模拟四抗旱方案的制定

承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）：C我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学院（请填写完整的全名）：经济管理学院参赛队员(打印并签名)：1.2.3.日：2012年8月20日评阅编号(教师评阅时填写)：1抗旱方案的制定摘要位于我国西南地区的某个偏远贫困村，年平均降水量不足20mm，是典型的缺水地区。过去村民的日常生活和农业生产用水主要依靠的是每家每户自行建造的小蓄水池囤积雨水与村里现有的四口水井。由于近年来环境破坏，致使小蓄水池与四口水井的蓄水量已经无法满足村民的日常生活。为此，政府决定通过引水进村的方法来解决该问题。但是引水进村需要三年时间，现要求我们制定合理地方案，通过新打井与原井混合使用的方式来解决这三年村民的生活问题，同时使得打井以及铺设管道的费用最少。首先为得到现有4口井在未来的5年的年产水量，根据现有数据进行预测。由于现有数据量较小，且缺失4号井2001年的数据。因此采用灰色模型进行预测。先利用级比法生成缺失数据，为减小误差将4口井的产水量求总之后再取平均，作为原始数据进行预测。利用MATLAB软件求解得到的2010年到2014年平均一口井的产水量为（单位：万吨）：10.839,9.611.8.522，7.577,6.701。总产水量分别为（单位：万吨）：43.356,38.445,34,09,30.228，26.804。对预测数据进行残差检验与后验差检验，其精度符合一级。为求可以满足需求的每年的打井方案并使得打井方案的开支最少。以最少花费为目标函数，建立0-1整数规划后，利用LINGO软件求解后，得到结果第一年应在第2处、3处、6处、8处开凿井，第二年在1处开凿井，第三年在第5处开凿井。三年挖井的总费用为31万元。第一年开凿井需要花费20万元，剩余40万元用来铺设管道。第二年开凿井需要花费5万元，剩余55万元用来铺设管道。第三年开凿井需要花费6万元，剩余54万元用来铺设管道。为求政府解决村民用水问题最小支出以及三年铺设管道的方案，再以最小花费为目标函数，建立整数规划模型。利用LINGO软件求解得到如下结果：第一年的管道铺设费用为40万元，铺设长度为5.76公里；第二年的管道铺设费用为55万元，铺设长度为7.91公里；第三年的管道铺设费用为44万元，铺设长度为6.33公里。每年管道可提供的水量为101.1万吨。三年打井及铺设管道的最小费用为170万元。关键词：打井蓄水费用最小规划问题MATLABLINGO2一、问题的提出与重述位于我国西南地区的某个偏远贫困村，年平均降水量不足20mm，是典型的缺水地区。过去村民的日常生活和农业生产用水一方面靠的是每家每户自行建造的小蓄水池，用来屯积每逢下雨时获得的雨水，另一方面是利用村里现有的四口水井。由于近年来环境破坏，经常是一连数月滴雨不下，这些小蓄水池的功能完全丧失。而现有的四口水井经过多年使用后，年产水量也在逐渐减少。2009年以来，由于水井的水远远不能满足需要，不仅各种农业生产全部停止，而且大量的村民每天要被迫翻山越岭到相隔十几里外去背水来维持日常生活。为此，今年政府打算着手帮助该村解决用水难的问题。从两方面考虑，一是地质专家经过勘察，在该村附近又找到了8个可供打井的位置，它们的地质构造不同，因而每个位置打井的费用和预计的年产水量也不同，而且预计每口水井的年产水量还会以平均每年10%左右的速率减少。二是从长远考虑，可以通过铺设管道的办法从相隔20公里外的地方把河水引入该村。铺设管道的费用为LQP51.066.0（万元），其中Q表示每年的可供水量（万吨/年），L表示管道长度（公里）。铺设管道从开工到完成需要三年时间，且每年投资铺设管道的费用为万元的整数倍。要求完成之后，每年能够通过管道至少提供100万吨水。政府从2010年开始，连续三年，每年最多可提供60万元用于该村打井和铺设管道，为了保证该村从2010至2014年这五年间每年分别能至少获得150、160、170、180、190万吨水。问题要求我们根据上述内容，做出一个从2010年起三年的打井和铺设管道计划，以使整个计划的总开支尽量节省（不考虑小蓄水池的作用和利息的因素在内）。二、基本假设1、在铺设管道施工未完成之前不能供水。2、这五年内村民需水量基本稳定。3、铺设管道的工程进度只受资金一方面因素的影响。4、开凿的水井当年就可以用来供水，并年产量为预测值。5、不考虑小蓄水池的作用和利息的因素影响。三、主要变量符号说明为了便于描述问题，我们用一些符号来代替问题中涉及的一些基本变量，如表1所示。其他一些变量将在文中陆续说明。3表1主要变量符号说明一览表0q表示现有四口井9年内产水量的统计值ˆq表示现有四口井的年产水量预测值E表示实际值与预测值的残差()(1,2,,9)relkk第k年残差与实际值的比值rel平均相对误差R后验差比C三年内总的打井费用(1,2,...8)jwj第j口井的打井费用(1,2,31,2,...8)ijxij第i年第j口井是否被开凿(1,2,...8)jj第j口井被开凿时当年的产水量W三年内铺设管道的总费用(1,2,3)ipi第i年铺设管道花费的费用Q每年管道的供水量(1,2,3)iLi第i年铺设管道的长度四、问题分析问题要求我们在不考虑小蓄水池的作用和利息的因素的情况下，做出一个从2010年起三年的打井和铺设管道计划，以使整个计划的总开支尽量节省。由此可知，总开支最小即是目标函数。对于每一口井而言，都有可能被开凿或者是不被开凿这两种情况。被开凿即为1，不被开凿即为0。符合0-1整数规划，从而采用0-1整数规划求解。建立0-1整数规划方程求解得到三年挖井的总方案以及挖井所需的总费用。又因政府每年所投资为整数且根据题目已知的公式0.510.66iipQL等相关条件建立约束方程求解，即可得到这三年如何开凿井与管道铺设的具体方案，并可同时获知最小费用。4五、模型建立及求解问题要求做出一个从2010年起三年的打井和铺设管道计划，以使整个计划的总开支尽量节省。由此可知，总开支最小即是目标函数。对于每一口井而言，都有可能被开凿或者是不被开凿这两种情况。若开凿即为1，不被开凿即为0则，符合0-1整数规划，从而采用0-1整数规划求解。因为在前三年内供水管道施工没有完成，所以不能为小村提供用水。即在施工的三年间小村供水在不考虑小蓄水池作用时，主要的供水源与两部分组成，其一为原有四口井的预测的年产水量，其二为地质专家在小村附近又找到了8个可供打井的位置，进行合理的开凿，以保证小村在施工三年内的供水需求。因此建立0-1整数规划方程首先需要对现有四口井的产水量进行预测，因为该4口井的产水量的数据较少且4号井的数据有缺损，因此采用灰色预测模型进行预测。再分析建立0-1整数规划模型确定每年的打井位置和数量，便得到三年挖井的总方案以及挖井所需的总费用。题目要求每年投资铺设管道的费用为万元的整数倍，且根据题目已知的公式0.510.66pQL可求出每年铺设管道的费用。并且连续三年，政府每年最多可提供60万元用于该村打井和铺设管道，由0-1整数规划模型可求出三年内每一年的打井的费用，当年铺设管道的费用就可以用当年的总资金减去打井费用。因此以三年内总费用作为目标函数，每年政府投资的总资金作为约束条件，建立线性规划模型，求解每年施工的进度，即每年铺设管道的长度L，即可得到这三年如何开凿井与管道铺设的具体方案，并可同时获知政府的最小支出。5.1数据准备针对问题求解所需数据如下：表2现有各水井在近几年的产水量（万吨）表38个位置打井费用（万元）和当年产水量（万吨）编号12345678打井费用57546553当年产水25363215312822125.2数据处理根据现有数据，我们需要根据表2中2001年到2009年4口井的产水量，预测接下5年4口井的产水量。由于数据量较小为小样本数据，因此采用灰色模型对数据进行预测。首先利用级比生成的方法生成4号井2001的数据为65.5万吨。绘图1如下：年份产水量编号2001200220032004200520062007200820091号井32.231.329.728.627.526.125.323.722.72号井21.515.911.88.76.54.83.52.62.03号井27.925.823.821.619.517.415.513.311.24号井46.232.626.723.020.018.917.516.35图1由图1观察可以看出，若用4口井每年的产水量的总和进行预测，4号井的前两年的数据的快速下降便会影响总体预测的准确性。因此，首先将4口井的产水量加总后取平均值再进行预测，即可得到平均一口井的年产水量，然后求出4口井的总排水量。便可减小误差。处理后得到2001年到2009年平均一口井的产水量分别是（单位：万吨）：36.775,29.8,24.475,21.4,19.125,17.075，15.8,14.275,13.05。5.2．1灰色模型的建立与求解设第i年4口井的平均实际供水量iq。分析数据，可得到4个水井2001年到2009年的平均一口井的产水量数据序列（以下简称基本序列），用矩阵形式表示为：0000129,36.775,29.8,24.475,21.4,19.125,17.075,15.8,14.275,13.05qqqq为了便于分析，将随机性很强、规律性很差的基本序列进行一次累加，得到随机性弱化、规律性强化一次累加生成矩阵：1111129,qqqq（1）其中，1010010112121,,(1,29;)iijjqqqqqqqj136.775,66.575,91.05,112.45,131.58,148.65,164.45,178.73,191.78q根据灰色系统原理，由一次累加生成矩阵1q构成的一组微分方程为：11dqaqbdt（2）其中,111(1)12iiiqqq，a和b为待求量；写成离散形式为：0102030405060702001200220032004200520062007200820091号井2号井3号井4号井611(1)11(1)1iiiiiqqqqqtii(3)将（5）式带入（4）式，化简并写成矩阵形式，得：112102110323091198121212qqqaqqqbqqq（4）由最小二乘原理解得：1TTaXXXYb（5）其中，112111321198121=212qqqqXqq将,ab带入微分方程（4）便可得到一次累加预测模型：10*1aiibbqqeaa（6）求解微分方程，得到最终预测公式为模型一——基于灰色系统预测4口水井平均年供水量：011(0)01aiaiibqeeaqq（7）通过MATLAB编程计算得，0.12023,34.52ab据此模型，预测得2010年到2014年平均一口井的产水量为：