2019年考研数学三真题与解析

12019年考研数学三真题解析一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．1．当0x时，若tanxx与kx是同阶无穷小，则k（）（A）1（B）2（C）3（D）4【答案】（C）【详解】当0x时，331tan()3xxxox，所以331tan()3xxxox，所以3k．2．已知方程550xxk有三个不同的实根，则k的取值范围是（）（A）(,4)（B）(4,)（C）(4,0)（D）(4,4)【答案】（D）【详解】设5()5fxxxk，则42(),(),()555(1)(1)(1),fffxxxxx令()0fx得121,1xx且(1)20,(1)20ff，也就是函数在11x处取得极大值(1)4fk，在21x处取得极小值(1)4fk；由于方程有三个不同实根，必须满足(1)40(1)20fkfk，也就得到(4,4)k．3．已知微分方程xyaybyce的通解为12()xxyCCxee，则,,abc依次为（）（A）1,0,1（B）1,0,2(C）2,1,3（D）2,1,4【答案】（D）【详解】（1）由非齐次线性方程的通解可看出121rr是特征方程20rarb的实根，从而确定2,1ab；（2）显然，*xye是非齐次方程的特解，代入原方程确定4c．4．若级数1nnnu绝对收敛，1nnvn条件收敛，则（）（A）1nnnuv条件收敛（B）1nnnuv绝对收敛（C）1nnnuv收敛（D）1nnnuv发散（注：题目来自网上，我感觉选项（C）应该有误差，否则（A），（B）选项显然没有（C）选项优越，若（A），（B）中有一个正确，则（C）一定正确．题目就不科学了．【答案】（B）【详解】由于1nnvn条件收敛，则lim0nnvn，也就是有界；从而，nnnnnvuvnuMnun，由正项级数的比较审敛法，1nnnuv绝对收敛．25．设A是四阶矩阵，*A为其伴随矩阵，若线性方程组0Ax基础解系中只有两个向量，则(*)rA（）（A）0（B）1（C）2（D）3【答案】（A）【详解】线性方程组0Ax基础解系中只有两个向量，也就是4()2()213rArAn，所以(*)0rA．6．设A是三阶实对称矩阵，E是三阶单位矩阵，若22AAE，且4A，则二次型TxAx的规范形是（）（A）222123yyy（B）222123yyy（C）222123yyy（D）222123yyy【答案】（C）【详解】假设是矩阵A的特征值，由条件22AAE可得220，也就是矩阵A特征值只可能是1和2．而1234A，所以三个特征值只能是1231,2，根据惯性定理，二次型的规范型为222123yyy．7．设,AB为随机事件，则()()PAPB的充分必要条件是（）（A）()()()PABPAPB（B）()()()PABPAPB（C）()()PABPBA（D）()()PABPAB【答案】（C）【详解】选项（A）是,AB互不相容；选项（B）是,AB独立，都不能得到()()PAPB；对于选项（C），显然，由()()(),()()()PABPAPABPBAPBPAB，()()()()()()()()PABPBAPAPABPBPABPAPB8．设随机变量X与Y相互独立，且均服从正态分布2(,)N．则{1}PXY（）（A）与无关，而与2有关（B）与有关，而与2无关（C）与，2都有关（D）与，2都无关【答案】（A）【详解】由于随机变量X与Y相互独立，且均服从正态分布2(,)N，则2~(0,2)XYN，从而111{1}{11}{}212222XYPXYPXYP3只与2有关．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）9．111lim1223(1)nnnn．【答案】1e解：11111limlim11223(1)1nnnnnnne10．曲线3sin2cos()22yxxxx的拐点坐标是（）【答案】(,2)【详解】sin2cosyxxx，cossinyxxx，sinyxx，sincosyxxx；令sin0yxx得120,xx，且()0f，所以(,2)是曲线的拐点；而对于点(0,0)，由于(0)0f，而(4)(0)0f，所以不是曲线的拐点．11.已知函数41()1xfxtdt，则120()xfxdx．【答案】12218．【详解】（1）用定积分的分部积分：111123313444000001111122()()()|11(1)3331218xfxdxfxdxxfxxxdxxdx（2）转换为二重积分：111122442340010001122()111318xtxfxdxxdxtdttdtxdxttdt12．以,ABPP分别表示,AB两个商品的价格．设商品A的需求函数225002AAABBQPPPP，则当10,20ABPP时，商品A的需求量对自身价格弹性(0)AAAA．【答案】0.4【详解】225002AAABBQPPPP，当10,20ABPP时，1000AQ则边际需求2AABAQPPP，商品A的需求量对自身价格弹性为10400.41000AAAAAAAAEQPQEPQP．413．已知矩阵2101111,011Aa01ba．若线性方程组Axb有无穷多解，则a．【答案】1．【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换：222101010101010(,)1111010101010110110011Abaaaaaa显然，当且仅当1a时，()(,)23rArAb线性方程组Axb有无穷多解．14．设随机变量X的概率密度为,02()20,xxfx其他，()Fx为其分布函数，()EX其数学期望，则{()()1}PFXEX．【答案】2.3【详解】20,01(){},0241,2xFxPXxxxx，2204()23xEXdx．230122{()()1}{()}{}13233xPFXEXPFXPXdx．三、解答题15．（本题满分10分）已知函数2,0()1,0xxxxfxxex，求()fx，并求函数()fx的极值．【详解】当0x时，22ln()xxxfxxe，2()2(ln1)xfxxx；当0x时，()1xfxxe，()(1)xfxxe；在0x处，22000()(0)12(ln1)(0)limlimlim1xxxxxfxfxxxfxx，所以()fx在0x处不可导．综合上述：22(ln1),0()(1),0xxxxxfxxex；令()0fx得到1211,xxe．5当1x时，()0fx，当10x时，()0fx，当10xe时，()0fx，当1xe时，()0fx；故11x是函数的极小值点，极小值为1(1)1fe；0x是函数的极大值点，极大值为(0)1f；21xe是函数的极小值点，极小值为21()efee．16．（本题满分10）设函数(,)fuv具有二阶连续的偏导数，函数(,)zxyfxyxy，求22222zzzxxyy．【详解】12(,)(,)zyfxyxyfxyxyx，12(,)(,)zxfxyxyfxyxyy21112212211122222zfffffffx，211221zffxy，211122222zfffy；22211222213zzzffxxyy．17．（本题满分10分）设函数()yx是微分方程2212xyxyex满足条件(1)ye的特解．（1）求()yx的表达式；（2）设平面区域{(,)|12,0()}Dxyxyyx，求D绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积．【详解】（1）这是一个一阶线性非齐次微分方程．先求解对应的线性齐次方程0yxy的通解：22xyCe，其中C为任意常数；再用常数变易法求2212xyxyex通解，设22()xyCxe为其解，代入方程，得222211(),()22xxCxeeCxxx，11()2CxdxxCx，也就是通解为：221()xyxCe把初始条件(1)ye代入，得10C，从而得到22().xyxxe（2）旋转体的体积为2222411()()2xxVyxdxxedxee．18．（本题满分10分）求曲线sin(0)xyexx与x轴之间形成图形的面积．【详解】先求曲线与x轴的交点：令sin0xex得,0,1,2,xkk6当2(21)kxk时，sin0xyex；当2(22)kxk时，sin0xyex．由不定积分1sin(sincos)2xxexdxexxC可得2221sin(1)2kxkkexdxee，22221sin(1)2kxkkexdxee所求面积为22202200220022220sinsinsin11(1)(1)2211111(1)(1)22121kkxxxkkkkkkkkkkSexdxexdxexdxeeeeeeeeee19．（本题满分10分）设1201(0,1,2,)nnaxxdxn（1）证明：数列{}na单调减少，且21(2,3,)2nnnaann；（2）求极限1limnnnaa．【详解】（1）证明：1201nnaxxdx，112101(0,1,2,)nnaxxdxn当(0,1)x时，显然有1nnxx，11210()10nnnnaaxxxdx，所以数列{}na单调减少；先设2200sincos,0,1,2,nnnIxdxdxn则当2n时，1222220002sinsincos(1)sincos(1)()nnnnnnIxdxxdxnxxdxnII也就是得到22,0,1,1nnnIInn令sin,[0,]2xtt，则12222222000011sincossinsin2nnnnnnnnaxxdxttdtdttdtIIIn同理，2211nnnnaIIIn综合上述，可知对任意的正整数n，均有212nnanan，即21(2,3,)2nnnaann；（2）由（1）的结论数列{}na单调减少，且21(2,3,)2nnnaann72111111222nnnnnannnaaannan令n，由