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关于几何直观的含义与表现形式——对《义务教育数学课程标准（2011年版）》的一点认识孔凡哲1*史宁中2（1.国家基础教育实验中心;2.东北师范大学教育科学学院，吉林长春130024）《课程·教材·教法》2012年第32卷第7期：第92-97页摘要：几何直观是指借助于见到的（或想象出来的）几何图形的形象关系，对数学的研究对象（即空间形式和数量关系）进行直接感知、整体把握的能力。几何直观通常是在有背景的条件下进行的。借助几何直观“看”出来的结果，需要经过逻辑推理的验证。几何直观有助于将抽象的数学对象直观化、显性化，因而，寻找数学对象的直观模型是有效发挥几何直观的重要环节之一。在中小学数学中，几何直观可以体现为实物直观、简约符号直观、图形直观、替代物直观四种表现形式。培养和发展学生的几何直观，需要依托数学课程的每个领域，依托具体的数学课程教学内容，需要具体落实在课程内容之中、课堂教学细节之中。这种工作以保护学生先天的几何直观的潜质作为起点，以有效提升学生的几何直观（能力）水平作为终点，最终形成针对几何的敏锐洞察力和深厚的数学素养。关键词：几何直观；含义；表现形式；培养；案例中图分类号：G633.6文献标识码：A“注重培养学生的几何直观”是进入新世纪以来数学教育的热点话题之一，2003年颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》①明确提出了针对“几何直观”的要求，如，“几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科。人们通常采用直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质……培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的基本要求”，而《义务教育数学课程标准》（2011年版）②（以下简称《标准》（2011年版））先后多处针对“几何直观”提出明确要求，即“在‘图形与几何’的教学中，应帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力”、“初步形成几何直观和运算能力”、“感受符号和几何直观的作用”、“在设计试题时，应该关注并且体现《标准》的设计思路中提出的几个核心词：数感、符号意识、运算能力、模型思想、空间观念、几何直观、推理能力、数据分析观念”、“特别是对于几何图形分类，有利于培养几何直观性和思维的层次性”、“利用几何图形研究代数问题。利用直角坐标系，不仅能够推导出几何图形的代数表达式，还能够利用几何图形来研究代数问题，这是帮助学生建立几何直观的有效途径。”如何理解几何直观？如何结合中小学数学课程教学的典型案例，理解几何直观的具体表现、如何培养几何直观？本文就此阐述自己的理解。一、几何直观的含义及其表现形式对于几何直观，《标准》（2011年版）中明确指出，“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题”。严格意义上讲，这是针对几何直观的作用的解释性说明，而不是针对几何直观的含义的诠释，即不是针对“几何直观”的明确定义。*作者简介：孔凡哲（1965-），男，汉族，山东济宁人，东北师范大学教育学部教授、博导、教育学博士，国家基础教育实验中心副主任，东北师范大学教师教育研究院副院长，东北师范大学南湖实验学校校长，主要从事数学教育、课程与教学论、命题评价与教师教育研究。几何直观究竟是什么含义呢？我们认为：它首先是一种特殊的数学直观。所谓直观，《辞海》（第六版）的解释③是“①即感性认识。其特点是生动性、具体性和直接性；②指旧唯物主义对认识的理解”。《中国大百科》（）的解释是“通过对客观事物的直接接触而获得的感性认识。拉丁文为interi，意为‘凝视’。中国按其不同涵义分别译为‘直观’和‘直觉’。直观的字面意义是直接的观察。”对于数学直观，M.克莱因指出，“Brouwer坚持认为，…决定概念的正确性和可接受性的，是直观，而不是经验和逻辑”，“数学的直观就是对概念、证明的直接把握”“数学不是依靠在逻辑上，而是依靠在正确的直觉上”④；而西方哲学家通常认为，“直观就是未经充分逻辑推理而对事物本质的一种直接洞察，直接把握对象的全貌和对本质的认识”；心理学家则认为，“直观是从感觉的具体的对象背后，发现抽象的、理想的能力”。当代著名数学家徐利治教授提出，“直观就是借助于经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识，而几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知”⑤。换言之，通过直观能够建立起人对自身体验与外物体验的对应关系。综上，我们认为，几何直观是指，借助于见到的（或想象出来的）几何图形的形象关系，对数学的研究对象（即空间形式和数量关系）进行直接感知、整体把握的能力。与几何直观相比，空间观念（空间想象能力）更倾向于，即使是脱离了背景也能想象出图形的形状、关系的能力；而几何直观更强调借助一定的直观背景条件而进行整体把握的能力，虽然空间观念（空间想象能力）有时也需要借助一定的实物（即几何原型）进行想象，但是，许多情况下是在没有背景的条件下进行的，而未必一定借助直观进行感知、把握。与其同时，从对象上来看，空间观念不仅涉及“根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体”，而且涉及“想象出物体的方位和相互之间的位置关系，描述图形的运动和变化，依据语言的描述画出图形等”†，而几何直观是凭借图形对几乎所有的数学研究对象进行思考的能力。也就是说，几何直观与空间观念有重叠的成分，诸如“根据几何图形想象出所描述的实际物体”等，但是，二者各有侧重。不仅如此，几何直观具有思维的跳跃性，而空间观念具有思维的连贯性。几何直观与空间观念在几何活动中共同发挥作用。几何直观与几何推理论证也有密切的关联，几何中的推理论证始终在利用几何直观想象相应的图形，即使是欧几里得在《几何原本》中处理几何证明问题，也不时地借助几何直观（当然，希尔布特在《几何基础》中已经不再借助几何直观，而是单纯的形式化、高度的形式化）。而借助几何直观“看”出来的结果，需要经过逻辑推理的验证。几何直观与几何直觉非常相似。所谓“直觉”，《辞海》的解释是“一般指不经过逻辑推理认识真理的能力”⑥，而《中国大百科》（）的解释是“一种不经过分析、推理的认识过程而直接快速地进行判断的认识能力。近代认知心理学则把直觉看成一种再认过程，是在过去经验的基础上，从长时记忆中提取具有问题解决意义的答案过程。直觉能力是人的心理能力高度发展的表现。”国内外学者普遍认为，“直觉是不经过逻辑的、有意识的推理而识别或了解事物的能力”⑦。一般地，对直觉的理解有广义和狭义之分：广义上的直觉是指，包括直接的认知、情感和意志活动在内的一种心理现象，也就是说，它不仅是一个认知过程、认知方式，还是一种情感和意志的活动。而狭义上的直觉是指人类的一种基本的思维方式。从哲学认识论的视角看，直觉可以分为经验直觉、知性直觉和理性直觉⑧。虽然目前人们对直觉的生理机制了解不多，但是，脑科学的最新研究结果已初步表明,直觉主要是右脑的功能。心理学的实验研究结果已证明,右脑以并行性方式思维,采取的是同时进行整体分析的策略,这就是为什么直觉无需推理就能直接地对事物及其关系做出迅速的识别和理解的原†引自《标准》2011年版。因。⑨许多科学家坚信，直觉是发现和发明的源泉。在阿达玛看来，“在创造阶段，科学家的思维载体往往是各种各样的、因人因事而异的符号、图表或其它形象，亦即此时的思维方式往往是形象的和直觉的，而不是逻辑的”⑩。1954年诺贝尔奖获得者、著名物理学家玻恩认为“实验物理的全部伟大发现，都是来源于一些人的‘直觉’。”几何直观是在直观感知的感性基础之上所形成的理性思考的结果所致，是学习者对于数学对象的几何属性（或与几何属性密切相关的一些属性）的整体把握和直接判断的能力，而几何直觉属于学习者对于数学对象的感性认识，有很大程度上的猜测成分和朦胧的整体把握，不仅有“经验直觉”的成分，而且也有“知性直觉”、“理性直觉”的成分；同时，几何直观是学习者、研究者对于数学对象的全貌和本质进行的直接把握，这种直接判断建立在针对几何图形长期有效的观察和思考的基础之上，有相对丰富的经验积淀，更有经验基础之上的理性的概括和升华；几何直觉是“右脑以并行性方式思维,针对几何研究对象，采取的是同时进行整体分析的策略”,因而，几何直觉无需推理就能直接地对事物及其关系做出迅速的识别和理解；而几何直观则是建立在图形基础之上，以直观背景为条件而进行整体把握的。从“整体把握”这一点上看，二者是相似的；而从“是否有逻辑性来看”二者是明显不同的，几何直观的“整体把握”往往带有明显的逻辑成分，而几何直觉则不然。关于直观的分类，康德指出，“一类是经验直观，一类是纯粹直观”11，这是从哲学的视角给出的权威解释。结合数学（特别是中小学数学）实际，我们认为，在中小学数学中，几何直观具体表现为如下四种表现形式：一是实物直观，二是简约符号直观，三是图形直观，四是替代物直观。其中，实物直观，即实物层面的几何直观，是指借助与研究对象有着一定关联的现实世界中的实际存在物，以此作为参照物，借助其与研究对象之间的关联，进行简捷、形象的思考，获得针对研究对象的深刻判断（的一种能力）。例如，在小学数学“数位”的学习中，十个小棒捆成一捆，十捆装成一箱，这里的一根小棒、一捆棒、一箱棒，就是针对个位1、十位10、百位100的实物直观形式，虽然量纲“捆”、“箱”有人为规定的成分，却与常理相符。简约符号直观，即简约符号层面的几何直观，是在实物直观的基础上，进行一定程度的抽象，所形成的、半符号化的直观。例如，在行程问题中，常用的线路图就是一种简约的、符号化的直观图示（下文中的数轴图示，也是这种类型，是针对代数关系的简约符号直观形式）。这种简约符号直观是经过一定的数学抽象而形成的，与现实生活原型相比，具有一定程度的抽象性。凭借这种图示分析解决问题，就是简约符号层面的直观（能力）正在发挥作用。图形直观是以明确的几何图形为载体的几何直观。下图1就是代数法则（a+b）·c=a·c+b·c的直观图形。凭借图1，学生可以轻松自如地理解（a+b）·c=a·c+b·c。abc图1图2而替代物直观则是一种复合的几何直观，既可以依托简捷的直观图形，也可能依托用语言或学科表征物所代表的直观形式，也可以是实物直观、简约符号直观、图形直观的复合物。例如，在28+7的计算中，有时借助计数器（如图2所示）来表示，也可以借助“10个鸡蛋一盒”或“10根小棒一捆”来分析。对于28+7来说，这里的计数器、“一捆小棒”、“一盒鸡蛋”就是相应的直观图形的替代物。而在统计问题中，可以借助一个圆片代表样本数据1，由此可以很好地理解“移多补少”，进而掌握平均数的概念。这里的“圆片”就是样本数据1的替代物，直观而形象。一般地，实物直观通常是现实世界中存在的实物模型，又能比较直观地体现某些数学对象的特殊属性，属于最低级的抽象。而“替代物直观”则是在现实模型基础上的进一步抽象，已经具备一定的抽象高度。以计数器为例，与“小棒”相比，计数器已经将数位的含义明确表示出来（具有普适性和公共的约定性），而不是某些人的人为规定（例如，有的学生将一把小棒捆成一捆，而未必是十个一捆。）与“替代物直观”相比，图形直观的抽象程度更高一些，其综合程度更强一些，例如，图1就将代数关系（a+b）·c=a·c+b·c很巧妙地融合在三个矩形之间的面积关系之中，既有代数的抽象，更有几何图形的抽象。二、几何直观在理念层面与课堂实践中的意义作用与表现形式在中小学数学教育教学活动中，几何直观，不仅体现在理念层面，而且表现在具体的数学教育教学过程之中。（一）几何直观在理念层面的意义作用与具体表现现代生物学的有关结论（如表观遗传学的核心结论）表明，人与生俱来的、与子代经验无关的“直观”的物质基础确实是存在的；“这种东西至少以两种方式存在：基因和大脑”12；但是，如果没有后天的经验（特别是后天的适度刺激），这种直观不可能得到充分的表达；不仅如此，“直观并不