高中数学思想方法分类讨论

§2分类讨论思想方法解读1．分类讨论思想就是将一个复杂的数学问题分解成若干个简单的基础性问题，通过对基础性问题的解答，解决原问题的思维策略，实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略，分类讨论可以优化解题思路，降低问题难度．2．分类的原则是：(1)分类的对象确定，标准统一；(2)不重复，不遗漏；(3)分层次，不越级讨论．3．回顾总结中学数学教材中分类讨论的知识点，大致有：①绝对值概念的定义；②一元二次方程根的判别式与根的情况；③二次函数二次项系数的正负与抛物线的开口方向；④反比例函数y＝kx(x≠0)的反比例系数k，正比例函数y＝kx的比例系数k，一次函数y＝kx＋b的斜率k与图象位置及函数单调性的关系；⑤幂函数y＝xa的幂指数a的正、负与定义域、单调性、奇偶性的关系；⑥指数函数y＝ax及其反函数y＝logax中底数a＞1及a＜1对函数单调性的影响；⑦等比数列前n项和公式中q＝1与q≠1的区别；⑧不等式性质中两边同乘(除)以正数或负数时对不等号方向的影响；⑨直线与圆锥曲线位置关系的讨论；⑩运用点斜式、斜截式直线方程时斜率k是否存在．4．分类讨论的一般流程：明确讨论的对象确定讨论的全体选择分类的标准逐类进行讨论获得初步结果归纳整合写出结论分类突破一、根据概念分类例1若函数f(x)＝ax－x－a(a＞0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．解析设函数y＝ax(a＞0且a≠1)和函数y＝x＋a.则函数f(x)＝ax－x－a(a＞0且a≠1)有两个零点，就是函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图象与函数y＝x＋a的图象有两个交点．由图象可知，当0＜a＜1时，两函数只有一个交点，不符合；当a＞1时，因为函数y＝ax(a＞1)的图象过点(0,1)，而直线y＝x＋a的图象与y轴的交点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a的取值范围是a＞1.a＞1归纳拓展有许多核心的数学概念是分类的，比如：直线斜率、指数函数、对数函数等，与这样的数学概念有关的问题往往需要根据数学概念进行分类，从而全面完整地解决问题．变式训练1设0＜x＜1，a＞0且a≠1，比较loga(1－x)与loga(1＋x)的大小．解∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1,1＋x＞1,0＜1－x2＜1.①当0＜a＜1时，loga(1－x)＞0，loga(1＋x)＜0，所以loga(1－x)－loga(1＋x)＝loga(1－x)－[－loga(1＋x)]＝loga(1－x2)＞0；②当a＞1时，loga(1－x)＜0，loga(1＋x)＞0，所以loga(1－x)－loga(1＋x)＝－loga(1－x)－loga(1＋x)＝－loga(1－x2)＞0.由①②可知，loga(1－x)＞loga(1＋x).二、根据运算需要分类例2已知在等比数列{an}中，a1＝1，Sn是其前n项和，且ak＋1，ak＋3，ak＋2(k∈N)成等差数列．(1)求数列{an}的公比；(2)试判断Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2(k∈N)是否也构成等差数列，并说明理由．解(1)设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，则ak＋1＝qk，ak＋3＝qk＋2，ak＋2＝qk＋1，依题意得2qk＋2＝qk＋qk＋1，由于qk≠0，所以2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－12.(2)当q＝1时，Sk＋1＝(k＋1)a1＝k＋1，Sk＋3＝k＋3，Sk＋2＝k＋2，显然Sk＋1＋Sk＋2＝k＋1＋k＋2＝2k＋3≠2Sk＋3，故Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2不能构成等差数列；当q＝－12时，Sk＋1＝1－－12k＋11－－12＝231－－12k＋1，同理可得Sk＋2＝231－－12k＋2，Sk＋3＝231－－12k＋3，于是Sk＋1＋Sk＋2＝231－－12k＋1＋231－－12k＋2＝232－－12k＋1－－12k＋2＝431－－12k＋3＝2Sk＋3，所以Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2能构成等差数列．综上所述：当q＝1时，Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2不能构成等差数列；当q＝－12时，Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2能构成等差数列．归纳拓展分类讨论的许多问题是由运算的需要引发的，比如：除法运算中分母是否为0；解方程、不等式中的恒等变形；用导数求函数单调性时导数正负的讨论；对数运算中底数是否大于1；数列运算中对公差、公比限制条件的讨论等，如果运算需要对不同情况作出解释，就要进行分类讨论．变式训练2设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn＞0(n＝1,2,3，…)．(1)求q的取值范围；(2)设bn＝an＋2－32an＋1，记{bn}的前n项和为Tn，试比较Sn与Tn的大小．解(1)∵{an}是等比数列，Sn＞0，可得a1＝S1＞0，q≠0，当q＝1时，Sn＝na1＞0；当q≠1时，Sn＝a1(1－qn)1－q＞0，即1－qn1－q＞0(n＝1,2,3，…)，上式等价于①1－q＜01－qn＜0(n＝1,2,3，…)或②1－q＞01－qn＞0(n＝1,2,3，…)解①式得q＞1；解②式，由于n可为奇数、可为偶数，故－1＜q＜1.综上，q的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．(2)由bn＝an＋2－32an＋1，得bn＝anq2－32q，Tn＝q2－32qSn，于是Tn－Sn＝Snq2－32q－1＝Snq＋12(q－2)．又因为Sn＞0且－1＜q＜0或q＞0，所以当－1＜q＜－12或q＞2时，Tn－Sn＞0，即Tn＞Sn；当－12＜q＜2且q≠0时，Tn－Sn＜0，即Tn＜Sn；当q＝－12或q＝2时，Tn－Sn＝0，即Tn＝Sn.三、根据图形形状位置变化分类例3如图所示，已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.(1)求圆A的方程；(2)当MN＝219时，求直线l的方程；(3)BQ→·BP→是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．解(1)设圆A的半径为R.∵圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，∴R＝－1＋4＋75＝25.∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.(2)当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.连结AQ，则AQ⊥MN.∵MN＝219，∴AQ＝20－19＝1.由AQ＝k－2k2＋1＝1，得k＝34.∴直线l的方程为3x－4y＋6＝0.∴所求直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.(3)∵AQ⊥BP，∴AQ→·BP→＝0.∴BQ→·BP→＝(BA→＋AQ→)·BP→＝BA→·BP→＋AQ→·BP→＝BA→·BP→.当直线l与x轴垂直时，得P－2，－52.则BP→＝0，－52，又BA→＝(1,2)，∴BQ→·BP→＝BA→·BP→＝－5.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)．由y＝k(x＋2)，x＋2y＋7＝0，解得P－4k－71＋2k，－5k1＋2k.∴BP→＝－51＋2k，－5k1＋2k.∴BQ→·BP→＝BA→·BP→＝－51＋2k－10k1＋2k＝－5.综上所述，BQ→·BP→是定值，且BQ→·BP→＝－5.归纳拓展一般由图形的位置或形状变动引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变动；函数问题中区间的变动；函数图象形状的变动；直线由斜率引起的位置变动；圆锥曲线由焦点引起的位置变动或由离心率引起的形状变动；立体几何中点、线、面的位置变动等．变式训练3设F1、F2为椭圆x29＋y24＝1的两个焦点，P为椭圆上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且PF1＞PF2.求PF1PF2的值．解若∠PF2F1＝90°，则PF12＝PF22＋F1F22，∵PF1＋PF2＝6，F1F2＝25，解得PF1＝143，PF2＝43，∴PF1PF2＝72.若∠F1PF2＝90°，则F1F22＝PF12＋PF22＝PF12＋(6－PF1)2.∴PF1＝4，PF2＝2，∴PF1PF2＝2.综上知，PF1PF2＝72或2.规范演练一、填空题1．已知函数f(x)＝2x，x＞0，x＋1，x≤0，若f(a)＋f(1)＝0，则实数a＝________.解析由题意可知f(1)＝21＝2.∴f(a)＋f(1)＝0，∴f(a)＋2＝0.①当a＞0时，f(a)＝2a,2a＋2＝0无解；②当a≤0时，f(a)＝a＋1，∴a＋1＋2＝0，∴a＝－3.－32．(2011·课标全国改编)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝________.解析设P(t,2t)(t≠0)为角θ终边上任意一点，则cosθ＝t5|t|.当t0时，cosθ＝55；当t0时，cosθ＝－55.因此cos2θ＝2cos2θ－1＝25－1＝－35.－353．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为____________．解析分侧面矩形长、宽分别为6和4或4和6两种情况．43或8334．已知双曲线的渐近线方程为y＝±34x，则双曲线的离心率为______．解析当双曲线焦点，在x轴上时，ba＝34，∴b2a2＝c2－a2a2＝e2－1＝916，∴e2＝2516，∴e＝54；当双曲线焦点在y轴上时，ba＝43，∴b2a2＝c2－a2a2＝e2－1＝169，∴e2＝259，∴e＝53.53或545．若函数y＝mx2＋x＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是_________．解析当m＝0时，y＝x＋5在[－2，＋∞)上是增函数；当m≠0时，y＝mx2＋x＋5在[－2，＋∞)上是增函数，必须满足m0－12m≤－2⇒0m≤14，综上所述，m的取值范围应为m|0≤m≤14.0≤m≤146．函数f(x)＝mx2＋mx＋1的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是________．解析因为函数f(x)的定义域为一切实数，所以mx2＋mx＋1≥0对一切实数恒成立，当m＝0时，原不等式即1≥0对一切实数恒成立，当m≠0时，则需m0Δ＝m2－4m≤0，解得0m≤4.综上，实数m的取值范围是[0,4]．[0,4]7．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－40对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是________．解析当a－2＝0即a＝2时，不等式为－40，恒成立，所以a＝2；当a－2≠0时，则a满足a－20Δ0，解得－2a2，所以a的范围是{a|－2a≤2}．(－2,2]8．函数y＝ax(a0，且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a的值是________．解析当a1时，y＝ax在[1,2]上递增，故a2－a＝a2，得a＝32；当0a1时，y＝ax在[1,2]上单调递减，故a－a2＝a2，得a＝12.故a＝12或a＝32.12或32二、解答题9．在△ABC中，设AB→＝(2,3)，AC→＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，求k的值．解因为△ABC是直角三角形，所以当∠A＝90°，则AB→⊥AC→，于是2×1＋3×k＝0，得k＝－23.当∠B＝90°，则AB→⊥BC→，又BC→＝AC→－AB→＝(－1，k－3)，故2×(－1)＋3(k－3)＝0，得k＝113.当∠C＝90°，则AC