第二章 2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算

2.1.52.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算【学习要求】1．理解平行向量定理，能熟练运用该定理处理向量共线和三点共线问题．2．理解轴上向量坐标的含义及运算．3．能运用轴上向量的坐标及长度公式进行相关的计算．【学法指导】利用数乘运算的几何意义可以得到两个向量共线的判定定理及性质定理，一定要注意，向量的共线(平行)与直线共线(或平行)的区别；常用向量共线解决平面几何中的“平行”或“点共线”问题.填一填练一练研一研本课时栏目开关2.1.5填一填·知识要点、记下疑难点1．平行向量基本定理(1)平行向量基本定理：如果a＝λb，则；反之，如果a∥b，且，则一定存在唯一一个实数λ，使a＝λb.(2)a的单位向量：给定一个非零向量a，与a且的向量，叫做向量a的单位向量．记作a0，由数乘向量的定义可知a＝或a0＝.a∥bb≠0同方向长度等于1|a|a0a|a|填一填练一练研一研本课时栏目开关2.1.5填一填·知识要点、记下疑难点2．轴上向量的坐标(1)规定了方向和长度单位的直线叫做．当在轴上选一定点O作为原点时，轴就成了数轴．(2)轴上向量的坐标：已知轴l，取单位向量e，使e的方向与轴l的方向相同，对轴上任意向量a，一定存在唯一实数x，使a＝xe，单位向量e叫做轴l的基向量，x叫做a在l上的坐标(或数量)．①给定单位向量e，能生成与它平行的所有向量的集合；②x的绝对值等于；当a与e同方向时，x是，当a与e反方向时，x是．于是在一条轴上，实数与这条轴上的向量建立起一一对应关系，我们就可用数值来表示向量．轴{xe|x∈R}a的长正数负数填一填练一练研一研本课时栏目开关2.1.5填一填·知识要点、记下疑难点3．轴上向量的坐标运算(1)轴上两个向量相等的法则：轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等，即设a＝x1e，b＝x2e，则a＝b⇔.(2)轴上求两个向量和的法则：轴上两个向量的和的坐标等于两个向量的坐标的和，即设a＝x1e，b＝x2e，则a＋b＝.(3)轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标，即在数轴x上，OA→＝x1e，OB→＝x2e，则AB＝.(4)数轴上两点的距离公式：|AB|＝.x1＝x2(x1＋x2)ex2－x1|x2－x1|填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.1.5探究点一三点共线的判定由共线向量定理可得，A，B，C三点共线⇔存在λ∈R，使AC→＝λAB→.请你根据该结论证明下列常用推论：推论1：已知O为平面ABC内任一点，若A、B、C三点共线，则存在α、β∈R，使OC→＝αOA→＋βOB→，其中α＋β＝1.证明若A、B、C三点共线，则存在λ∈R，使AC→＝λAB→.∴OC→－OA→＝λ(OB→－OA→)，∴OC→＝(1－λ)OA→＋λOB→.令1－λ＝α，λ＝β，则OC→＝αOA→＋βOB→，且α＋β＝1.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.1.5推论2：已知O为平面ABC内任一点，若存在α，β∈R，使OC→＝αOA→＋βOB→，α＋β＝1，则A、B、C三点共线．证明因为存在α、β∈R，使OC→＝αOA→＋βOB→，且α＋β＝1.∴β＝1－α，∴OC→＝αOA→＋(1－α)OB→，∴OC→＝αOA→＋OB→－αOB→，∴OC→－OB→＝α(OA→－OB→)，∴BC→＝αBA→，∴A、B、C三点共线．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.1.5探究点二利用共线向量证明平面几何问题试用向量法证明三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．已知D、E分别是边AB、AC的中点，求证DE∥BC，且|DE|＝12|BC|.证明DE→＝AE→－AD→，BC→＝AC→－AB→，∵D、E分别为边AB、AC的中点，∴AE→＝12AC→，AD→＝12AB→，∴DE→＝12(AC→－AB→)＝12BC→，∴DE∥BC，且|DE|＝12|BC|.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.1.5探究点三数轴上的分点坐标公式问题1已知A，B为数轴上的两点，A、B的坐标依次为x1，x2，若AP→＝λPB→(λ≠－1)，则P点的坐标是__________．解析设P点坐标为x，则∵AP→＝x－x1，PB→＝x2－x，∴x－x1＝λ(x2－x)∴(1＋λ)x＝x1＋λx2，∵λ≠－1，∴x＝x1＋λx21＋λ.x1＋λx21＋λ填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.1.5问题2已知A，B为数轴上的两点，若AP→＝λPB→(λ≠－1)，则有：①若P位于线段AB内部，则λ的取值范围是________，特别地，若P为线段AB的中点，则λ＝________；②若P位于线段AB的延长线上，则λ的取值范围是________；③若P位于线段AB的反向延长线上，则λ的取值范围是________．λ012λ－1－1λ0填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.1.5[典型例题]例1已知A、B、C为数轴上三点，且xA＝－2，xB＝6，试求符合下列条件的点C的坐标．(1)AC＝10；(2)|AC→|＝10；(3)|AC→|＝3|BC→|.解(1)∵AC＝10，∴xC－xA＝10，∴xC＝xA＋10＝8.(2)∵|AC→|＝10，∴AC＝10或AC＝－10，当AC＝10时，xC－xA＝10，xC＝xA＋10＝8；当AC＝－10时，xC－xA＝－10，xC＝xA－10＝－12.(3)∵|AC→|＝3|BC→|，∴AC→＝3BC→或AC→＝－3BC→.当AC→＝3BC→时，xC－xA＝3(xC－xB)，∴xC＝12(3xB－xA)＝10.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.1.5当AC→＝－3BC→时，xC－xA＝－3(xC－xB)，∴xC＝14(3xB＋xA)＝4.小结注意题目中AC＝10与|AC→|＝10，|AC→|＝3|BC→|与AC→＝3BC→，它们的含义不一样，解题时要注意区分，避免出错．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.1.5跟踪训练1已知数轴上A、B两点的坐标x1、x2，根据下列各题中的已知条件，求点A的坐标x1：①x2＝3，AB＝5；②x2＝－5，|AB|＝2.解①AB＝x2－x1＝5，∴x1＝x2－5＝－2.②|AB|＝|x2－x1|＝2，∴x2－x1＝－2或2.∴x1＝x2－(－2)＝－3或x1＝x2－2＝－7.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.1.5例2已知e1，e2是不共线的向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1－8e2，则a与b是否共线？解若a与b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，即3e1＋4e2＝λ(6e1－8e2)，所以(3－6λ)e1＋(4＋8λ)e2＝0，因为e1与e2不共线，所以3－6λ＝0，4＋8λ＝0，所以λ不存在，所以a与b不共线．小结判断两个向量是否共线可转化为存在性问题．解决存在性问题通常是假设存在，再根据已知条件找等量关系列方程(组)求解．若有解且与题目条件无矛盾则存在，反之不存在．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.1.5跟踪训练2已知e1，e2是共线向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1－8e2，则a与b是否共线？解因为e1，e2共线，所以存在λ∈R，使e1＝λe2，所以a＝3e1＋4e2＝(3λ＋4)e2，b＝6e1－8e2＝(6λ－8)e2，所以a＝3λ＋46λ－8bλ≠43，所以a，b共线，当λ＝43时，b＝0，a，b也共线．综上，a与b共线．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.1.5例3已知两个非零向量e1和e2不共线，如果AB→＝2e1＋3e2，BC→＝6e1＋23e2，CD→＝4e1－8e2，求证：A、B、D三点共线．证明∵BC→＝6e1＋23e2，CD→＝4e1－8e2，∴BD→＝BC→＋CD→＝(6e1＋23e2)＋(4e1－8e2)＝10e1＋15e2.又∵AB→＝2e1＋3e2，∴BD→＝5AB→，∴AB→、BD→共线，且有公共点B.∴A、B、D三点共线．小结本题给出了证明三点共线的方法，利用向量共线定理，关键是找到唯一实数λ，使a＝λb，先证向量共线，再证三点共线．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.1.5跟踪训练3已知任意两个非零向量a，b，作OA→＝a＋b，OB→＝a＋2b，OC→＝a＋3b.试判断A、B、C三点之间的位置关系，并说明理由．解因为AB→＝OB→－OA→＝(a＋2b)－(a＋b)＝b，AC→＝OC→－OA→＝(a＋3b)－(a＋b)＝2b，故有AC→＝2AB→.因为AC→∥AB→，且有公共点A，所以A、B、C三点共线．填一填练一练研一研本课时栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处2.1.51．点C在线段AB上，且ACCB＝32，设BC→＝λAB→，则λ的值为()A．25B．－25C．52D．－52B填一填练一练研一研本课时栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处2.1.52．已知M、P、N三点在数轴上，且点P的坐标是5，MP＝2，MN＝8，则点N的坐标为________．113．若非零向量a与b不共线，ka＋b与a＋kb共线，则求实数k＝________.解析∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ使ka＋b＝λ(a＋kb)，∴(k－λ)a＋(1－λk)b＝0，∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a与b不共线，∴k－λ＝0λk－1＝0，∴k＝±1.±1填一填练一练研一研本课时栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处2.1.54．如图，ABCD为一个四边形，E、F、G、H分别为BD、AB、AC和CD的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．证明∵F、G分别是AB、AC的中点．∴FG→＝12BC→.同理，EH→＝12BC→.∴FG→＝EH→.同理EF→＝HG→.∴四边形EFGH为平行四边形．填一填练一练研一研本课时栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处2.1.51．轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．2．共线向量定理是证明三点共线的重要工具．即三点共线问题通常转化为向量共线问题．填一填练一练研一研本课时栏目开关