【南方新课堂】2016年高考数学总复习 第二章 函数、导数及其应用 第16讲 定积分及其应用举例课件

第16讲定积分及其应用举例1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.2．了解微积分基本定理的含义．1．定积分性质(1)bakf(x)dx＝kbaf(x)dx.(2)[baf1(x)±f2(x)]dx＝baf1(x)dx±baf2(x)dx.(3)caf(x)dx＋bcf(x)dx＝baf(x)dx(acb)．2．微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a，b]上有定义的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么baf(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿­莱布尼兹公式，为了方便，常常把F(b)－F(a)记作F(x)|ba，即baf(x)dx＝F(x)|ba＝______________．F(b)－F(a)3．常见求定积分的公式(1)baxndx＝1n＋1xn＋1ba(n≠1)．(2)baCdx＝Cx|ba(C为常数)．(3)sinbaxdx＝－cosx|ba.(4)cosbaxdx＝sinx|ba.(5)1baxdx＝lnx|ba(ba0)．(6)ebaxdx＝ex|ba.(7)baaxdx＝axlnaba(a0，且a≠1)．4．定积分的几何意义(1)直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形．(2)若函数f(x)在区间[a，b]上连续且恒有f(x)≥0，那么定积分baf(x)dx表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形的面积．5．定积分的物理意义(1)变速直线运动的路程公式：做变速直线运动的物体所经过的路程s等于其速度函数v＝v(t)[v(t)≥0]在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝bav(x)dx.(2)变力做功公式：如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(ab)，则变力F(x)所做的功W＝baF(x)dx.1．曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝π2所围成的平面区域的面积为()A．π20(sinx－cosx)dxB．2π40(sinx－cosx)dxC．π20(cosx－sinx)dxD．2π40(cosx－sinx)dxD2．π2π2(sinx＋cosx)dx的值是()A．0B.π4C．2D．43．若π20(sinx－acosx)dx＝2，则实数a＝()A．－1B．1C．－3D.3CA4．在等比数列{an}中，a3＝6，前三项的和S3＝304xdx，则公比q的值为()A．1B．－12C．1或－12D．－1或－12C考点1定积分的计算A．1C．eB．e－1D．e＋1例1：(1)10(ex＋2x)dx＝()答案：C解析：10(ex+2x)dx＝(ex+x2)10=e＋1－e0－0＝e.故选C.(2)3209xdx＝()A．9πB．3πC.94πD.92π答案：C解析：由定积分的几何意义知，3209xdx是由曲线y＝9－x2，直线x＝0，x＝3围成的封闭图形的面积，故3209xdx＝π×324＝94π.(3)(2013年江西)若S1＝221xdx，S2＝211xdx，S3＝21exdx，则S1，S2，S3的大小关系为()A．S1S2S3B．S2S1S3C．S2S3S1D．S3S2S1解析：方法一：如图D8，根据定积分的几何意义知，S1，S2，S3分别是函数y＝x2，y＝1x，y＝ex与x＝1，x＝2及x轴所围成的面积，显然S2S1S3.图D8【规律方法】本题可以利用公式进行定积分运算，然后比较大小，也可以利用定积分的几何意义比较面积的大小，数形结合，相得益彰．方法二：S1＝221xdx＝313x21＝73，S2＝211xdx＝lnx|21＝ln2，S3＝21exdx＝ex|21＝e2－e＝(e－1)ee73，所以S2＜S1＜S3.故选B.答案：B【互动探究】1．(2013年湖南)若20Txdx＝9，则常数T的值为___.解析：20Txdx＝13x3T0＝13T3＝9，T3＝27，T＝3.32．(2015年广东深圳一模)33(x2－2sinx)dx＝______.解析：33(x2－2sinx)dx＝13x3＋2cosx33＝9＋2cos3＋9－2cos3＝18.18考点2利用定积分求平面区域的面积例2：(2014年山东)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A．2C．2B．4D．4答案：D22解析：S＝20(4x－x3)dx＝2x2－14x420＝4.故选D.【互动探究】3．设a0.若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝______.49x4．(2014年广东广州调研)如图2-16-1，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数y＝x2图象下方的点构成的区域．若在D内随机取一点，则该点落入E中的概率为_____.图2-16-113考点3定积分在物理方面的应用例3：汽车以54千米/时的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以3米/秒2的加速度匀减速刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少千米？解：由题意，v0＝54千米/时＝15米/秒，∴v(t)＝v0－at＝15－3t，令v(t)＝0，得15－3t＝0，t＝5，即5秒时，汽车停车．∴汽车由刹车到停车所行驶的路程为s＝50v(t)dt＝50(15－3t)dt＝15t－32t250＝37.5(米)＝0.0375(千米)．答：汽车走了0.0375千米．【规律方法】汽车刹车过程是一个减速运动过程，我们可以利用定积分算出汽车在这个过程中所走过的路程，计算之前应先算出这一过程所耗费的时间和减速运动变化式．若做变速直线运动的物体的速度关于时间的函数为v＝v(t)[v(t)≥0]，由定积分的物理意义可知，做变速运动物体在[a，b]时间内的路程s是曲边梯形(如图2-16-2的阴影部分)的面积，即路程图2-16-2s＝bav(t)dt；若v(t)≤0(a≤t≤b)时，则路程s＝－bav(t)dt.B．8＋25ln【互动探究】5．(2013年湖北)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋251＋t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A．1＋25ln5C．4＋25ln5113D．4＋50ln2答案：C解析：令v(t)＝7－3t＋251＋t＝0，化为3t2－4t－32＝0，又t0，解得t＝4.∴由刹车行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离：s＝25731battdt＝7t－3t22＋25ln1＋t40＝4＋25ln5.考点4定积分的综合应用例4：已知函数y＝f(x)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)，，C(1,0)，函数y＝xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为__________．1,12B答案：14解析：根据题意，得f(x)＝2x，0≤x≤12，－2x＋2，12x≤1.∴y＝xf(x)＝2x2，0≤x≤12，－2x2＋2x，12x≤1.∴围成的面积为S＝1202x2dx＋112(－2x2＋2x)dx＝14，∴围成的图形的面积为14.【互动探究】6．抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积为_____.解析：如图D9.∵y′＝－2x＋4，∴在点A(1,0)处的切线斜率k1＝2，方程为y＝2(x－1)，在点B(3,0)处的切线斜率k2＝－2，方程为y＝－2(x－3)．由y＝2x－1，y＝－2x－3得x＝2，y＝2，图D9故所求面积为S＝21[(2x－2)－(－x2＋4x－3)]dx＋32[(－2x＋6)－(－x2＋4x－3)]dx＝13x3－x2＋x21＋13x3－3x2＋9x32＝23.答案：23