2019年考研数学一真题与解析

12019年考研数学一真题解析一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．1．当0x时，若tanxx与kx是同阶无穷小，则k（）（A）1（B）2（C）3（D）4【答案】（C）【详解】当0x时，331tan()3xxxox，所以331tan()3xxxox，所以3k．2．设函数,0()ln,0xxxfxxxx，则0x是()fx的（）（A）可导点，极值点（B）不可导的点，极值点（C）可导点，非极值点（D）不可导点，非极值点【答案】（B）【详解】（1）0001ln(00)limlnlim0,(00)lim0,(0)01xxxxfxxfxxfx，所以函数在0x处连续；（2）0ln(0)limxxxfx，所以函数在0x处不可导；（3）当0x时，2(),()20fxxfxx，函数单调递增；当10xe时，()1ln0fxx，函数单调减少，所以函数在0x取得极大值．3．设{}nu是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（）（A）1nnun（B）11(1)nnnu(C）111nnnuu（D）2211()nnnuu【答案】（D）【详解】设{}nu是单调增加的有界数列，由单调有界定理知limnnu存在，记为limnnuu；又设n，满足nuM，则221111()()2()nnnnnnnnuuuuuuMuu，且2210nnuu，则对于正项对于级数2211()nnnuu，前n项和：221111111()2()2()22nnnkkkknnkkSuuMuuMuuMuMu也就是2211()nnnuu收敛．24．设函数2(,)xQxyy，如果对于上半平面(0)y内任意有向光滑封闭曲线C都有(,)(,)0CPxydxQxydy那么函数(,)Pxy可取为（）（A）22xyy（B）221xyy（C）11xy（D）1xy【答案】（D）【详解】显然，由积分与路径无关条件知21PQyxy，也就是1(,)()PxyCxy，其中()Cx是在(,)上处处可导的函数．只有（D）满足．5．设A是三阶实对称矩阵，E是三阶单位矩阵，若22AAE，且4A，则二次型TxAx的规范形是（）（A）222123yyy（B）222123yyy（C）222123yyy（D）222123yyy【答案】（C）【详解】假设是矩阵A的特征值，由条件22AAE可得220，也就是矩阵A特征值只可能是1和2．而1234A，所以三个特征值只能是1231,2，根据惯性定理，二次型的规范型为222123yyy．6．如图所示，有三张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程123(1,2,3)iiiiaxayazdi组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,AA，则（）（A）()2,()3rArA（B）()2,()2rArA（C）()1,()2rArA（D）()1,()1rArA【答案】（A）【详解】(1)显然三个平面没有共同交点，也就是非齐次方程组无解，从而()()rArA；（2）从图上可看任何两个平面都不平行，所以()2rA；7．设,AB为随机事件，则()()PAPB的充分必要条件是（）（A）()()()PABPAPB（B）()()()PABPAPB3（C）()()PABPBA（D）()()PABPAB【答案】（C）【详解】选项（A）是,AB互不相容；选项（B）是,AB独立，都不能得到()()PAPB；对于选项（C），显然，由()()(),()()()PABPAPABPBAPBPAB，()()()()()()()()PABPBAPAPABPBPABPAPB8．设随机变量X与Y相互独立，且均服从正态分布2(,)N．则{1}PXY（）（A）与无关，而与2有关（B）与有关，而与2无关（C）与，2都有关（D）与，2都无关【答案】（A）【详解】由于随机变量X与Y相互独立，且均服从正态分布2(,)N，则2~(0,2)XYN，从而111{1}{11}{}212222XYPXYPXYP只与2有关．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）9．设函数()fu可导，(sinsin)zfyxxy，则11coscoszzxxyy．【答案】coscosyxxy解：cos(sinsin),cos(sinsin)zzxfyxyyfyxxxy11coscoscoscoszzyxxxyyxy10．微分方程2220yyy满足条件(0)1y的特解为y．【答案】32xye【详解】把方程变形2220yyy得22()()20yy，即222(2)222xxdydxyCeyCey4由初始条件(0)1y确定3C，所以32xye．11.幂级数1(1)(2)!nnnxn在(0,)内的和函数()Sx.看不清楚题目是1(1)(2)!nnnxn还是0(1)(2)!nnnxn，我以1(1)(2)!nnnxn给出解答．【答案】cos1x【详解】注意20(1)cos,(,)(2)!nnnxxxn，从而有：110(1)(1)(1)()()1cos1,(0,)(2)!(2)!(2)!nnnnnnnnnxxxxxnnn12．设为曲面22244(0)xyzz的上侧，则2244dxdyxz．【答案】32.3【详解】显然曲面在xOy平面的投影区域为22{(,)|4}xyDxyxy2222220043244dxdydxdydxdy2sin3xyxzyydrdr13．设123(,,)A为三阶矩阵，若12,线性无关，且3122，则线性方程组0Ax的通解为．【答案】121xk，其中k为任意常数．【详解】显然矩阵A的秩()2rA，从而齐次线性方程组0Ax的基础解系中只含有一个解向量．由3122可知12320也就是121x为方程组基础解系，通解为121xk，其中k为任意常数．14．设随机变量X的概率密度为,02()20,xxfx其他，()Fx为其分布函数，()EX其数学期望，则5{()()1}PFXEX．【答案】2.3【详解】20,01(){},0241,2xFxPXxxxx，2204()23xEXdx．230122{()()1}{()}{}13233xPFXEXPFXPXdx三、解答题15．（本题满分10分）设函数()yx是微分方程22xyxye满足条件(0)0y的特解．（1）求()yx；（2）求曲线()yyx的凸凹区间及拐点．【详解】（1）这是一个一阶线性非齐次微分方程．先求解对应的线性齐次方程0yxy的通解：22xyCe，其中C为任意常数；再用常数变易法求22xyxye通解，设22()xyCxe为其解，代入方程，得2222(),()1xxCxeeCx，1()1CxdxxC，也就是通解为：221()xyxCe把初始条件(0)0y代入，得10C，从而得到22().xyxxe（2）2222232222(),()(1),()(3)(3)(3)xxxxyxxeyxexyxxxexxxe令()0yx得1233,0,3xxx．当3x或03x时，0y，是曲线的凸区间；当30x或3x时，0y，是曲线的凹区间．曲线的拐点有三个，分别为3322(3,3),(0,0),(3,3)ee．16．（本题满分10分）设,ab为实数，函数222zaxby在点(3,4)处的方向导数中，沿方向34lij的方向导数最大，最大值为10．（1）求常数,ab之值；（2）求曲面222(0)zaxbyz的面积．【详解】（1）222zaxby，则2,2zzaxbyxy；6所以函数在点(3,4)处的梯度为(3,4)(3,4)|,6,8zzgradfabxy；223664gradfab．由条件可知梯度与34lij方向相同，且22366410gradfab．也就得到226834366410abab解出11ab或11ab（舍）．即11ab．（2）222222200213144143SxySdSxydxdydrrdr．17．（本题满分10分）求曲线sin(0)xyexx与x轴之间形成图形的面积．【详解】先求曲线与x轴的交点：令sin0xex得,0,1,2,xkk当2(21)kxk时，sin0xyex；当2(22)kxk时，sin0xyex．由不定积分1sin(sincos)2xxexdxexxC可得2221sin(1)2kxkkexdxee，22221sin(1)2kxkkexdxee所求面积为22202200220022220sinsinsin11(1)(1)2211111(1)(1)22121kkxxxkkkkkkkkkkSexdxexdxexdxeeeeeeeeee18．（本题满分10分）设1201(0,1,2,)nnaxxdxn（1）证明：数列{}na单调减少，且21(2,3,)2nnnaann；（2）求极限1limnnnaa．【详解】（1）证明：1201nnaxxdx，112101(0,1,2,)nnaxxdxn当(0,1)x时，显然有1nnxx，11210()10nnnnaaxxxdx，所以数列{}na单调减少；先设2200sincos,0,1,2,nnnIxdxdxn则当2n时，1222220002sinsincos(1)sincos(1)()nnnnnnIxdxxdxnxxdxnII7也就是得到22,0,1,1nnnIInn令sin,[0,]2xtt，则12222222000011sincossinsin2nnnnnnnnaxxdxttdtdttdtIIIn同理，2211nnnnaIIIn综合上述，可知对任意的正整数n，均有212nnanan，即21(2,3,)2nnnaann；（2）由（1）的结论数列{}na单调减少，且21(2,3,)2nnnaann2111111222nnnnnannnaaannan令n，由夹逼准则，可知1lim1nnnaa．19．（本题满分10分）设是由锥面222(2)(1)(01)xyzz与平面0z围成的锥体，求的形心坐标．