2.3.1 抛物线及其标准方程

2.4.1抛物线及其标准方程人教A选修1-1引入：我们知道二次函数在图象是抛物线，那么满足什么特点的曲线才是抛物线呢，它有什么几何性质？如图，点F是定点，L是不经过点F的定直线。H是L上任意一点，过点H作，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？MHL提出问题：LMFHmE（动点）M·Fl·e=1H在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F叫抛物线的焦点,直线l叫抛物线的准线d那么如何建立坐标系比较好？1、抛物线的定义：dMF||M·Fl·H步骤1：建系xy02、抛物线的标准方程：以过F点垂直于直线l的直线为x轴，垂足为k，以KF的中点为原点，建立直角坐标系kl.FMd.xOyK||,(0),(,0),2:2pFKppFplx设则MFd)0(,22ppxy标准方程的推导步骤2：设点步骤3：列式步骤4：化简设抛物线上任意一点坐标为M（x，y）22()||22ppxyx2222()()22ppxyx标准方程y2=2px(p＞0)叫做抛物线的标准方程，焦点在x轴正半轴上.p的几何意义是:焦点到准线的距离即KF=p焦点坐标是(,,0)2p2px准线方程为:想一想:坐标系的建立还有没有其它方案也会使抛物线方程的形式简单？l.FxOyK图像方程焦点准线220ypxp220ypxp220xpyp220xpyp)0,2(pF)2,0(pF)0,2(pF)2,0(pF2px2px2py2pyxOyFxyOFxylOFxFylOxOyF220ypxpxyOF220ypxpxFylO220xpypxylOF220xpyp（1）如何判断对称轴？（2）如何判断开口方向？一次项系数为x（y），则对称轴为x轴（y轴）等式右侧系数为正，则开口向上或向右图形标准方程焦点坐标准线方程pxy220ppxy220ppyx220ppyx220p0,2p2px0,2p2px2,0p2py2,0p2py例1(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程;(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),求它的标准方程.解:(1)因为p=3，所以焦点坐标是,准线方程是3(,0)232x,所以所求抛物线的标准方程是2,2p28xy(2)因为焦点在y轴的负半轴上，且4p练习：1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是F（3，0）；（2）准线方程是x=；41（3）焦点到准线的距离是2。y2=12xy2=xy2=4x、y2=-4x、x2=4y或x2=-4y2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：（1）y2=20x（2）x2=y（3）2y2+5x=0（4）x2+8y=0焦点坐标准线方程（1）（2）（3）（4）（5，0）x=-5（0，—）116y=-—1168x=—5（-—，0）58（0，-2）y=2412.抛物线的标准方程与其焦点、准线1.抛物线的定义小结在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.图形标准方程焦点坐标准线方程pxy220ppxy220ppyx220ppyx220p0,2p2px0,2p2px2,0p2py2,0p2py复习回顾：我们知道,椭圆、双曲线的有共同的几何特征：都可以看作是,在平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹.·MFl0＜e＜1(2)当e＞1时，是双曲线;(1)当0e1时,是椭圆;(其中定点不在定直线上)lF·Me＞1那么,当e=1时，它又是什么曲线？·FlM·e=1H问题探究：当e=1时，即|MF|=|MH|，点M的轨迹是什么？几何画板观察C探究？可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有|MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等.点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图)我们把这样的一条曲线叫做抛物线.M·Fl·e=1Hy2=2px(p0)想一想?这种坐标系下的抛物线方程形式怎样?设︱KF︱=p则F（，0），l：x=-p2p2设点M的坐标为（x，y），由定义可知|MF|=|MN|即：22)2(pxypx2解：设取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，线段KF的中垂线为y轴化简得y2=2px（p＞0）··yoxNFMKly轴x轴y2,0pyyxxyy2=2px(p0))0(22ppyx一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程有四种形式.