【南方新课堂】2016年高考数学总复习 第二章 函数、导数及其应用 第6讲 对数式与对数函数课件 理

第6讲对数式与对数函数1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2．理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．3．了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a0，且a≠1)．1．对数的概念(1)如果ax＝N(a0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．(3)以10为底的对数叫做常用对数，记作lgN；以e为底的对数叫做自然对数，记作lnN.(2)对数恒等式：loga1＝____，logaa＝1，alogaN＝____.0N2．对数的运算性质如果a0，且a≠1，M0，N0，那么(1)loga(MN)＝logaM＋logaN.(2)logaMn＝nlogaM(n∈R)．(3)logaMN＝________________.3．换底公式(1)logbN＝logaNlogab(a，b0，a，b≠1，N0)．(2)logba·logab＝________(a，b0，a，b≠1)．loganbm＝mnlogab(a0，a≠1，b0)．1logaM－logaN对数函数y＝logax(a1)y＝logax(0a1)图象定义域(0，＋∞)____________值域R________4．对数函数的图象及性质(0，＋∞)R对数函数y＝logax(a1)y＝logax(0a1)单调性在(0，＋∞)上单调递增在(0，＋∞)上________定点过定点(1,0)过定点(1,0)性质当x∈(0,1)时，y＜0；当x∈(1，＋∞)时，y＞0当x∈(0,1)时，y＞0；当x∈(1，＋∞)时，____5.指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线________对称．单调递减y＜0y＝x(续表)1．log22的值为()A．－2B.2C．－12D.12DD2．(2013年浙江)已知x，y为正实数，则()A．2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgyB．2lg(x＋y)＝2lgx·2lgyC．2lgx·lgy＝2lgx＋2lgyD．2lg(xy)＝2lgx·2lgy解析：2lg(xy)＝2lgx＋lgy＝2lgx·2lgy.故选D.3．(2013年陕西)设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是()B(2，＋∞)A．logab·logcb＝logcaC．loga(bc)＝logab·logacB．logab·logaa＝logabD．loga(b＋c)＝logab＋logac解析：logaa＝1.故选B.4.(2015年广东广州一模)函数f(x)＝ln(x－2)的定义域为___________．考点1对数式的运算例1：(1)(2014年安徽)341681＋log354＋log345＝________.解析：341681＋log354＋log345＝34423＋log354×45＝323＋log31＝278＋0＝278.答案：278(2)设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m＝()A.10B．10C．20D．100答案：A解析：1a＋1b＝logm2＋logm5＝logm10＝2，∴m2＝10.又∵m0，∴m＝10.故选A.【规律方法】第1小题直接利用对数的运算法则；第2小题考查指数式与对数式的互化及换底公式的变形形式logab＝1logba.对数的运算法则及换底公式是对数运算的基础，应熟记并能灵活应用.【互动探究】1．(1)已知23a＝49(a0)，则23loga＝________；(2)若2.5x＝1000,0.25y＝1000，则1x－1y＝________.解析：(1)3223a＝32223⇒a＝323⇒23loga＝23log323=3.(2)x＝log2.51000，y＝log0.251000，∴1x－1y＝1log2.51000－1log0.251000＝log10002.5－log10000.25＝log10002.50.25＝log100010＝13.313考点2对数函数的图象例2：已知loga2＜logb2，则不可能成立的是()A．ab1C．0ba1B．b1a0D．ba1解析：令y1＝logax，y2＝logbx，由于loga2＜logb2，它们的函数图象可能有如下三种情况．由图D3(1)，(2)，(3)，分别得0＜a＜1＜b，a＞b＞1,0＜b＜a＜1.图D3答案：D【规律方法】本题中两个对数的真数相同，底数不同，利用单调性相同的对数函数图象在直线x＝1右侧“底大图低”的特点比较大小.注意loga2＜logb2，要考虑两个对数的底数分别在1的两侧、同在1的右侧及同在0和1之间三种情况.【互动探究】2．函数y＝log2|x|的图象大致是()AABCD解析：函数y＝log2|x|＝log2x，x0，log2－x，x0.故选A.ACBD3．函数f(x)＝|log12x|的图象是()方法二：也可用筛选法求解，f(x)的定义域为{x|x0}，排除B，D，f(x)≥0，排除C.故选A.答案：A解析：方法一：f(x)＝|log12x|＝|log2x|＝log2x，x≥1，－log2x，0x1.故选A.考点3对数函数的性质及其应用例3：(1)(2013年新课标Ⅱ)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则()A．cbaB．bcaC．acbD．abc解析：a＝log36＝log3(2×3)＝log32＋1；b＝log510＝log5(2×5)＝log52＋1；c＝log714＝log7(2×7)＝log72＋1.∵1log23log25log27，∴log32log52log72.∴abc.答案：DA．abcC．acbB．bacD．cba(2)(2014年天津)设a＝log2π，b＝log12π，c＝π－2，则()答案：C解析：∵a＝log2πlog22＝1，b＝log12πlog121＝0，c＝π－2∈(0,1)，∴acb.故选C.【规律方法】比较两个对数的大小的基本方法：①若底数相同，真数不同，可构造相应的对数函数，利用其单调性比较大小；②若真数相同，底数不同，可转化为同底利用换底公式或利用函数的图象，利用单调性相同的对数函数图象在直线x＝1右侧“底大图低”的特点比较大小；③若底数、真数均不相同，则经常借助中间值“0”或“1”比较大小.【互动探究】B4．(2014年安徽)设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则()A．bacC．cbaB．cabD．acb解析：∵a＝log37，log33log37log39，即1a2，又b＝21.121＝2，c＝0.83.11，∴cab.故选B.5．(2015年广东广州调研)已知log2alog2b，则下列不等式一定成立的是()A.1a1bB．log2(a－b)0C.13a12bD．2a－b1C●易错、易混、易漏●⊙探讨复合函数单调性时忽略定义域例题：已知y＝loga(2－ax)在[0,1]上是关于x的减函数，则a的取值范围是__________．错因分析：解题中虽然考虑了对数函数与一次函数复合关系，却忽视了函数定义域的限制，单调区间应是定义域的某个子区间，即函数应在[0,1]上有意义．由复合函数关系知，y＝logau应为增函数，∴a＞1.又由于x∈[0,1]时，y＝loga(2－ax)有意义，u＝2－ax是减函数，∴当x＝1时，u＝2－ax取最小值，且umin＝2－a＞0即可，∴a＜2.综上所述，a的取值范围是(1,2)．答案：(1,2)正解：∵y＝loga(2－ax)是由y＝logau，u＝2－ax复合而成，又a＞0，且a≠1，∴u＝2－ax在[0,1]上是关于x的减函数．【失误与防范】利用对数函数的性质可研究对数型复合函数的值域及单调性等有关问题．必须把握三点：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数由哪些基本初等函数复合而成．