通俗易懂_数据包络分析(DEA)讲义

数据包络分析数据包络分析(dataenvelopmentanalysis,DEA)是一种对具有相同类型决策单元(decisionmakingunit,DMU)进行绩效评价的方法。这里相同类型是指这类决策单元具有相同性质的投入和产出，如医院投入的是医护人员、面积、床位数、医疗设备和药品等，产出是门诊病人人次、住院病人人日、代培实习的医护人员数等。衡量一个单位的绩效，通常是用投入产出比这个指标，当所有投入和产出指标均分别可折算成同一单位时（例如货币值），容易根据投入产出比大小对要评定的决策单元进行绩效排序。6-1几个基本概念例有4个银行储蓄所，每月完成10000笔人民币的存款、取款业务，但其投入情况不同，见下表，试分析这4个储蓄所的绩效。储蓄所职员数63107营业面积（）10012050702m1B2B4B3B解：为了进行分析，以职员数为横坐标，营业面积为纵坐标将4个储蓄所的投入标记于下图中：2B1B4B3BD036912306090120职员数营业面积036912306090120职员数营业面积生产前沿面生产可行解DEA有效折线和折线右上方所有点组成的集合为生产可行集。243BBB即这些点多对应的职员数和营业面积所组成的储蓄所均有能力完成每月10000笔的存款业务。由虚线和形成的数据包络线称生产前沿面。243BBB即不可能由这条包络线的左下方对应的职员数和营业面积组成的储蓄所能完成每月10000笔的存款业务。处于包络线（或生产前沿生产面）上的决策单元称为DEA有效（或Pareto有效）。即对三个决策单元来说，为完成每月10000笔的存款业务，如要减少职员，必须增加营业面积，如果要减少营业面积，必须增加职员数，不可能同时既减少职员又减少营业面积。234,,BBB6-2评价决策单元DEA有效性的模型2CRDEA有效性的评价是对已有决策单元绩效的比较评价，属相对评价。(1,2,,)(1,2,,)(1,2,,)njnmimsrs设有个决策单元，每个决策单元有相同的项投入和相同的项产出。ijrjxjiyjr用表示第单元的第项投入量，表示第单元的第项产出量，其投入产出情况如下图所示：11121212221211121212221211212nnmmmnnnsssnnxxxxxxxxxmyyyyyyyyys2投入产出11(1,2,,)irjsrrjrjmiijiviurjhuyhjnvx若用表示第项投入的权值，表示第项产出的权值，则第决策单元的投入产出比的表达式为：0(1,2,,)(1,2,,)12,1,,irjvimursjnjh通过适当选取值和，使对，有，则对第个决策单元的绩效评价可归结为如下优化模型：0001111max1(1,2,,).0(1,2,,),0(1,2,,)srrjrjmiijisrrjrmiijiiruyhvxuyjnstvxvimurs这是一个分式规划问题，可通过下述变换，转化为一个等价的线性规划问题。011,,iirrmiijitwtvtuvx令：则上述线性规划模型可改写为：000011111max0,(1,2,,).10(1,2,,),0(1,2,,)ssjrrjrrjrrmsiijrrjirmiijiirhtuyywxyjnstwxwimrs写成如下形式：000000011221112121111212112122221212222112211221122max00.0jjjsjsmmssmmssnnmnmnnsnsjjmmjhyyyxwxwxwyyyxwxwxwyyystxwxwxwyyywxwxwx10(1,2,,),0(1,2,,)irwimrs12,,,n设对偶变量分别为与，则对偶线性规划问题可写出如下：0011min0,(1,2,,).,(1,2,,)0,(1,2,,)nijjijjnrjjrjjjxximstyyrsjn对偶问题的经济意义十分明显：为了评价决策单元的绩效，可用一个假想的组合决策单元与其比较。0j1nijjjx1nrjjjy是这个假想组合决策单元的投入，是这个假想组合决策单元的产出。这个模型的含义是：如果的最优值小于1，则表明可以找到一个假想的决策单元，它可以用比评价决策单元更少的投入，获得不少于被评价决策单元的产出，从而表明被评价决策单元为非DEA有效，只有时，才表明被评价的决策单元DEA有效。1这个模型的解析表达式为：00000011112211211222221122111122112112222211221min000.,nnjnnjmmmnnmjnnjnnjsssnnsjxxxxxxxxxxxxstyyyyyyyyyyyy2,,0n例12：有4所医院，其投入产出情况如下表所示：医院投入产出职员数床位数面积（m2）年门诊病人（人次）住院病人（人日）H128510080003550025000H21626465002800018000H32759085003300024000H42308575003000021000试分别评价上述4所医院是否DEA有效。1H解：对于：12341234123412341234min28516227523028501006490851000800065008500750080000.355002800033000300003550025000180002400021000250000(1,2,3,4)jstj123411,0,min1LINDOHDEA用求解，得，故为有效。2H对于：123420,1,0,0,min1LINDOHDEA用求解，得，故为有效。12341234123412341234min2851622752301620100649085640800065008500750065000.355002800033000300002800025000180002400021000180000(1,2,3,4)jstj3H对于：123430.292422,0.927192,0,0,min0.98424971LINDOHDEA用求解，，故为非有效。12341234123412341234min2851622752302750100649085900800065008500750085000.355002800033000300003300025000180002400021000240000(1,2,3,4)jstj4H对于：123440.475921,0.505666,0,0,min0.9458923LINDOHDEA用求解，，故为非有效。12341234123412341234min2851622752302300100649085850800065008500750075000.355002800033000300003000025000180002400021000210000(1,2,3,4)jstj例：某研究单位对天津、上海、海口等城市的7个污水处理厂的运营情况进行DEA有效性评价分析。选择的投入和产出指标为：投入指标：（1）年总运行成本（万元）（2）总投资额（万元）产出指标：（1）日处理污水量（万立方米/日）（2）投资利税率（%）下表列举了各污水处理厂的投入产出指标数据，试进行DEA评价。一厂二厂三厂四厂五厂六厂七厂总投资额（万元）4590140006580023558285626160016300年总运行成本（万元）2922031408230522758952349日处理污水量（万立方米/日）9203135402230投资利税率（%）12.2210.9710.8711.298.911115解：对于决策单元（污水处理一厂）有：11234567123456712345671234min45901400065800235582856261600163004590029220314082305227589523492920.9203135402230912.2210.9710.8711.29DVst5678.91111512.220(1,2,3,4,5,6,7)jj解得：污水处理一厂是DEA有效的。12345671,0,min1同样对于污水处理二厂，可以建立类似的模型，解得：12345670,1,0,min1污水处理二厂也是DEA有效的。对于污水处理三厂，建立模型求解得：12345670.6310,1.2660,0,min0.3133898污水处理三厂不是DEA有效的。对于污水处理四厂，建立模型求解得：12345673.888889,0,min0.7577污水处理四厂不是DEA有效的。12345674.4445,0,min0.7142对于污水处理五厂，建立模型求解得：污水处理五厂也不是DEA有效的。12345670.001996,1.0991,0,min0.249945对于污水处理六厂，建立模型求解得：污水处理六厂也不是DEA有效的。12345673.3333,0,min0.93865对于污水处理七厂，建立模型求解得：污水处理七厂也是非DEA有效的。