)limxyfxyxy存在,则(,)fxy在(0,0)处可微(B)若极限2200(,)limxyfxyxy存在,则(,)fxy在(0,0)处可微(C)若(,)fxy在(0,0)处可微,则极限00(,)limxyfxyxy存在(D)若(,)fxy在(0,0)处可微,则极限2200(,)limxyfxyxy存在8.【2012-24分】设函数(,)fxy可微,且对任意,xy都有(,)0fxyx,(,)0fxyy,则使得1122(,)(,)fxyfxy成立的一个充分条件是(A)1212,xxyy(B)1212,xxyy(C)1212,xxyy(D)1212,xxyy9.【2012-34分】连续函数(,)zfxy满足2201(,)22lim0(1)xyfxyxyxy,则(0,1)dz________。【小结】:1、二元函数在00,xy处连续当且仅当函数值等于极限值,这里的极限指二重极限,也即0000lim(,),xxyyfxyfxy.2、二元函数在00,xy处的偏导数'00,xfxy就是一元函数0,fxy在0xx处的导数,它存在当且仅当极限00000(,),limxxfxyfxyxx存在.注意,与连续性不同的是:这里的极限过程是一元函数的极限.3、判断函数在某一点00,xy是否可微的方法:首先计算函数在该点的两个偏导数0000,,,xyfxyfxy.如果二者至少有一个不存在,则不可微.如果两个偏导数都存在,则计算极限000022,(0,0),,limxyxyzfxyxfxyyxy,如果该极限不存在或不等于0则不可微,如果该极限等于0则可微...4、多元函数各种概念之间的关系与一元函数有所区别,具体来说:在多元函数中,偏导数存在不一定可导,偏导数存在也不一定连续,但可微则一定是连续并且存在偏导数.常考题型二:偏导数的计算1.链式法则的运用10.【2000-33分】设,xyzfxygyx,其中,fg均可微,则zx11.【2004-34分】设函数(,)fuv由关系式[(),]()fxgyyxgy确定,其中函数()gy可微,且()0gy,则2fuv.12.【2005-34分】设二元函数)1ln()1(yxxezyx,则)0,1(dz.13.【2014-24分】设(,)zzxy是由方程2274yzexyz确定的函数,则11(,)22|dz.14.【2006-34分】设函数()fu可微,且102f,则224zfxy在点(1,2)处的全微分1,2dz.15.【2009-34分】设()yxzxe,则(1,0)zx16.【1998-35分】设arctan22yxzxye,求dz与2zxy.17.【1994-13分】设sinxxuey,则2uxy在点1(2,)处的值为18.【1998-13分】设1()(),zfxyyxyfx、具有二阶导数,则2zxy19.【2007-14分】设(,)fuv是二元可微函数,(,)yxzfxy,则zx__________.20.【2009-14分】设函数,fuv具有二阶连续偏导数,,zfxxy,则2zxy.21.【2011-14分】设函数xydtttyxF021sin,,则2022yxxF___________...22.【2007-34分】设(,)fuv是二元可微函数,,yxzfxy,则zzxyxy__________23.【2008-24分】设xyyzx,则(1,2)zx24.【2012-24分】设1lnzfxy,其中函数()fu可微,则2zzxyxy_______。25.【1992-15分】设22(sin,)xzfeyxy,其中()fx具有二阶连续偏导数,求2zxy26.【2000-15分】设(,)()xyzfxygyx,其中f具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数,求2zxy.27.【2001-16分】设函数(,)zfxy在点(1,1)处可微,且(1,1)(1,1)(1,1)1,2,3,()dfdffxdxdy(,(,))fxfxx,求31()xdxdx28.【2004-210分】设22(,)xyzfxye,其中f具有连续二阶偏导数,求2,,zzzxyxy.29.【2009-210分】设,,zfxyxyxy,其中f具有2阶连续偏导数,求dz与2zxy30.【1997-35分】设,,ufxyz有连续偏导数,yyx和zzx分别由方程0xyey和0zexz所确定,求dudx.31.【2013-24分】设()yzfxyx,其中函数f可微,则xzzyxy()..(A)2()yfxy(B)2()yfxy(C)2()fxyx(D)2()fxyx32.【2005-14分】设函数yxyxdttyxyxyxu)()()(),(,其中函数具有二阶导数,具有一阶导数,则必有()A2222yuxuB2222yuxuC222yuyxuD222xuyxu.33.【2007-34分】设(,)fuv是二元可微函数,,yxzfxy,则zzxyxy___.34.【2011-34分】设函数1xyxzy,则1,1dz.35.【1996-36分】设函数zfu,方程xyuuptdt,其中u是,xy的函数,,fuu可微,',ptt连续,且'1u.求zzpypxxy.36.【2001-35分】设,,ufxyz有连续的一阶偏导数,又函数yyx及zzx分别由下列两式确定:2xyexy和0sinxzxtedtt,求dudx37.【2003-38分】设(,)fuv具有二阶连续偏导数,且满足12222vfuf,又)](21,[),(22yxxyfyxg,求.2222ygxg38.【2005-38分】设()fu具有二阶连续导数,且)()(),(yxyfxyfyxg,求.222222ygyxgx【小结】:多元函数的复合函数求导法则比一元函数复杂,根据复合函数中间变量的不同形式我们有如下求导公式:如果(,)((),())zfuvftt,则dzfdufdvdtudtvdt;..如果(,)((,),(,))zfuvfxyxy,则zfufvxuxvx,zfufvyuyvy如果(,)((,),())zfuvfxyy,则zfuxux,zfufdvyuyvdy.2.隐函数求导39.【2005-14分】设有三元方程ln1xyxyzye,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程()A只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(,)zzxyB可以确定两个具有连续偏导数的隐函数(,),(,)yyxzzzxyC可以确定两个具有连续偏导数的隐函数(,),(,)xxyzzzxyD可以确定两个具有连续偏导数的隐函数(,),(,)yyxzxxzy40.【2002-38分】设函数(,,)ufxyz有连续偏导数,且(,)zzxy由方程xyzxeyeze所确定,求du41.【2004-23分】设函数(,)zzxy由方程232xzzey确定,则3z