上海高中数学-复数讲义

1复数一、知识点梳理：1、i的周期性：i4=1，所以，i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1奎屯王新敞新疆nZ44142430nnnniiiinZ2、复数的代数形式：,abiabR，a叫实部，b叫虚部，实部和虚部都是实数。|,CabiabR叫做复数集。NZQRC.3、复数相等：abicdiac且b=d；00abia且b=04、复数的分类：0,0)0)0,0)Zabiaa实数(b=0)复数一般虚数(b虚数(b纯虚数(b虚数不能比较大小，只有等与不等。即使是3,62ii也没有大小。5、复数的模：若向量OZ表示复数z，则称OZ的模r为复数z的模，22||zabiab；积或商的模可利用模的性质（1）112nnzzzzz，（2）112220zzzzz6、复数的几何意义：复数,zabiabR一一对应复平面内的点(,)Zab,ZabiabR一一对应复数平面向量OZ，7、复平面：这个建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做复平面，其中x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴奎屯王新敞新疆，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数8、复数代数形式的加减运算复数z1与z2的和：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.,,,abcdR复数z1与z2的差：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.,,,abcdR复数的加法运算满足交换律和结合律数加法的几何意义：复数z1=a+bi，z2=c+di,,,abcdR；OZ=1OZ+2OZ=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)＝(a+c)+(b+d)i复数减法的几何意义：复数z1-z2的差(a－c)+(b－d)i对应奎屯王新敞新疆由于1212ZZOZOZ，两个复数的差z－z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.9.特别地，ABzzB－zA.，BAABzABzz为两点间的距离。12||||zzzzz对应的点的轨迹是线段12ZZ的垂直平分线；0||zzr，z对应的点的轨迹是一个圆；1212||||22zzzzaZZa，z对应的点的轨迹是一个椭圆；21212||||22zzzzaZZa，z对应的点的轨迹是双曲线。10、显然有公式：12121222221212122zzzzzzzzzzzz11、复数的乘除法运算：复数的乘法：z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.,,,abcdR复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。实数集R中正整数指数的运算律,在复数集C中仍然成立.即对z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有:zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=z1nz2n.复数的除法：12zz(a+bi)(c+di)=dicbia=2222acbdbcadicdcd,,,abcdR，分母实数化是常规方法12、共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为0的两个共轭复数也叫做共轭虚数；,,zabizabiabR，两共轭复数所对应的点或向量关于实轴对称。22||zzab2222,zzabRzzzz，111212121222,,zzzzzzzzzzzz13、熟记常用算式：1ii，ii2)1(2，ii2)1(2，iii11，iii1114、复数的代数式运算技巧：（1）①ii2)1(2②ii2)1(2③iii11④iii11（2）“1”的立方根i2321的性质：①13②2③012④11⑤115、实系数一元二次方程的根问题：（1）当042acb时，方程有两个实根21,xx。（2）当042acb时，方程有两个共轭虚根，其中21xx。此时有acxxxx212221且aibx22,1。注意两种题型：21xx(1)21xx(2)虚系数一元二次方程有实根问题：不能用判别式法，一般用两个复数相等求解。但仍然适用韦达定理。3已知12xx是实系数一元二次方程0cbxax2的两个根，求12xx的方法：（1）当042acb时，aacbxxxxxx44)(22122112(2)当042acb时，abacxxxxxx2212211244)(已知21x,x是实系数一元二次方程0cbxax2的两个根，求12xx的方法：（1）当042acb时，①,021xx即0ac，则abxxxx2112②,021xx即0ac，则aacbxxxxxxxx44)(2212212112（2）当042acb时，acxxxxx22221112二、典例分析：例1．（1）复数(1+i)21－i等于()A.1－iB.1+iC.－1+iD.－1－i解析:复数(1+i)21－i=2(1)11iiiii，选C．（2）若复数z同时满足z－z＝2i，z＝iz（i为虚数单位），则z＝．解：已知2211iZiZiZii；（3）设a、b、c、d∈R，则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是A.ad－bc=0B.ac－bd=0C.ac+bd=0D.ad+bc=0解析：（1）,,,abcR复数()()abicdi=()()acbdadbci为实数，∴0adbc，选D；（4）已知niminmniim是虚数单位，则是实数，，，其中11（）(A)1+2i(B)1－2i(C)2+i(D)2－i解析：innmniim1111，由m、n是实数，得mnn101，∴inimmn221，故选择C。4（5）设,xy为实数，且511213xyiii，则xy。解析：(1)(12)2()()112252525xyxiyixyxyiii，而55(13)13131022iii所以123252252xyxy且，解得x＝－1，y＝5，所以x＋y＝4。点评：本题考查复数的运算及性质，基础题。例2：（1）计算：19961232132iii答案：i1（2）设复数z满足关系izz2||，求z；解：设z=a+bi（a,b为实数），由已知可得ibabia222由复数相等可得：1222bbaa，解得1,43ba，所以iz43设z=a+bi-x+yi（a,b为实数）复数问题实数化。（3）若Cx，解方程xix31||解：设x=a+bi(a,b∈R)代入条件得:ibaba)3(122,由复数相等的定义可得：03122baba,∴a=－4，b=3，∴x=－4+3i。例3：(1)复数z满足1||||22iziz，则z对应的点在复平面内表示的图形为（A）A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线解：令z=x+yi（x，y∈R），则x2+(y+1)2－[x2+(y－1)2]=1，∴y=1/4。故选A。（2）设复数z满足：3|33|iz，求|z|的最大值与最小值；解：|z|的最大值为33，最小值为3；（3）已知z∈C，|z－2|=1且复数z－2对应的点落在直线y=x上，求z。解：设z－2=a+ai，∵|z－2|=1，∴22a，∴iz22222或iz22222。【思维点拨】从整体出发利用条件，可简化运算，本题也可设z=a+bi再利用条件，但运算复杂。(4)设2||1,zCz，则复数)1(izu，在复平面内对应的图形面积为_______。5解：∵|u|=|z|•|1+i|=2|z|，∴2≤|u|≤2，故面积S=2])2(2[22。【思维点拨】复数问题实数化是处理复数问题的常用方法。例4：已知z=1+i，a，b为实数，(1)若ω=z2+3z－4,求|ω|;(2)若izzbazz1122，求a，b的值。解：（1）ω=(1+i)2+3(1－i)－4=―1―i，∴2||。（2）由条件iiiaba1)2()(，∴iiaba1)2()(，∴21ba。【思维点拨】利用复数的充要条件解题。例5：设,Cz且1zz是纯虚数，求||iz的最大值。解：令z=x+yi（x，y∈R），则1zz222222)1()1(yxyyxxyx，∵1zz是纯虚数，∴0022yxyx，即)0(41)21(22yyx，由数形结合可知本题是求圆)0(41)21(22yyx上的点到A(0,－1)的最大距离。∴||izmax=|PA|=215。练习：1．______8)2(2zizz均是纯虚数，则与已知复数iZ22．.若ibiia)2(，其中a、b∈R，i是虚数单位，则22ba=（D）A．0B．2C．25D．53.设复数ω＝－21＋23i，则1＋ω＝（）C（A）–ω（B）ω2（C）1（D）214.复数iz11的共轭复数是（B）A．i2121B．i2121C．i1D．i15.若复数z满足方程220z，则3z（）DA.22B.22C.22iD.22i6.设a、b、c、dR，若iiabcd为实数，则(C)－1PO1/2xy6(A)0bcad(B)0bcad(C)0bcad(D)0bcad7.如果复数2()(1)mimi是实数，则实数m（）BA．1B．1C．2D．28.2005)11(ii（）AA．iB．－iC．20052D．－200529.满足条件||||zii34的复数z在复平面上对应点的轨迹是（）CA.一条直线B.两条直线C.圆D.椭圆10.若12zai,234zi，且12zz为纯虚数，则实数a的值为．38a11.已知niminmniim是虚数单位，则是实数，，，其中11C(A)1+2i(B)1-2i(C)2+i(D)2-i12、复数3(1)i的虚部为（A）3（B）－3（C）2（D）－2解析:复数31i=13322iii,所以它的虚部为－2，选D.13、在复平面内，复数1ii对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限解：1ii111iii（＋）＝＝－－故选D；点评：复数的概念和性质是高考对复数部分的一个考点，属于比较基本的题目，主要考察复数的的分类和几何性质。14、求满足条件:iiizzz23)(2(i为虚数单位)的复数z[解]原方程化简为iizzz1)(2,设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得x2+y2+2xi=1-i,∴x2+y2=1且2x=-1,解得x=-21且y=±23,∴原方程的解是z=-21±23i.15、已知ixxz1221，iaxz)(22对于任意的x∈R均有|z1|＞|z2|成立,试求实数a的取值范围。解：∵|z1|＞|z2|，∴2224)(1axxx，∴0)1()21(22axa，对Rx成立。当021a，即21a时，不等式成立；当021a时0)1)(21(40212aaa211a。综上得]21,1(a。7【思维点拨】通过转化将复数问题变为实数问题是常用手段。