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有理数的巧算刘文峰专题简析•有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．1．括号的使用•在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．去括号法则•1、如果括号前面是加号或乘号，去括号后，原来括号里的符号都不变；•2、如果括号前面是减号或除号，去括号后，原来括号里的加号变为减号，减号变为加号，乘号变为除号，除号变为乘号。添括号法则•1.如果括号前面是加号或乘号,加上括号后,括号里面的符号不变。•2.如果括号前面是减号或除号,加上括号后,括号里面的符号全部改为与其相反的符号。•3.添括号可以用去括号进行检验。•字母公式•1.a+b+c=a+(b+c);•2.a-b-c=a-(b+c)•3.a×b×c=a×(b×c);•4.a÷(b×c)=a÷b÷c运算定律①加法的交换律：a+b=b+a；②加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；③乘法的交换律：ab=ba；④乘法的结合律：(ab)c=a(bc)；⑤乘法对加法的分配律：a(b+c)=ab+ac；注：除法没有分配律。例1、计算下式的值：•211×555+445×789+555×789+211×445分析•直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．•解：•原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)•=211×(555+445)+(445+555)×789•=211×1000+1000×789•=1000×(211+789)•=1000000．•说明：加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．•例2、在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析与解•因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．•现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然•n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．•这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即•(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．•所以，所求最小非负数是1．•说明本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．•计算下列各式的值：•(1)-1+3-5+7-9+11-…-2009+2011；•(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；•(3)1991×1999-1990×2000；2．用字母表示数•我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：•这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为：•用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．•例3、计算3001×2999的值．•解：•3001×2999•=(3000+1)(3000-1)•=3000-1•=89999993．观察算式找规律•例6、某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．•87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．•分析与解•若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算．所以总分为：•90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1•=1799，•平均分为90+(-1)÷20=89.95．练习•1、某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．•81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．•例7、计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．•分析：观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法．•解：用字母S表示所求算式，即•S=1+3+5+…+1997+1999．①•再将S各项倒过来写为•S=1999+1997+1995+…+3+1．②•将①，②两式左右分别相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)•=2000+2000+…+2000+2000(500个2000)•=2000×500．•从而有S=500000．•1、计算：1-2+3-4+…+（-1）n+1*n•2、计算：100+99+98-97-96+95+94+93-92-91+…+10+9+8-7-6+5+4+3-2-1•3、求2+4+6+8+10+……+16+18+20的和。例8、计算：•分析：观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算．•分析：一般情况下，分数计算是先通分．本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下一个关系式：•来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法．•解：由于说明：本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用．