2011届高考数学总复习第一轮课件--人教版(理)-第九章-立体几何9.5--棱柱、棱锥的概念和性质

§9.5棱柱、棱锥的概念和性质基础知识自主学习要点梳理1.棱柱、棱锥的定义棱柱棱锥定义如果一个多面体有两个面互相，而其余每相邻两个面的交线互相，这样的多面体叫做棱柱如果一个多面体有一个面是，其余各面是的三角形，这样的几何体叫做棱锥平行平行多边形有一个公共顶点底面侧面其余各面侧棱顶点高两个侧面的公共边互相平行的面侧面与底面的公共顶点各侧面的公共顶点两个底面所在平面的公垂线段顶点到底面所在平面的垂线段多边形2.棱柱、棱锥的性质棱柱棱锥侧面侧棱平行且相等交于一点平行于底面的截面纵截面平行四边形三角形平行四边形三角形与底面全等的多边形与底面相似的多边形3.四棱柱的一些常用性质（1）平行六面体的四条对角线且在；（2）直棱柱的与高相等，直棱柱的及过的截面都是矩形，直棱柱的侧面与垂直；（3）正四棱柱与正方体的底面都是，正方体的侧面和底面都是；（4）长方体的等于同一个顶点上三条棱长的.交于一点该点互相平分侧棱长侧面不相邻两条侧棱底面正方形正方形一条对角线长的平方平方和若长方体的一条对角线与过同一个顶点的三条棱所成角分别为α、β、γ，则cos2α+cos2β+cos2γ=；若长方体的一条对角线与过同一个顶点的三个面所成角分别为α、β、γ，则cos2α+cos2β+cos2γ=.124.正棱锥是棱锥的特殊情形，是棱锥的主要研究对象(1)定义：底面是，并且顶点在底面上的射影是底面的，这样的棱锥叫做.(2)性质：①侧面是，与底面所成二面角均；②侧棱均，侧棱与底面所成的角均；③平行于底面的截面也是；纵截面是；④正棱锥中的基本元素：侧棱、斜高、高、底面外接圆半径、底面内切圆半径.正多边形中心正棱锥全等的等腰三角形相等相等相等正多边形等腰三角形5.体积公式（1）柱体体积公式为V=，其中为底面面积，为高;（2）锥体体积公式为V=，其中为底面面积，为高.6.侧面积与全面积（1）棱柱的侧面积是各侧面，直棱柱的侧面积是底面周长与；棱锥的侧面积是各侧面，正棱锥的侧面积是底面周长与.（2）全面积等于与之和，即S全=+.ShhSShSh31面积之和高之积面积之和斜高积的一半侧面积S侧S底底面积基础自测1.以下命题中正确的是（）A.有两个面是对应边平行的全等多边形，其他面都是平行四边形的多面体是棱柱B.有一个面是多边形，其他面都是三角形的多面体是棱锥C.有三个侧面是矩形的棱柱是直棱柱D.长方体一定是正四棱柱C2.棱柱成为直棱柱的一个必要但不充分条件是（）A.棱柱有一条侧棱与底面垂直B.棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直C.棱柱有一个侧面是矩形，且与底面垂直D.棱柱有两个侧面是矩形，且与底面垂直B3.已知长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为（）6.D5.C14.B32.AC4.（2009·陕西文，11）若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（）解析由题意可知，此几何体是由同底面的两个正四棱锥组成的，底面正方形的边长为1，每一个正四棱锥的高为，所以32.D33.C32.B62.A22.32221312VB5.若一个正三棱柱的高为1，体积为2，则一条侧棱到与它相对的面之间的距离为（）解析由体积公式V=Sh可得底面积为若设底面三角形的边长为a，则有所以a=2，故侧棱到相对面的距离为36.D3.C2.B1.A,32hVS,32432a2.623aD题型一棱柱、棱锥的概念和性质【例1】如果四棱锥的四条侧棱长都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下5个命题中：①等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等；②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补；③底面四边形存在外接圆的四棱锥是等腰四棱锥；④底面是正方形的四棱锥是等腰四棱锥；⑤等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上.其中真命题为（写出所有真命题的序号）.思维启迪结合“等腰四棱锥”的概念，逐一进行判断.解析①真.因为“等腰四棱锥”四条侧棱长都相等，故在底面上的射影长也相等，即顶点在底面上的射影是底面四边形外接圆的圆心，所以腰与底面所成的角都相等；②假.如当底面是矩形（不是正方形）时，且顶点在底面上的射影是底面中心时，这个四棱锥是“等腰四棱锥”，但它的侧面与底面所成的二面角显然不都相等或互补.故是假命题；③假.如当底面是正方形时，底面四边形存在外接圆，但顶点在底面上的射影不是底面中心时，这个四棱锥显然不是“等腰四棱锥”；④假.理由同③；⑤真.因为由①知底面存在外接圆，故等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上，球心在该棱锥的高上.答案①⑤本题要注意“等腰四棱锥”的定义，并会研究其简单的性质与判定方法.掌握“侧棱都相等，则侧棱与底面所成的角都相等”，“侧棱都相等，则底面多边形有外接圆”，“棱锥各侧面三角形的高相等，且顶点在底面上的射影在底面多边形内，则侧面与底面所成的角都相等”等一些常用结论.探究提高知能迁移1设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥.其中真命题的序号是.解析命题①符合平行六面体的定义,故命题①是正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直,故命题②是错误的；因直四棱柱的底面不一定是平行四边形,故命题③是错误的,若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故命题④是错误的.①题型二棱柱、棱锥中的平行与垂直【例2】如图所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°,AB=2,BC=1,AA1=.（1）证明：A1C⊥平面AB1C1；（2）若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？证明你的结论.（1）充分挖掘已知条件，利用线面垂直的判定定理；（2）利用线面平行的判定定理或面面平行的性质定理.3思维启迪证明（1）∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC.∵三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱，∴BC⊥CC1.∵AC∩CC1=C，∴BC⊥平面ACC1A1.∵A1C平面ACC1A1，∴BC⊥A1C.∵BC∥B1C1，∴B1C1⊥A1C.在Rt△ABC中，AB=2，BC=1，∴AC=.∵AA1=，∴四边形ACC1A1为正方形，∴A1C⊥AC1.∵B1C1∩AC1=C1，∴A1C⊥平面AB1C1.（2）当E为棱AB的中点时，DE∥平面AB1C1.证明如下：33如图所示，取BB1的中点F，连结EF，FD，DE，∵D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点,∴EF∥AB1.∵AB1平面AB1C1，EF平面AB1C1，∴EF∥平面AB1C1.同理可证FD∥平面AB1C1.∵EF∩FD=F，∴平面EFD∥平面AB1C1.∵DE平面EFD，∴DE∥平面AB1C1.探究提高在棱锥、棱柱中进行线线、线面、面面的平行与垂直的证明，除了要正确使用判定定理与性质定理外，对几何体本身所具有的性质也要正确把握.如正棱锥、正棱柱的特性，特殊三角形、特殊梯形的使用等.知能迁移2如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点.（1）求证：PB∥平面EAC；（2）求证：AE⊥平面PCD.解（1）连结BD与AC交于O，连结OE，∵O,E分别为BD，PD的中点，∴OE∥PB，且OE平面EAC，PB平面EAC，∴PB∥平面EAC.（2）方法一∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD.又平面PAD∩平面ABCD=AD，平面ABCD⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD.又AE平面PAD，∴CD⊥AE.∵正三角形PAD中，E为PD的中点，∴AE⊥PD.又PD∩CD=D,∴AE⊥平面PCD.方法二∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD.又平面PAD∩平面ABCD=AD，平面ABCD⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD.又CD平面PDC,∴平面PDC⊥平面PAD.∵正三角形PAD中，E为PD的中点，∴AE⊥PD.又平面PDC∩平面PAD=PD.∴AE⊥平面PCD.题型三棱柱、棱锥中的角和距离【例3】如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，侧面PAB和侧面PAD都垂直于底面AC，且侧棱PB、PD都和底面成45°角.（1）求PC与BD所成的角；（2）求PC与底面ABCD所成角的正切值；（3）若M、N分别为BC、CD的中点，求底面中心O到平面PMN的距离.在（3）中，关键是确定O在平面PMN中的射影的位置，故最好能找到过O且垂直于平面PMN的平面，而平面PAC正是我们需要的平面.思维启迪解（1）∵侧面PAB和侧面PAD都垂直于底面AC，且两侧面交于PA，∴PA⊥底面AC.又BD⊥AC，∴BD⊥PC，即PC与BD所成的角为90°.（2）∵PA⊥底面AC，∴∠PCA是PC与底面AC所成的角，∠PBA为PB与底面AC所成的角.∴在Rt△PAB中，PA=AB=a，∴AC=a，（3）∵BD⊥AC,BD⊥PA,∴BD⊥平面PAC.又MN∥BD，∴MN⊥平面PAC.∴平面PAC⊥平面PMN.2.22tanPCA得设MN∩AC=Q，连结PQ，则平面PAC∩平面PMN=PQ.作OH⊥PQ，垂足为H，则OH⊥平面PMN，OH的长即为O到平面PMN的距离，作AG⊥PQ于G.在Rt△PAQ中，PA=a,,42343aACAQ.171731.17173.434aAGOHaPQAQPAAGaPQ探究提高（1）解决空间角度问题，应特别注意垂直关系.如果空间角为90°，就不必转化为平面角来求；（2）注意借助辅助平面（如本题中的平面PAC），将空间距离转化为平面距离来求；（3）棱锥体积具有自等性，即把三棱锥的任何一个顶点看作顶点，相对的面作为底面，利用等积法可求点到平面的距离等.知能迁移3如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，且AB∥CD，∠BAD=90°，PA=AD=DC=2，AB=4.（1）求证：BC⊥PC；（2）求PB与平面PAC所成的角的正弦值；（3）求点A到平面PBC的距离.（1）证明在直角梯形ABCD中，因为AB∥CD，∠BAD=90°，AD=DC=2，所以∠ADC=90°，且AC=2.取AB的中点E，连结CE，由题意可知，四边形AECD为正方形，所以AE=CE=2.2则△ABC为等腰直角三角形，所以AC⊥BC.又因为PA⊥平面ABCD，且AC为PC在平面ABCD内的射影，BC平面ABCD，由三垂线定理得BC⊥PC.（2）解由（1）可知，BC⊥PC，BC⊥AC，PC∩AC=C，所以BC⊥平面PAC.又因为PC是PB在平面PAC内的射影，所以∠CPB是PB与平面PAC所成的角.又CB=2，PB2=PA2+AB2=20，.21,221ABCEABBE所以又2∴PB=2，sin∠CPB=即PB与平面PAC所成角的正弦值为（3）解由（2）可知，BC⊥平面PAC，BC平面PBC,所以平面PBC⊥平面PAC.过A点在平面PAC内作AF⊥PC于F，所以AF⊥平面PBC.则AF的长即为点A到平面PBC的距离.在直角三角形PAC中，PA=2，AC=2，PC=2，所以，即点A到平面PBC的距离为,510.51023362AF.3625题型四棱柱、棱锥的体积和面积【例4】（12分）如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，∠ABD=60°,∠BDC=45°,△ADP∽△BAD.（1）求线段PD的长；（2）若PC=求三棱锥P-ABC的体积.思维启迪解答本题时求线段PD的长只需利用△ADP与△BAD相似即可求出，而求三棱锥P—ABC的体积需先证明PD⊥平面ABC，即PD为三棱锥的高即可求解.,11R解题示范解(1)∵BD是圆的直径,∴∠BAD=90°.又∵△ADP∽△BAD，(2)在Rt△BCD中，CD=BDcos45°=∵PD2+CD2=9R2+2R2=11R2=PC2∴PD⊥CD,又∵∠PDA=90°=∠DAB∴PD⊥底面ABCD［8