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数字信号处理V.2013第5章数字信号处理DigitalSignalProcessing第5章有限长单位脉冲响应（FIR）滤波器的设计方法数字信号处理V.2013第5章第19讲线性相位FIR滤波器的特点数字信号处理V.2013第5章5.0序言FIR数字滤波器的差分方程描述∑−=−=10)()(Niiinxany∑−=−=10)(NiiizazH∑−=−=10)()()(Niinxihny∑−=−==10)()()(NiiizihzHiha对应的系统函数线性时不变系统可用卷积和表示数字信号处理V.2013第5章优点：（1）很容易获得严格的线性相位，避免被处理的信号产生相位失真，这一特点在宽频带信号处理、阵列信号处理、数据传输等系统中非常重要；（2）可得到多带幅频特性；（3）极点全部在原点（永远稳定），无稳定性问题；（4）任何一个非因果的有限长序列，总可以通过一定的延时，转变为因果序列，所以因果性总是满足；（5）无反馈运算，运算误差小。缺点：（1）因为无极点，要获得好的过渡带特性，需以较高的阶数为代价；（2）无法利用模拟滤波器的设计结果，一般无解析设计公式，要借助计算机辅助设计程序完成。FIR数字滤波器的特点(与IIR比较)：数字信号处理V.2013第5章IIR数字滤波器的设计方法是利用模拟滤波器成熟的理论及设计图表进行设计的，因而保留了一些典型模拟滤波器优良的幅度特性。但设计中只考虑了幅度特性，没考虑相位特性，所设计的滤波器一般是某种确定的非线性相位特性。为了得到线性相位特性，对IIR滤波器必须另外增加相位校正网络，使滤波器设计变得复杂，成本也高，又难以得到严格的线性相位特性。有限脉冲响应(FIR)滤波器在保证幅度特性满足技术要求的同时，很容易做到有严格的线性相位特性。数字信号处理V.2013第5章H(z)是z－1的N-1次多项式，在z平面上有N-1个零点，在原点z=0处有一个N-1重极点。因此，H(z)永远稳定。稳定和线性相位特性是FIR滤波器最突出的优点。FIR滤波器的设计方法和IIR滤波器的设计方法有很大差别。FIR滤波器设计任务是选择有限长度的h(n)，使频率响应函数H(ejω)满足技术指标要求。三种设计方法：窗函数法、频率采样法和切比雪夫等波纹逼近法。 ∑−=−=10)()(NnnznhzH用N表示FIR滤波器单位脉冲响应h(n)的长度，系统函数H(z)为数字信号处理V.2013第5章5.1线性相位FIR数字滤波器的特性5.1.1线性相位的条件∑−=−=10jje)()e(NnnnhHωω)(je)(ωϕωH=对于长度为N的h(n)，频率响应函数为H(ω)称为幅度特性;称为相位特性。注意：这里H(ω)不同于|H(ejω)|，H(ω)为ω的实函数，可能取负值，而|H(ejω)|总是正值(幅频特性)。)(je)(ωϕωjeH±=数字信号处理V.2013第5章αωωϕ−=)(线性相位即系统的相频特性是频率的线性函数：α为常数，此时通过系统的各频率分量的时延为一相同的常数。αωωϕτ=−=ddg)(αωβωϕ−=)(第一类线性相位第二类线性相位群时延数字信号处理V.2013第5章线性相位FIR滤波器的DTFT为（第一类线性相位）()()ωαωωjjeHeH−=H(ω)是正或负的实函数。等式实部与虚部的比值:()()()()()()∑∑1−0=1−0==NnNnnnhnnhωωαωαωcossincossin()∑−=−=10Nnnjenhω()()[]0=−∑1−0=Nnnnhωαsin()()⎪⎩⎪⎨⎧−≤≤−−=−=10121NnnNhnhNα第一类线性相位偶对称数字信号处理V.2013第5章第一类线性相位：偶对称21−=Nα数字信号处理V.2013第5章第二类线性相位，除了上述的线性相位外，还有一附加的相位，即αωβωφ−=)(()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧−−−=±=−=nNhnhN1221πβα利用类似的关系，可以推出：第二类线性相位奇对称数字信号处理V.2013第5章第二类线性相位：奇对称21−=Nα数字信号处理V.2013第5章αωωϕ−=)(线性相位总结αωπωϕ−±=2)(第一类线性相位第二类线性相位()()101−≤≤−−=NnnNhnh()()nNhnh−−−=1偶对称奇对称21−=Nα数字信号处理V.2013第5章()ωϕωπ20π)1(−−N()ωϕωπ20π)5.0(−−N2π−偶对称)(nh奇对称)(nh图1线性相位特性αωωϕ−=)(αωβωϕ−=)(第一类线性相位第二类线性相位⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=−=221πβαN数字信号处理V.2013第5章分四种情况：5.1.2线性相位FIR滤波器的幅度特性偶对称N偶数偶对称N奇数奇对称N偶数奇对称N奇数数字信号处理V.2013第5章1．h(n)偶对称，N为奇数h(n)=h(N-1-n)数字信号处理V.2013第5章∑−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=2/)3(021cos)(221)(NnNnnhNhHωω()3111222201()2NNNNjjnjnnNehneehωωω−−−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞−−−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠=⎧⎫−⎪⎪⎛⎞=++⎨⎬⎜⎟⎝⎠⎪⎪⎩⎭∑ωωφ21)(−−=N()31220112cos22NNjnNNehnnhωω−−⎛⎞−⎜⎟⎝⎠=⎧⎫⎡−⎤−⎪⎪⎛⎞⎛⎞=−+⎨⎬⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎪⎪⎩⎭∑()()()31212012NNjjNnjjnnNHehneeheωωωω−−⎛⎞−⎜⎟−−−−⎝⎠=−⎛⎞⎡⎤=++⎜⎟⎣⎦⎝⎠∑数字信号处理V.2013第5章令，则21−−=Nnm∑−=+−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=2/)1(1cos)21(221)(NmmmNhNhHωω21,,2,1,212)(,21)0(−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=NnnNhnaNhaL()∑−==2/10cos)(NnnnaHωω令则由于偶对称，因此对这些频率也呈偶对称。ππωω2,,0cos=关于n()ωH(1)/2111()2()cos22NmNNHhhmmωω−−=−−−⎛⎞=++⎜⎟⎝⎠∑π2π0数字信号处理V.2013第5章21,,2,1,212)(,21)0(−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=NnnNhnaNhaL()∑−==2/10cos)(NnnnaHωω数字信号处理V.2013第5章2．h(n)偶对称，N为偶数h(n)=h(N-1-n)()∑−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=12/021cos)(2NnNnnhHωω令，则12Nnm=−+()∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=2/121cos122NmmmNhHωω()()()()∑∑−=−−−−=−−−+=12011201NnnNjNnnjjenNhenheHωωω()120121cos22NmNHhmmωω−+=⎡⎤⎛⎞⎛⎞=−+−⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦∑()∑−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=1202121cos2NnNjNnnheωω()()[]∑−=−−−−+=1201NnnNjnjeenhωω数字信号处理V.2013第5章()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=∑=nNhnbnnbHNn122)(21cos)(2/1ωω写为：也为奇对称，且由于时，()ωHπω=处必有一零点，因此这种情况不能用于设计时的滤波器，如高通、带阻滤波器。1)(,0)(−==zzHH在故π()0≠ωHπω=由于奇对称，所以对()()πωω=−对2/1cosnπω=()(),02/1cos=−nω02ππ数字信号处理V.2013第5章()∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=2/121cos)(NnnnbHωω⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=nNhnb122)(数字信号处理V.2013第5章3.h(n)奇对称，N为奇数，h(n)=-h(N-1-n)()()()∑∑−+=−−=−+=121230NNnnjNnnjjenhenheHωωω()∑−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=23022121sin2NnNjNnnheωπω()()[]∑−=−−−−−=2301NnnNjnjeenhωω)]21(sin[)(2)(230∑−=−−=NnNnnhHωω()()∑−=−−−−−2/3011NnnNjenNhω数字信号处理V.2013第5章令n=m+(N-1)/2，得：()∑−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=2/)1(1sin212NmmmNhHωω)]21(sin[)(2)(230∑−=−−=NnNnnhHωω()ωωmmNhHNm∑−−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=211sin212()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−==∑−=nNhncnncHNn212)(sin)(211ωω数字信号处理V.2013第5章()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−==∑−=nNhncnncHNn212)(sin)(211ωω由于点呈奇对称，所以对这些点也奇对称。ππωω2,,0sin=对n()ωH由于时，相当于H(z)在处有两个零点，不能用于的滤波器设计，故不能用作低通、高通和带阻滤波器的设计。(带通)ππω2,,0=(),0,0sin==ωωHn()00)0(≠≠πHH和1±=z02ππ数字信号处理V.2013第5章()∑−==211sin)(NnnncHωω⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=nNhnc212)(数字信号处理V.2013第5章4.h(n)奇对称，N为偶数()()∑−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=12022121sin2NnNjjNnnheeHωπωω)]21(sin[)12(2)(21∑=−+−=NmmmNhHωω12+−=Nnm令1201()2(1)sin[()]22NmNHhmmωω−+==−+−∑()∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=2/121sin)(NnnndHωω⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=nNhnd122)(数字信号处理V.2013第5章()∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=2/121sin)(NnnndHωω⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=nNhnd122)(02ππ由于在ω=0,２π处为零，所以H(ω)在ω=0,2π处为零，即H(z)在z=1上有零点，并对ω=0,2π呈奇对称。（高通、带通）数字信号处理V.2013第5章四种线性相位FIR滤波器数字信号处理V.2013第5章参考表5.1第一种情况，偶、奇，四种滤波器都可设计。第二种情况，偶、偶，可设计低、带通滤波器，不能设计高通和带阻。第三种情况，奇、奇，只能设计带通滤波器，其它滤波器都不能设计。第四种情况，奇、偶，可设计高通、带通滤波器，不能设计低通和带阻。总结：四种线性相位FIRDF特性1±=zz=1数字信号处理V.2013第5章例1N=5,h(0)=h(1)=h(3)=h(4)=-1/2,h(2)=2，求幅度函数H(ω)。解Ｎ为奇数并且h(n)满足偶对称关系a(0)=h(2)=2a(1)=2h(3)=-1a(2)=2h(4)=-1H(ω)=2-cosω-cos2ω=2-(cosω+cos2ω)()(1)/20()cosNnHannωω−==∑数字信号处理V.2013第5章四种FIR数字滤波器的相位特性只取决于h(n)的对称性，而与h(n)的值无关。•幅度特性取决于h(n)。•设计FIR数字滤波器时，在保证h(n)对称的条件下，只要完成幅度特性的逼近即可。注意：当H(ω)用│H(ω)│表示时，当H(ω)为奇对称时，其相频特性中还应加一个固定相移π。数字信号处理V.2013第5章5.1.3线性相位FIR滤波器的零点特性)1()(nNhnh−−±=()()∑−=−=10NnnznhzH()∑−=−−−±=101NnnznNh()()∑−=−−−±=101)(NmmNzmhzH()()()11−−−±=zHzzHN()()∑−=−−±=101NmmNzmhz数字信号处理V.2013第5章若z=zi是H(z)的零点，则z=z-1i也一定是H(z)的零点。由于h(n)是实数，H(z