98湖南省长沙一中自主招生考试数学试卷

2007年湖南省长沙一中自主招生考试数学试卷一、填空题1．设a为的小数部分，b为的小数部分，则的整数部分为_________．2．下列两个方程组与有相同的解，则m+n=_________．3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，∠A的平分线AD交BC于D，则=_________．4．已知a是方程x2﹣2002x+1=0的根，则=_________．5．A、B是平面内两个不同的定点，在此平面内找点C，使△ABC为等腰直角三角形，则这样的点C有_________个．6．某工程队要招聘甲乙两种工种的工人150名，甲乙两种工种工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的两倍，问甲乙两种工种的人数各聘_________时可使得每月所付工资最少，最小值是_________．7．已知，则分式=_________．8．如图，D、E分别是△ABC的边AC、AB边上的点，BD、CE相交于点O，若S△COD=3，S△BDE=4，S△OBC=5，那么S四边形ADOE=_________．9．三边长为整数且最长边是11的三角形共有_________个．10．已知方程：x3+4x2﹣11x﹣30=0的两个根的和等于1，则这个方程的三个根分别是_________．11．若函数当a≤x≤b时的最小值为2a，最大值为2b，求a、b的值．12．函数，其中a为任意实数，则该函数的图象在x轴上截得的最短线段的长度为_________．二、解答题（共8小题，满分0分）13．已知关于x的方程x2﹣（2m﹣3）x+m﹣4=O的二根为a1、a2，且满足﹣3＜a1＜﹣2，a2＞0．求m的取值范围．14．在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠BAC=45°，BD=3，DC=2，求△ABC的面积．15．一个三角形的三边长分别为a、a、b，另一个三角形的三边长分别为a、b、b，其中a＞b，若两个三角形的最小内角相等，则=_________．16．求方程组的实数解．17．如图，在半径为r的⊙O中，AB为直径，C为的中点，D为的三分之一分点，且的长等于两倍的的长，连接AD并延长交⊙O的切线CE于点E（C为切点），求AE的长．18．如图，△ABC是锐角三角形，以BC为直径作⊙O，AD是⊙O的切线，从AB上一点E作AB的垂线交AC的延长线于F，若．求证：AD=AE．19．如图，在正方形ABCD中，DC的中点为E，F为CE的中点，求证：∠DAE=∠BAF．20．如图，四边形ABCD是正方形，E为BF上一点，四边形AEFC恰好是一个菱形，求∠EAB的度数．2007年湖南省长沙一中自主招生考试数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．设a为的小数部分，b为的小数部分，则的整数部分为5．考点：估算无理数的大小．3071545分析：根据无理数的取值范围表示a、b，再代入所求算式计算，估计结果的整数部分．解答：解：∵1＜＜2，1＜＜2，∴a=﹣1，b=﹣1，∴===（﹣+﹣1）（+）=+2+1，∵≈1.732，2≈2828，∴5＜+2+1＜6，+2+1的整数部分为5，故答案为：5．点评：此题主要考查了无理数的估算，其中无理数包括开方开不尽的数，和π有关的数，有规律的无限不循环小数．2．下列两个方程组与有相同的解，则m+n=3889．考点：二元一次方程组的解．3071545分析：将两个方程组中不含字母系数的方程重新组成方程组求x、y的值，再求m+n的值．解答：解：联立方程组，解得，则m+n=500x﹣489y+640x+20y=1140x﹣469y=1140×3﹣469×（﹣1）=3889，故答案为：3889．点评：本题考查了二元一次方程组的解．结果是将两个方程组重新组合，先求x、y的值，再求m+n．3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，∠A的平分线AD交BC于D，则=．考点：角平分线的性质；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质；勾股定理；特殊角的三角函数值．3071545专题：计算题．分析：过D作DE⊥AB于E，求出CD=DE，求出∠BDE=30°，求出BD=2BE，CD=DE=BE，根据勾股定理求出AE=AC，求出AB﹣AC=BE，代入求出即可．解答：解：过D作DE⊥AB于E，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，∴DE=CD，∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∵∠B=60°，∴∠BDE=180°﹣90°﹣60°=30°，∴BD=2BE，由勾股定理得：DE=CD=BE，由勾股定理得：AE2=AD2﹣DE2，AC2=AD2﹣CD2，∴AE=AC，即AB﹣AC=AB﹣AE=BE，∴==．故答案为：．点评：本题考查了含30度角的直角三角形，勾股定理，三角形的内角和定理，角平分线性质的应用，关键是能根据性质求出CD=BE和AB﹣AC=BE，题目比较好，是一道具有一定代表性的题目．4．已知a是方程x2﹣2002x+1=0的根，则=2001．考点：一元二次方程的解．3071545专题：计算题．分析：由a为方程x2﹣2002x+1=0的根，所以将x=a代入方程得到关于a的等式a2﹣2002a=﹣1，a2+1=2002a，然后将所求的式子的第二项变形为﹣4004a+a，前两项提取2变形后，将a2﹣2002a=﹣1，a2+1=2002a代入，合并约分后再将a2+1=2002a代入，整理后即可得到值．解答：解：∵a是方程x2﹣2002x+1=0的根，∴将x=a代入方程得：a2﹣2002a+1=0，∴a2﹣2002a=﹣1，a2+1=2002a，则2a2﹣4003a+1+=2（a2﹣2002）+a+1+=﹣2+a+1+=﹣1+a+=﹣1+=﹣1+2002=2001．故答案为：2001点评：此题考查了一元二次方程的解，利用了转化及降次的数学思想，其中方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．5．A、B是平面内两个不同的定点，在此平面内找点C，使△ABC为等腰直角三角形，则这样的点C有6个．考点：等腰直角三角形．3071545专题：规律型．分析：分三种情况考虑：当A为直角顶点时，过A作AB的垂线，以A为圆心，AB长为半径画弧，与垂线交于C3与C4两点；当B为直角顶点时，过B作AB的垂线，以B为圆心，BA长为半径画弧，与垂线交于C5与C6；当C为直角顶点时，以上两种情况的交点即为C1和C2，综上，得到所有满足题意的点C的个数．解答：解：A、B是平面内两个不同的定点，在此平面内找点C，使△ABC为等腰直角三角形，如图所示：则这样的点C有6个．故答案为：6点评：此题考查了等腰直角三角形的性质，利用了分类讨论的思想，根据等腰直角三角形的性质找全满足题意的点C是解本题的关键．6．某工程队要招聘甲乙两种工种的工人150名，甲乙两种工种工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的两倍，问甲乙两种工种的人数各聘甲50人，乙100人时可使得每月所付工资最少，最小值是130000．考点：一次函数的应用．3071545分析：设招聘甲工种工人x人，则乙工种工人（150﹣x）人，根据甲、乙两种工种的工人的工资列出一次函数关系式，由乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，求自变量x的取值范围，根据一次函数的性质求工资的最小值．解答：解：设招聘甲工种工人x人，则乙工种工人（150﹣x）人，每月所付的工资为y元，则y=600x+1000（150﹣x）=﹣400x+150000，∵（150﹣x）≥2x，∴x≤50，∵k=﹣400＜0，∴y随x的增大而减小∴当x=50时，y最小=﹣400×50+150000=130000元．∴招聘甲50人，乙100人时，可使得每月所付的工资最少；最少工资130000元．故答案为：甲50人，乙100人，130000元．点评：本题考查了一次函数的运用．关键是根据所付工资列出函数关系式，根据题意求出自变量的取值范围．7．已知，则分式=10﹣17．考点：分式的化简求值．3071545分析：首先求得当x=4﹣时，x2﹣8x+15=1，然后将原式化为x4﹣6x3﹣2x2+18x+23=x2（x2﹣8x+15）+2x（x2﹣8x+15）﹣（x2﹣8x+15）﹣20x+38，即可将原式化简，然后代入x=4﹣，即可求得答案．解答：解：∵当x=4﹣时，x2﹣8x+15=（x﹣3）（x﹣5）=（1﹣）（﹣1﹣）=1，∴=x4﹣6x3﹣2x2+18x+23=x2（x2﹣8x+15）+2x（x2﹣8x+15）﹣（x2﹣8x+15）﹣20x+38=x2+2x﹣1﹣20x+38=x2﹣18x+37=（x2﹣8x+15）﹣10x+22=1﹣10x+22=23﹣10x，∴当x=4﹣时，原式=23﹣10（4﹣）=10﹣17．故答案为：10﹣17．点评：此题考查了分式的化简求值问题．此题比较难，注意得到x2﹣8x+15=1与将原式化为x2（x2﹣8x+15）+2x（x2﹣8x+15）﹣（x2﹣8x+15）﹣20x+38是解此题的关键．8．如图，D、E分别是△ABC的边AC、AB边上的点，BD、CE相交于点O，若S△COD=3，S△BDE=4，S△OBC=5，那么S四边形ADOE=．考点：三角形的面积．3071545专题：应用题．分析：根据“等高的两个三角形的面积的比等于对应的底的比”求出OD与OB的比，再根据S△BDE=4求出△BOE与△DOE的面积，然后设△ADE的面积为x，再次利用“等高的两个三角形的面积的比等于对应的底的比”根据△ADE与△CDE面积的比列式，△ABD与△BCD面积的比列式，然后得到关于x的方程，求解即可．解答：解：∵S△COD=3，S△OBC=5，∴OD：OB=3：5，又∵S△BDE=4，∴S△BOE=×4=2.5，S△DOE=×4=1.5，设△ADE的面积为x，则==，=，所以，=，解得x=，所以，S四边形ADOE=+1.5=．故答案为：．点评：本题考查了三角形的面积，主要利用“等高的两个三角形的面积的比等于对应的底的比”性质，这是解答此题的关键．9．三边长为整数且最长边是11的三角形共有36个．考点：三角形三边关系；一元一次不等式组的应用．3071545分析：确定三边中的两边，分类找到第三边长的范围，再根据第三边长也是整数，且唯一最长的边11的三角形的个数即可．解答：解：当两边长分别为11，1时，10＜第三边＜12，可取11，只有1个；当两边长为11，2时，9＜第三边＜13，又因为最长边是11，故可取10，11共2个数；当两边长为11，3时，8＜第三边＜14，又因为最长边是11，故可取9，10，11共3个数；当两边长为11，4时，7＜第三边＜15，又因为最长边是11，故可取8，9，10，11共4个数；当两边长为11，5时，6＜第三边＜16，又因为最长边是11，故可取7，8，9，10，11共5个数；当两边长为11，6时，5＜第三边＜17，又因为最长边是11，故可取6，7，8，9，10，11共6个数；当两边长为11，7时，4＜第三边＜18，又因为最长边是11，故可取5，6，7，8，9，10，11共7个数；当两边长为11，8时，3＜第三边＜19，又因为最长边是11，故可取4，5，6，7，8，9，10，11共，8个数；当两边长为11，9时，2＜第三边＜20，又因为最长边是11，故可取3，4，5，6，7，8，9，10，11共9个数；当两边长为11，10时，1＜第三边＜21，又因为最长边是11，故可取2，3，4，5，6，7，8，9，10，11共10个数；当两边长为11，11时，0＜第三边＜22，又因为最长边是11，故可取1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11共11个数；去掉重合的组，这样的三角形共有36组．故选答案为：36．点评：此题主要考查了三角形的三边关系，解决本题的关键是分类讨论得到三角形的三边长；注意去掉重合的组成三角形的三边．10．已知方程：x3+4x2﹣11x﹣30=0的两个根的和等于1，则这个方程的三个根分别是﹣2，3，﹣5．考点：根与系数的关系．3071545分析：由于方程的两个根的和等于1，