16.5二项式定理_

16.5二项式定理不作多项式运算，用组合知识来考察，展开))()()((babababa展开式中有哪些项？各项系数各是什么？问题取4个a球（不取b球）：取3个a球（取3a1b）：取2个a球（取2a2b）：取1个a球（取1a3b）：不取a球（全取b球）：)(1434CC)(4404CC)(2424CC)(3414CC)(0444CC1111111111123344655101011661515206543210bababababababa（a+b）的n次方展开式的系数的规律猜想：没有大胆的猜想，就不能有伟大的发现和发明。------牛顿nba)(knnkknnnabbCC222110baCbaCaCnnnnnn____?_____)(nba一：二项式定理nba)(knnkknnnabbCC222110baCbaCaCnnnnnn1.二项式定理：二项式定理的证明数学归纳法成立时，显然有当bCaCban110111kkkrrkrkkkkkkbCbaCbaCaCba110等式成立，即假设kn2bababaknkk11时，当11111111101kkkrrkrkkkkkbCbaCbaCaC证:需要证明bababaknkk11时，当111211011110110)(kkkkkkrrkrkkkkkkkkrrkrkkkkkkkkrrkrkkkkkbCabCbaCbaCbaCabCbaCbaCaCbabCbaCbaCaC11110110)()()(kkkkkkkkrrkrkrkkkkkkbCabCCbaCCbaCCaC111111111101kkkkkkrrkrkkkkkbCabCbaCbaCaC该公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的展开式，其中的系数叫做二项式系数。式中的叫做二项式通项，用表示，即通项为展开式的第项。nba)(0,1,2,,rnCrnrnrrnabC1rT1rnba)(222bannCbaannnnCC110knnkknnnabbCC2.二项式系数规律：nnnnnCCCC、、、、2103.指数规律：（1）各项的次数和均为n；（2）二项和的第一项a的次数由n逐次降到0，第二项b的次数由0逐次升到n.1.项数规律：展开式共有n+1个项)(Nn011()nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCb二项展开式定理:单三步41xx求（）的二项展开式例1：例2：62xx求（）的二项展开式例3：121a求（）的二项展开式中的倒数第五项。例4：721x（1）求（）的二项展开式中的第四项的系数；91xx3（2）求（）的二项展开式中x项的系数.。二项展开式中的常数项、求（例153)x1x5412nxx已知（）的二项展开式中,前三项系数成等差数列，求二项展开式中的所有有理项.例6：121112C4C2C2C3nnnnnnnnn求证：例7：515017求证：能被整除。例8：二项式定理二项式系数（rnC，r=0,1,2……n）)()(110NnbCbaCbaCaCbannnrrnrnnnnnn二项展开式二项展开式的通项rrnrnrbaCT1并求这一项的系数。项是第几项，）问项的二项式系数；（）求（项；）求第的展开式中，（、在（312113x3x241)x2x1的展开式中系数最大项）、求（72x12除的余数。被为奇数，求、设8Xn,C6C66CX3nnn2n21n二：二项式系数1111111111123344655101011661515206543210bababababababa二项式系数的性质:性质1、在（a+b）n展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。问题：0121?nnnnnnnCCCCC性质2、（a+b）n的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2n。例10：求证：（a+b）n的展开式中，当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等且同时取得最大值。性质4：先增后减，当n为偶数时，中间项即第2nnC当n为奇数时，中间两项即第13,22nn项的二项式系数相等且最大。12,nnC12nnC12,nnC12nnC22n项的二项式系数最大；2nnC例11：利用二项式定理证明：2*21(5,),nnnnnN（1+x）n=1+nx+有：（1+x）n≈1+nx例：用4、近似计算:2211nnnnnCxCxx（1+x）n≈1+nx求下列数的近似值。（1）（1.0003）5（2）（0.998）4补充举例2101.a217求（-4ab+4b）的二项展开中的含a项的系数，第4项的二项式系数.152.xx求（-1）展开式中的常数项.2113.xx5求（1+)(1-x)的展开式中x项的系数.补充举例:3：在（a-b）n的展开式中,二项式系数的和是1024，求此二项展开式中系数最大的项。4：设（1-x）7=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a7x7，求a0+a2+a4+a6的值。5：求10110被11除的余数。练习:(3x-1)7=a7x7+a6x6+…a1x+a0则a1+a2+…a7=?a1+a3+a5+a7=?a0+a2+a4+a6=?①项数：共n+1项,是关于a与b的齐次多项式②指数:a的指数从n逐项递减到0,是降幂排列；b的指数从0逐项递增到n，是升幂排列。1()knnkkknababCT的展开式通项的特点：nba)(knnkknnnabbCC222110baCbaCaCnnnnnn小结：