高中数学必修四(人教版)课件 第三章 三角恒等变换 3.2 习题课

课前自测课堂互动习题课简单的三角恒等变换目标定位1.能利用和、差、倍角的公式进行基本的变形，并证明三角恒等式；2.能利用三角恒等变换研究三角函数的性质；3.能把一些实际问题转化为三角问题，通过三角变换解决.课前自测课堂互动1.化简：sin2αcosα－sinαcos2α等于()A.－sinαB.－cosαC.sinαD.cosα解析原式＝2sinα·cos2α－sinαcos2α＝sinα（2cos2α－1）cos2α＝sinα.答案C课前自测课堂互动2.若cos(α－β)cosα＋sin(α－β)sinα＝－45，又β∈π，3π2，则cosβ2的值为()A.1010B.31010C.－1010D.－31010解析由cos(α－β)cosα＋sin(α－β)sinα＝cos[(α－β)－α]＝cosβ＝－45，又β∈π，3π2，∴β2∈π2，3π4，cosβ2＝－1＋cosβ2＝－1－452＝－1010，故选C.答案C课前自测课堂互动3.如果α∈π2，π，且sinα＝45，那么sinα＋π4＋cosα＋π4等于()A.425B.－425C.325D.－325解析由已知cosα＝－35，∴sinα＋π4＋cosα＋π4＝2sinα＋π4＋π4＝2cosα＝－352.答案D课前自测课堂互动4.已知函数y＝3sinx＋cosx(x∈R)，该函数的图象可由y＝2sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移得到()A.向右平移π6个单位B.向左平移π6个单位C.向右平移π3个单位D.向左平移π3个单位解析y＝3sinx＋cosx＝2sinx＋π6，可由y＝2sinx的图象向左平移π6个单位得到.答案B课前自测课堂互动5.若函数f(x)＝sin2x－12(x∈R)，则f(x)是()A.最小正周期为π2的奇函数B.最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为2π的偶函数D.最小正周期为π的偶函数解析f(x)＝sin2x－12＝1－cos2x2－12＝－12cos2x，所以最小正周期为T＝2π2＝π，又x∈R，且f(－x)＝－12cos(－2x)＝－12cos2x＝f(x)，所以f(x)是最小正周期为π的偶函数.答案D课前自测课堂互动6.函数y＝1－2cos22x的最小正周期是______.解析由题意y＝－cos4x，T＝2π4＝π2.答案π2课前自测课堂互动题型一三角变换中角的统一【例1】(1)化简：（1－sinα－cosα）sinα2＋cosα22－2cosα(－πα0).(2)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；课前自测课堂互动④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)请根据②式求出这个常数.(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.课前自测课堂互动(1)解∵－πα0，∴－π2α20，∴原式＝2sin2α2－2sinα2cosα2sinα2＋cosα22（1－cosα）＝2sinα2sinα2－cosα2sinα2＋cosα22sin2α2＝2sinα2·sin2α2－cos2α2－2sinα2＝cos2α2－sin2α2＝cosα.课前自测课堂互动(2)解法一(ⅰ)计算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝1－14＝34.(ⅱ)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝34.课前自测课堂互动证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋34cos2α＋32sinαcosα＋14sin2α－32sinαcosα－12sin2α＝34sin2α＋34cos2α＝34.课前自测课堂互动法二(ⅰ)同法一.(ⅱ)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝34.证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝1－cos2α2＋1＋cos（60°－2α）2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝12－12cos2α＋12＋课前自测课堂互动12(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－32sinαcosα－12sin2α＝12－12cos2α＋12＋14cos2α＋34sin2α－34sin2α－14(1－cos2α)＝1－14cos2α－14＋14cos2α＝34.课前自测课堂互动规律方法三角变换包括角的变换与函数名称的变换，而角的变换是内因，起决定性作用；其中角的变换的主要形式，就是角的统一，这是三角变换的精粹.课前自测课堂互动【训练1】证明：1＋sinxcosx＝tanπ4＋x2.证明1＋sinxcosx＝cosx2＋sinx22cosx2＋sinx2cosx2－sinx2＝cosx2＋sinx2cosx2－sinx2＝1＋tanx21－tanx2＝tanπ4＋tanx21－tanπ4tanx2＝tanπ4＋x2.故原式成立.课前自测课堂互动题型二用辅助角公式研究三角函数性质(互动探究)【例2】已知函数f(x)＝cos4x－2sinxcosx－sin4x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)当x∈0，π2时，求f(x)的最小值及取得最小值时x的集合.课前自测课堂互动[思路探究]探究点一什么形式的函数可以直接求周期，最值，单调区间等.提示y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式.探究点二高次的三角式如何化简？提示常见方法①因式分解，②降幂公式.课前自测课堂互动解(1)f(x)＝(cos4x－sin4x)－2sinxcosx＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)－sin2x＝cos2x－sin2x＝2cos2x＋π4.∴T＝2π2＝π，∴f(x)的最小正周期为π.(2)∵0≤x≤π2，∴π4≤2x＋π4≤5π4，∴当2x＋π4＝π，即x＝3π8时，f(x)min＝－2，f(x)取最小值时x的集合为3π8.课前自测课堂互动规律方法将函数解析式化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，才可以将问题化归为y＝sinx或y＝cosx去研究，所以通过三角变换，利用辅助角公式，将复杂函数解析式化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，是解决问题的关键.课前自测课堂互动【训练2】已知函数f(x)＝cos2x－sin2x＋23sinxcosx＋1.(1)求f(x)的最小正周期及f(x)的最小值；(2)若f(α)＝2，且α∈π4，π2，求α的值.解(1)∵f(x)＝cos2x－sin2x＋23sinxcosx＋1.∴f(x)＝cos2x＋3sin2x＋1＝2sin(2x＋φ)＋1，∵tanφ＝ba＝33，且点(3，1)在第一象限，∴φ＝π6，故f(x)＝2sin2x＋π6＋1课前自测课堂互动∴T＝2π2＝π.当sin2x＋π6＝－1，即2x＋π6＝2kπ－π2(k∈Z)，所以x＝kπ－π3(k∈Z)时，函数f(x)min＝－1(2)若f(α)＝2，即2sin2α＋π6＋1＝2，∴sin2α＋π6＝12，课前自测课堂互动即2α＋π6＝2kπ＋π6或2α＋π6＝2kπ＋5π6(k∈Z)∵α∈π4，π2，∴2α＋π6∈2π3，7π6，∴2α＋π6＝5π6，解得α＝π3.课前自测课堂互动题型三三角变换在实际中的应用【例3】某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－3cosπ12t－sinπ12t，t∈[0，24).(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？课前自测课堂互动解(1)因为f(t)＝10－232cosπ12t＋12sinπ12t＝10－2sinπ12t＋π3，又0≤t24，所以π3≤π12t＋π37π3，－1≤sinπ12t＋π3＝1；当t＝2时，sinπ12t＋π3＝1；当t＝14时，sinπ12t＋π3＝－1.于是f(t)在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.课前自测课堂互动(2)依题意，当f(t)11时实验室需要降温.由(1)得f(t)＝10－2sinπ12t＋π3，故有10－2sinπ12t＋π311，即sinπ12t＋π3－12.又0≤t24，因此7π6π12t＋π311π6，即10t18.故在10时至18时实验室需要降温.课前自测课堂互动规律方法三角函数是描述具有周期性的现象的重要数学模型；通过三角变换，将复杂的三角式化为规范的三角式，是解决问题的关键.课前自测课堂互动【训练3】点P在直径AB＝1的半圆上移动，过P作圆的切线PT且PT＝1，∠PAB＝α，问α为何值时，四边形ABTP面积最大？解如图所示，∵AB为直径，∴∠APB＝90°，又AB＝1，∴PA＝cosα，PB＝sinα.又PT切圆于P点，∠TPB＝∠PAB＝α，课前自测课堂互动∴S四边形ABTP＝S△PAB＋S△TPB＝12PA·PB＋12PT·PB·sinα＝12sinαcosα＋12sin2α＝14sin2α＋14(1－cos2α)＝14(sin2α－cos2α)＋14＝24sin2α－π4＋14.∵0απ2，∴－π42α－π434π，∴当2α－π4＝π2，即α＝38π时，S四边形ABTP最大.课前自测课堂互动[课堂小结]1.三角函数的求值与化简要有联系的观点，注意观察角、函数名称、式子结构之间的联系，然后进行变换.2.利用三角函数值求角要考虑角的范围.3.与三角函数的图象与性质相结合的综合问题.借助三角恒等变换将已知条件中的函数解析式整理为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后借助三角函数图象解决.4.利用辅助角公式，asinx＋bcosx转化时一定要严格对照和差公式，防止搞错辅助角.5.计算形如y＝sin(ωx＋φ)，x∈[a，b]形式的函数最值时，不要将ωx＋φ的范围和x的范围混淆.