2.3.1 离散型随机变量的均值(2课时)

离散型随机变量的均值第一课时问题：某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？2104332221111X把环数看成随机变量的概率分布列：X1234P10410310210121014102310321041X权数加权平均X……P……一般地,若离散型随机变量X的概率分布为ip2x2pnpix1x1pnx则称为随机变量X的均值或数学期望,数学期望又简称为期望（Mathematicalexpectation）.1122()iinnEXxpxpxpxp它反映了离散型随机变量取值的平均水平.随机变量的均值与样本均值的区别与联系？随机变量的均值与样本的平均值有何区别和联系•随机变量的均值是常数，而样本的平均值随着样本的不同而变化，因而样本的平均值是随机变量；•对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近总体的平均值，因此，我们常用样本的平均值来估计总体的平均值。例题1随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子的点数X的期望.X123456P1/61/61/61/61/61/6解：随机变量X的取值为1，2，3，4，5，6其分布列为所以随机变量X的均值为E(X)=1×1/6+2×1/6+3×1/6+4×1/6+5×1/6+6×1/6=3.5你能理解3.5的含义吗？变式：将所得点数的2倍加1作为得分数，即Y=2X+1，试求Y的期望？例题1随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子的点数X的期望Y35791113P1/61/61/61/61/61/6解：随机变量X的取值为1，2，3，4，5，6其分布列为所以随机变量Y的均值为E(Y)=3×1/6+5×1/6+7×1/6+9×1/6+11×1/6+13×1/6=8=2E(X)+1设X为离散型随机变量，若Y=aX+b,其中a,b为常数，则E(Y)=?X……P……()(),1,2,3iiPYaxbPXxin而解：设离散型随机变量X的概率分布为ip2x2pnpix1x1pnx所以Y的分布列为Y……P……ip2axb2pnpiaxb1axb1pnaxb1122()()()()nnEYaxbpaxbpaxbp1122()nnaxpxpxp12()nbppp()aEXb若Y=aX+b,则E(Y）=aE(X)+b线性性质离散型随机变量均值的线性性质()()EaXbaEXb1、随机变量ξ的分布列是ξ135P0.50.30.2(1)则Eξ=.2、随机变量ξ的分布列是2.4(2)若η=2ξ+1，则Eη=.5.8ξ47910P0.3ab0.2Eξ=7.5,则a=b=.0.40.13、E(ξ-Eξ)的值是______0解:X的分布列为所以E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＝0×0.15＋1×0.85＝0.85．例题2篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知姚明目前罚球命中的概率为0.85，求他罚球1次的得分X的均值？X01P0.150.85解:X的分布列为所以E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＝0×0.15＋1×0.85＝0.85．例题2X01P0.150.85P1-PP1-PP篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知姚明目前罚球命中的概率为0.85，求他罚球1次的得分X的均值？例题2变式：若姚明在某次比赛中罚球n次，求他罚球的得分X的均值？若X～B(1，0.85),则E(X)=0.85若X～B(n，0.85),则E(X)=?你能猜想出结果吗?篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知姚明目前罚球命中的概率为0.85，求他罚球1次的得分X的均值？求证：若X~B(n，p)，则E(X)=np∴E(X)=0×Cn0p0qn+1×Cn1p1qn-1+2×Cn2p2qn-2+…+k×Cnkpkqn-k+…+n×Cnnpnq0∵P(X=k)=Cnkpkqn-k证明：=np(Cn-10p0qn-1+Cn-11p1qn-2+…+Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1)+…+Cn-1n-1pn-1q0)X01…k…nPCn0p0qnCn1p1qn-1…Cnkpkqn-k…Cnnpnq0(∵kCnk=nCn-1k-1)=np(p+q)n-1=np离散型随机变量均值的性质()()EaXbaEXb(1)线性性质若X~B(n，p)，则E(X)=np(2)两点分布的均值(3)二项分布的均值若X~B(1，p)，则E(X)=p1、离散型随机变量均值的定义X……P……一般地,若离散型随机变量X的概率分布为ip2x2pnpix1x1pnx则称为随机变量X的均值或数学期望,数学期望又简称为期望。1122()iinnEXxpxpxpxp小结2、离散型随机变量均值的性质()()EaXbaEXb(1)随机变量均值的线性性质若X~B(n，p)，则E(X)=np(2)服从两点分布的均值(3)服从二项分布的均值若X~B(1，p)，则E(X)=p3、归纳求离散型随机变量均值的步骤①确定所有可能取值；②写出分布列；③求出均值离散型随机变量的均值第二课时温故而知新1、离散型随机变量X的均值（数学期望）1niiiEXxp2、均值的线性性质()EaXbaEXb（）3、两种特殊分布的均值（1）若随机变量X服从两点分布，则EXp（）（2）若，则~(,)XBnpEXnp（）反映了离散型随机变量取值的平均水平.课前热身11(,),(,),(21)31,(2).23BnBnEE已知且则8从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量X表示所选3人中女生的人数.(1)求X的分布列;(2)求X的数学期望;(3)求“所选3人中女生人数X≤1”的概率.例题1(2009·上海理，7)某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数,则数学期望E(ξ)=______(结果用最简分数表示).解析ξ的可能取值为0,1,2,.7422111211002110)(,211CC)2(,2110CCC)1(,2110CC)0(27222712152725EPPP74一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分。学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个。求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的均值。例题2解：设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确答案的选择题个数分别是X和Y，则X～B(20，0.9)，Y～B(20，0.25)，E(X)＝20×0.9＝18，E(Y)＝20×0.25＝5．由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次英语测验中的成绩分别是5X和5Y。所以，他们在测验中的成绩的均值分别是E(5X)＝5EX＝5×18＝90，E(5Y)＝5EY＝5×5＝25．不一定,其含义是在多次类似的测试中,他的平均成绩大约是90分思考:学生甲在这次测试中的成绩一定会是90分吗?他的均值为90分的含义是什么?例3（决策问题）解:因为商场内的促销活动可获效益2万元设商场外的促销活动可获效益万元,则的分布列P10－40.60.4所以E=10×0.6＋(-4)×0.4=4.4因为4.42,所以商场应选择在商场外进行促销.统计资料表明，每年端午节商场内促销活动可获利2万元；商场外促销活动如不遇下雨可获利10万元；如遇下雨可则损失4万元。6月19日气象预报端午节下雨的概率为40%，商场应选择哪种促销方式？12人寿保险中（某一年龄段），在一年的保险期内，每个被保险人需缴纳保险费a元，被保险人意外死亡则保险公司赔付3万元，出现非意外死亡，则赔付1万元，经统计，此年龄段一年内意外死亡的概率是p,非意外死亡的概率为p,则a满足什么条件，保险公司才能盈利？高考练兵1122()iinnEXxpxpxpxp小结1.离散型随机变量均值的性质()()EaXbaEXb若X~B(n，p)，则E(X)=np若X~B(1，p)，则E(X)=p2.求离散型随机变量均值的步骤①确定所有可能取值；②写出分布列；③求出均值课外思考:彩球游戏准备一个布袋，内装6个红球与6个白球，除颜色不同外，六个球完全一样，每次从袋中摸6个球，输赢的规则为：6个全红赢得100元5红1白赢得50元4红2白赢得20元3红3白输100元2红4白赢得20元1红5白赢得50元6个全白赢得100元你动心了吗?