【聚焦典型题】(苏教版)2014届高考一轮数学(理)：《同角三角函数的基本关系与诱导公式》

【2014年高考会这样考】考查利用同角三角函数的基本关系式与诱导公式化简三角函数式及求三角函数值．第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考活页限时训练同角三角函数的基本关系式三角函数的诱导公式考向一考向二考向三单击标题可完成对应小部分的学习，每小部分独立成块，可全讲，也可选讲助学微博考点自测A级【例2】【训练2】【例1】【训练1】【例3】【训练3】利用诱导公式化简三角函数式同角三角函数的基本关系的应用利用诱导公式求值选择题填空题解答题123、、、B级选择题填空题解答题123、、、灵活运用同角三角函数的基本关系式求值1．同角三角函数的基本关系sin2α＋cos2α＝1(1)平方关系：________________；(2)商数关系：________________.公式一：sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝_______，tan(α＋2kπ)＝tanα，其中k∈Z.公式二：sin(π＋α)＝________，cos(π＋α)＝________，tan(π＋α)＝tanα.公式三：sin(－α)＝________，cos(－α)＝_______tan(－α)＝－tanα.公式四：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝__________tan(π－α)＝－tanα..公式五：sinπ2－α＝_______，cosπ2－α＝sinα.公式六：sinπ2＋α＝________，cosπ2＋α＝_______.2．三角函数的诱导公式考点梳理cosα-sinα-cosα-sinαcosα-cosαcosαcosα-sinαsinαcosα＝tanα一个口诀三种方法诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．助学微博三条提醒在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tanα＝sinαcosα化成正、余弦．(2)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tanπ4＝….(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负－脱周－化锐．特别注意函数名称和符号的确定．(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．(3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．1．sin43π·cos56π·tan－43π的值是()．A．－334B.334C．－34D.342．(2012·全国)已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝33，则cos2α＝()．A．－53B．－59C.59D.533．若tanα＝2，则2sinα－cosαsinα＋2cosα的值为()．A．0B.34C．1D.544．(2012·山东)若θ∈π4，π2，sin2θ＝378，则sinθ＝()．A.35B.45C.74D.345．(人教A版教材改编题)已知sinπ4＋α＝32，则sin3π4－α的值为________．单击题号显示结果答案显示单击图标显示详解32AABD12345考点自测【审题视点】(1)由sinα＋cosα＝15及sin2α＋cos2α＝1，可求sinα，cosα的值；法一：【例1】已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝15.(1)求tanα的值；(2)把1cos2α－sin2α用tanα表示出来，并求其值．联立方程sinα＋cosα＝15①sin2α＋cos2α＝1②由①得cosα＝15－sinα，将其代入②，整理得25sin2α－5sinα－12＝0.∵α是三角形内角，∴sinα＞0，∴sinα＝45，cosα＝－35，∴tanα＝－43.法一完方法一方法二解(1)考向一同角三角函数的基本关系的应用【例1】已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝15.(1)求tanα的值；(2)把1cos2α－sin2α用tanα表示出来，并求其值．考向一同角三角函数的基本关系的应用方法一解(1)法二完∵sinα＋cosα＝15，法二∴(sinα＋cosα)2＝152，即1＋2sinαcosα＝125，∴2sinαcosα＝－2425，∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋2425＝4925.∵sinαcosα＝－1225＜0且0＜α＜π，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα－cosα＞0，∴sinα－cosα＝75，方法二【审题视点】(1)由sinα＋cosα＝15及sin2α＋cos2α＝1，可求sinα，cosα的值；【例1】已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝15.(1)求tanα的值；(2)把1cos2α－sin2α用tanα表示出来，并求其值．考向一同角三角函数的基本关系的应用解(2)1cos2α－sin2α＝sin2α＋cos2αcos2α－sin2α＝sin2α＋cos2αcos2αcos2α－sin2αcos2α＝tan2α＋11－tan2α∵tanα＝－43，∴1cos2α－sin2α＝tan2α＋11－tan2α＝－432＋11－－432=-257【方法锦囊】(1)对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求．转化的公式为(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；(2)关于sinα，cosα的齐次式，往往化为关于tanα的式子．【审题视点】1＝sin2α＋cos2α，分子、分母同除以cos2α即可．【训练1】►已知－π2x0，sinx＋cosx＝15.(1)求sinx－cosx的值；(2)求sin2x＋2sin2x1－tanx的值．sinx＋cosx＝15，两边平方得，1＋sin2x＝125，解(1)21(sincos)xx应求－；考向一同角三角函数的基本关系的应用∴sin2x＝－2425.∴(sinx－cosx)2＝1－sin2x＝4925，又∵－π2x0，∴sinx0，cosx0，∴sinx－cosx＝－75.判断（sinx＋cosx）符号，容易忽视而且是难点，应十分注意【训练1】►已知－π2x0，sinx＋cosx＝15.(1)求sinx－cosx的值；(2)求sin2x＋2sin2x1－tanx的值．sin2x＋2sin2x1－tanx＝2sinxx＋sinx1－sinxcosx解(2)考向一同角三角函数的基本关系的应用＝2sinx·cosxx＋sinxcosx－sinx＝－2425×1575＝－24175方法一：(2)切化弦或弦化切方法一完方法三方法二方法一【训练1】►已知－π2x0，sinx＋cosx＝15.(1)求sinx－cosx的值；(2)求sin2x＋2sin2x1－tanx的值．由(1)，得sinx＋cosx＝15，sinx－cosx＝－75解(2)考向一同角三角函数的基本关系的应用方法一方法二方法三∴tanx＝－34.sin2x＋2sin2x1－tanx＝方法二：⇒sinx＝－35，cosx＝45.2sinxcosx＋2sin2x－tanx2x＋cos2x2tanx＋2tan2x－tanx2x＋＝－24175.(2)切化弦或弦化切方法二完【训练1】►已知－π2x0，sinx＋cosx＝15.(1)求sinx－cosx的值；(2)求sin2x＋2sin2x1－tanx的值．由﹙1﹚，得sinx＋cosxsinx－cosx＝－17解(2)考向一同角三角函数的基本关系的应用方法一方法二方法三方法三：得tanx＋1tanx－1＝－17∴tanx＝－34，其余同法二．【方法锦囊】（1）对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求．转化的公式为(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；(2)关于sinα，cosα的齐次式，往往化为关于tanα的式子【审题视点】【方法锦囊】考向二利用诱导公式求值巧用相关角的关系会简化解题过程.常见的互余关系有π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等，常见的互补关系有π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．【例2】►(1)已知sinπ3－α＝12，则cosπ6＋α＝__；(2)已知tanπ6－α＝33，则tan56π＋α＝____.解析(1)∵π3－α＋π6＋α＝π2，∴cosπ6＋α＝cosπ2－π3－α＝sinπ3－α＝12.∴tan56π＋α＝－tanπ－56π＋α＝－tanπ6－α＝－33.答案(1)12(2)－33(2)∵π6－α＋5π6＋α＝π，已知条件或待求式比较复杂，需对比诱导公式寻找已知角和待求角之间的关系．【审题视点】【方法锦囊】已知条件或待求式比较复杂，需对比诱导公式寻找已知角和待求角之间的关系．考向二利用诱导公式求值巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有π3－α，π6＋α；π3＋α，π6－α；π4＋α，π4－α等，常见的互补关系有π3＋θ，2π3－θ；π4＋θ，3π4－θ等．【训练2】(1)已知sin7π12＋α＝23,则cosα－11π12＝___；(2)若tan(π＋α)＝－12，则tan(3π－α)＝________.解析(1)cosα－11π12＝cos11π12－α＝cosπ－π12＋α＝－cosπ12＋α，而sin7π12＋α＝sinπ2＋π12＋α＝cosπ12＋α＝23，所以cosα－11π12＝－23.(2)因为tan(π＋α)＝tanα＝－12，所以tan(3π－α)＝tan(π－α)＝－tanα＝12.【审题视点】【方法锦囊】考向三利用诱导公式化简三角函数式解答此类问题，首先要有化简的意识，将原式先化简为一个简单的形式，再代入具体的值．利用诱导公式化简，特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名称搞错．解析∵f(α)＝－2sinα－cosα＋cosα1＋sin2α＋sinα－cos2α＝2sinαcosα＋cosα2sin2α＋sinα＝cosα1＋2sinαsinα1＋2sinα＝1tanα，∴f－23π6＝1tan－23π6＝1tan－4π＋π6=1tanπ6＝3.答案3【例3】►设f(α)＝2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α1＋sin2α＋cos3π2＋α－sin2π2＋α(1＋2sinα≠0)，则f－23π6＝________.利用诱导公式将函数化简，然后问题即可转化为利用诱导公式求值．3tan()cos(2)sin(-)2(1):=____cos(--3)sin(-3-)sin()cos(2)tan()31(2)(),()__3cos()2xxxfxfx化简已知则【审题视点】【方法锦囊】利用诱导公式将函数化简，然后问题即可转化为利用诱导公式求值．考向三利用诱导公式化简三角函数式解答此类问题，首先要有化简的意识，将原式先化简为一个简单的形式，再代入具体的值．利用诱导公式化简，特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名称搞错．解析(1)原式＝tanαcosαsin－2π＋