2.1--随机变量的概念与离散型随机变量

第二章主要内容2.1随机变量的概念与离散型随机变量2.3连续型随机变量及其概率密度2.2随机变量的分布函数2.4随机变量函数的分布2.1随机变量的概念与离散型随机变量RandomVariableandDistribution出现1点出现2点出现3点出现4点出现5点出现6点XP例：E:掷一颗骰子,观察点数.616161616161如何引入随机变量基本思想将样本空间数量化,即用数值来表示试验的结果设X为出现的点数123456又如：1.某个灯泡的使用寿命为X。X的可能取值为.2.某电话总机在一分钟内收到的呼叫次数为Y.Y的可能取值为.3.设箱中有10个球，其中有2个红球，8个白球；从中任意抽取2个,观察抽球结果。取球结果为两个红球一红一白两个白球X表示取得的红球数210[0,+)0，1，2，3，...,未中中了赢了输了不发生发生不合格合格不健康健康不好好AAA有些随机试验的结果不是用数量来表示，但可数量化实验所有结果XA10随机变量的定义定义2.1.1设随机试验的样本空间为Ω，如果对于每一个样本点，均有唯一的实数与之对应，称为样本空间Ω上的随机变量（RandomVariable）。()X()XX123xX=X(1)0X=X(2)1．作为样本空间上的函数，随机变量的取值随试验的结果而定；任一随机事件就可以用随机变量在实数轴上的某一集合中的取值来表示，2.随机变量的取值的概率有确定的统计规律性.随机变量的两个特征:随机变量与普通变量的差别:随机变量是定义在样本空间上的(样本空间的元素不一定是实数)一个函数，而普通函数是定义在实数轴上的一个函数，通过引进随机变量的概念，能够把不同的样本空间的样本点抽象化为一些定量的实数，由此就可以利用高等数学的有关方法来研究随机现象的统计规律性。用样本空间的子集表示随机实验的各种结果，对研究随机变量的统计规律性和数学工具的运用都有较大的局限性。例1：在掷骰子试验中，例2观察一个电话交换台在一段时间（0，T）内接到的呼叫次数。用随机变量表示事件X表示出现的点数用随机变量X表示事件出现偶数点出现的点数小于4{X=2}{X=4}{X=6}{X4}或{X3}X表示呼叫次数用随机变量X表示事件接到的呼叫次数k次收到不少于1次呼叫{}(0,1,2,)Xkk1X随机变量X的概率分布一般地，随机变量X取值的概率称为该随机变量X的概率分布．取球结果为两个红球一红一白两个白球X表示取得的红球数210P例设箱中有10个球，其中有2个红球，8个白球；从中任意抽取2个,X表示取得的红球数，求X的概率分布。,1210C21028CC,82210C3.使我们用数学分析的方法来研究随机试验成为可能．引入随机变量的意义1.随机事件的发生可以用随机变量的取值表示．2.可以用随机变量取值的概率来研究随机事件发生的概率，从而将随机事件概率的研究转化为随机变量取值概率的研究.随机变量是研究随机试验的有效工具．随机变量的类型随即变量的取值有无穷多个，且不可列其中连续型随机变量是一种重要类型离散型非离散型随机变量的所有取值是有限个或可列个2.1.2离散随机变量及其分布称此式为X的分布律（列）或概率分布（Probabilitydistribution)设离散型随机变量X的所有可能取值是，而取值的概率为12,,,,nxxxkxkp即如果随机变量X的所有取值是有限个或可列个,则称X为离散型随机变量。定义2.1.2,,2,1,}{kpxXPkk全面表达了X的所有可能取值以及取各个值的概率情况p1，p2，…pK…x1，x2，…xk…X离散随机变量分布律的表示法1.公式法kkPXxp2.表格法随机变量X的概率分布特征：两条性质12)1kkp,2,1,00)1kpk.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.X345P0.10.30.6例1求随机变量的分布律【解】X=.P(X=3)P(X=4)P(X=5)1.0135C3.0335C6.03524CC3、4、5设随机变量X的分布律为2(),1,2,3,3kPXkbk试确定常数b.解：根据性质11223()()2313kkkbPXkb例2232113bb1.2b12)1kkpX-112P1/31/21/6设X的分布律为求P(0X≤2)P(0X≤2)例3：由分布律确定概率解=1/2+1/6=2/3=P（X=1）+P（X=2）例4某系统有两台机器相互独立地运转。设第一台与第二台机器发生故障的概率分别为0.1，0.2，以X表示系统中发生故障的机器数，⑴求X的分布律2,1iiAi台机器发生故障”，表示事件“第设解：X=.故所求概率分布为：X210kp02.026.072.00、1、2P{X=0}=P{X=1}=P{X=2}=)(21AAP8.09.02.09.08.01.0)()(2121AAPAAP)(21AAP2.01.0X的分布律为X012kp190136190511903(2)P“至少抽得一件次品”=.513542719019019095=P{X=1}+P{X=2}P{X≥1}2.1.2几种常见的离散型分布2.1.3.10-1分布(二点分布)1－ppP01X则称X服从参数为p的二点分布或(0-1)分布,△定义2.1.3：若随机变量X的分布律为:{}(1)0,1,2...,;kknknPXknkCpp其中0p1,则称X服从参数为n,p的二项分布,记为X～B(n,p)2.1.3.2二项分布Binomialdistribution定义2.1.4在n重贝努利试验中,若以X表示事件A发生的次数,则X可能的取值为0,1,2,3,…,n.随机变量X的分布律1101111nnnkkknknnXknppCppCppp二项分布的概率分布示意图二项分布的图形二项分布的图形二项分布的图形二项分布的图形从一批由9件正品、3件次品组成的产品中,有放回地抽取5次,每次抽一件,求恰好抽到两次次品的概率.有放回地抽取5件,可视为5重Bernoulli实验记X为共抽到的次品数，则)41,5(~BX2522511{2}144PXCA=“一次实验中抽到次品”，P(A)=3/12,n=5p=1/4例解例一大批种子发芽率为90%，今从中任取10粒.求播种后,求（1）恰有8粒发芽的概率；（2）不小于8粒发芽的概率。解X～B（10,0.9）8829910101010100.90.10.90.10.90.9298CCC记X为种子发芽数，则(1)P(X=8)=.(2)P(X≥8)=.1937.01.09.028810CP(X=8)+P(X=9)+P(X=10)2.1.3.3泊松分布Poissondistribution泊松分布的背景及应用二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时,他们做了2608次观察(每次时间为7.5秒)发现放射性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子数X服从泊松分布.其中0,则称X服从参数为的泊松分布X～P()),2,1,0(,!}{kekkXPk若随机变量X的分布律为:记为定义2.1.5泊松分布的图形),2,1,0(,!}{kekkXPk泊松分布的图形),2,1,0(,!}{kekkXPk泊松分布的图形),2,1,0(,!}{kekkXPk泊松分布的图形),2,1,0(,!}{kekkXPk–服务台在某时间段内接待的服务次数；–交换台在某时间段内接到呼叫的次数;–矿井在某段时间发生事故的次数;–显微镜下相同大小的方格内微生物的数目；–单位体积空气中含有某种微粒的数目体积相对小的物质在较大的空间内的稀疏分布，都可以看作泊松分布,其参数可以由观测值的平均值求出。实际问题中若干随机变量服从或近似服从Poisson分布的情形：Poisson分布的性质0kkke！ee),2,1,0(0}{.1kkXP00.2kkkkekXP！1例1：设随机变量X的分布律为其中k=0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a.！kakXPk【解】由分布律的性质知001kkkaekakXP！ea故例2:已知某电话交换台每分钟接到的呼唤次数X服从=4的泊松分布，分别求（1）每分钟内恰好接到3次呼唤的概率；（2）每分钟不超过4次的概率解！kekXPk（1）P{X=3}=（2）P{X≤4}=！3443e}4{}3{}2{}1{}0{XPXPXPXPXPee!2!12}{4XP一电话交换机每分钟呼唤的次数X服从参数为λ的泊松分布，且已知P{X=1}=P{X=2},求每分钟恰有4次呼唤的概率。每分钟恰有4次呼唤的概率为：【解】：已知P{X=1}=P{X=2},22243242ee!二项分布泊松分布)(nnp二项分布的泊松近似定理2.1.1（泊松定理）实际应用中：当n≥20,p≤0.05，即可用泊松公式近似替换二项概率公式(1)!kkknknCppeknp泊松(1781-1840)法国数学家例某人骑摩托车上街,出事故率为0.02，独立重复上街400次，求出事故至少两次的概率.解400次上街400重Bernoulii实验记X为出事故的次数，则≈1-e-8-8e-8≈0.9972P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)结果表明，随着实验次数的增多，小概率事件总会发生的！400400{}0.020.98kkkPxkC=1-0.98400-400（0.02)(0.98399)≈0.9970)02.0,400(~BX802.0400np若某人做某事的成功率为1%，他重复努力400次，成功次数服从二项概率有百分之一的希望，就要做百分之百的努力)01.0,400(~B}0{1}1{XPXP40099.01则至少成功一次的概率为982.0≈1-e-8例2.1.8有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？【解法一】设X表示出事故的次数，则X~B（1000，0.0001）004678801011010....ee}1{}0{1}2{XPXPXP10000101000..np999999110009999099990000101...C2XP查泊松表：解法二：0046788.021010kkke！..例从一批次品率为p的产品中，有放回抽样直到抽到次品为止。求抽到次品时，已抽取的次数X的分布律。解记Ai=“第i次取到正品”,i=1,2,3,…则Ai,i=1,2,3,…是相互独立的！X的所有可能取值为.P(X=k)=)(121kkAAAAP(1-p)k-1p,k=1,2,…{X=k}=.121kkAAAA1，2，3，…,k,…几何分布)(~pGX若随机变量X服从参数为p的几何分布，则记为.定义在独立试验序列中，若一次伯努利试验中某事件A发生的概率为P(A)=p设直到事件A发生所需的试验次数X，那么k次试验中，第k次才得到事件A发生的概率是其中k=1,2,3,....ppkXPk1)1()(例：某人骑自行车从学校到火车站，一路上要经过3个独立的交通灯，设各灯工作独立，且设各灯为红灯的概率为p，0p1，以X表示首次停车时所通过的交通灯数，求X的概率分布律。pX0123pp(1-p)(1-p)