高等数学科学出版社下册课后答案第十章曲线积分与曲面积分习题简答

1第十章曲线积分与曲面积分习题简答习题10—11计算下列对弧长的曲线积分：（1）LIxds，其中L是圆221xy中(0,1)A到11(,)22B之间的一段劣弧；解:1(1)2．（2）(1)Lxyds，其中L是顶点为(0,0),(1,0)OA及(0,1)B所成三角形的边界；解:(1)322Lxyds．（3）22Lxyds，其中L为圆周22xyx；解:222Lxyds．（4）2Lxyzds，其中L为折线段ABCD，这里(0,0,0)A，(0,0,2),B(1,0,2),C(1,2,3)D；解:2853Lxyzds．2求八分之一球面2221(0,0,0)xyzxyz的边界曲线的重心，设曲线的密度1。解故所求重心坐标为444,,333．习题10—21设L为xOy面内一直线yb（b为常数），证明xyz(0,0,0)A(0,0,2)B(1,0,2)C(1,2,3)DxyoABC2(,)0LQxydy。证明：略.2计算下列对坐标的曲线积分：（1）Lxydx，其中L为抛物线2yx上从点(1,1)A到点(1,1)B的一段弧。解:45Lxydx。（2）Ldyyxdxyx2222)()(，其中L是曲线xy11从对应于0x时的点到2x时的点的一段弧；解34)()(2222Ldyyxdxyx．（3）,LydxxdyL是从点(,0)Aa沿上半圆周222xya到点(,0)Ba的一段弧；解0.Lydxxdy（4）22Lxydyxydx，其中L沿右半圆222xya以点(0,)Aa为起点，经过点(,0)Ca到终点(0,)Ba的路径；解22Lxydyxydx44a。（5）3223Lxdxzydyxydz，其中L为从点(3,2,1)A到点(0,0,0)B的直线段AB；解3223Lxdxzydyxydz03187874tdt。（6）()()()LIzydxxzdyxydz，L为椭圆周221,2,xyxyz且从z轴正方向看去，L取顺时针方向。解:2。习题10—31.利用曲线积分求下列平面曲线所围成图形的面积:3(1)星形线33cos,sin,xatyat(02t)；）解:238a。(2)圆222xyby，（0b）；解:2b。2利用格林公式计算下列曲线积分:(1)()(3)Lyxdxxydy，其中L是圆9)4()1(22yx，方向是逆时针方向；解:18。(2)3(sin)Lydxyxdy，其中L是依次连接(1,0),A(2,1),B(1,0)C三点的折线段，方向是顺时针方向。解:2.(3)(sin)(cos)xxLeymydxeymdy，其中m为常数，L为圆222xyax上从点(,0)Aa到点(0,0)O的一段有向弧；解:212ma0212ma。(4)22Lxdyydxxy，其中L为椭圆2241xy，取逆时针方向；解202d．(5)Ludsn，其中22(,)uxyxy，L为圆周226xyx取逆时针方向，un是u沿L的外法线方向导数。解36Ludsn。3证明下列曲线积分在整个xOy面内与路径无关，并计算积分值:(1)(2,1)(0,0)(2)(2)xydxxydy；解令2Pxy，2Qxy，则1PyQx在整个yo0(0,0)(2,0)Aax(2,1)B(2,0)AOxy4xOy面内恒成立，因此，曲线积分(2,1)(0,0)(2)(2)xydxxydy在整个xOy面内与路径无关。为了计算该曲线积分，取如右图所示的积分路径，则有(2,1)(0,0)(2)(2)xydxxydy415。(2)(,)22(0,0)(2cossin)(2cossin)xyxyyxdxyxxydy；解令22cossinPxyyx，22cossinQyxxy，则2(sinsin)PyxxyyQx在整个xOy面内恒成立，因此，(,)22(0,0)(2cossin)(2cossin)xyxyyxdxyxxydy在整个xOy面内与路径无关。为了计算该曲线积分，取如右图所示的积分路径，则有(,)22(0,0)(2cossin)(2cossin)xyxyyxdxyxxydy22coscosxyyx。（3）(1,2)(2,1)()()xdxydy，其中()x和()y为连续函数。解令()Px，()Qy，则0PyQx在整个xOy面内恒成立，因此，曲线积分(1,2)(2,1)()()xdxydy在整个xOy面内与路径无关。为了计算该曲线积分，取如右图所示的积分路径，则有(1,2)(2,1)()()xdxydy12()xdx21()ydy。4验证下列(,)(,)PxydxQxydy在整个xOy面内为某一函数(,)uxy的全微分，并求出这样的一个(,)uxy：（1）ydyxdxyxcos)sin2(；解令yxPsin2，yxQcosyxQcos，yyPcos∴原式在全平面上为某一函数的全微分，取(,)Bxy(,0)AxOxy(2,1)A(1,1)BOxy(1,2)COxy(,)Bxy(,0)Ax5)0,0(),(00yx，),()0,0(),(yxQdyPdxyxu=yxxsin2（2）2222(2)(2)xxyydxxxyydy；解因为222Pxxyy，222Qxxyy，所以Qx22xyPy在整个xOy面内恒成立，因此，：在整个xOy面内，2222(2)(2)xxyydxxxyydy是某一函数(,)uxy的全微分，即有2222(2)(2)xxyydxxxyydydu。易知(,)uxy32231133xxyxyyC。（3）(1sin)(2sin)cosxxeydxeyydy。解令(,)(1sin)xPxyey，(,)(2sin)cosxQxyeyy，则在全平面上有cosxQPeyxy，满足全微分存在定理的条件，故在全平面上，(1sin)(2sin)cosxxeydxeyydy是全微分．(,)uxy21sinsinxxeeyy．5可微函数(,)fxy应满足什么条件时，曲线积分(,)()Lfxyydxxdy与路径无关？解令(,)Pyfxy，(,)Qxfxy，则(,)(,)yPfxyyfxyy，(,)(,)xQfxyxfxyx。当PyQx，曲线积分(,)()Lfxyydxxdy在整个xOy面内与路径无关。6习题10—41当为xOy面内的一个闭区域时,曲面积分(,,)fxyzdS与二重积分有什么关系?答当为xOy面内的一个闭区域D时，在xOy面上的投影就是D，于是有(,,)fxyzdS(,,0)Dfxydxdy。2计算曲面积分22()xydS，其中是（1）锥面22zxy及平面1z所围成的区域的整个边界曲面；解1(21)2。（2）yOz面上的直线段0zyx(01)z绕z轴旋转一周所得到的旋转曲面。解22。3计算下列曲面积分:(1)dS，其中是抛物面在xOy面上方的部分：222()zxy,0z；解：13π3.(2)()xyzdS，其中是上半球面2222xyza,0z；解：330ππaa.（3）3()22yzxdS，其中为平面1234xyz在第一卦限的部分；7616．（4）221dSxy，其中是柱面222xyR被平面0z﹑zH所截得的部分.解1221dSxyπHR.同理可求得2221dSxyπHR.7所以221dSxy2πHR.4求抛物面壳221()2zxy（01z）的质量，此壳的密度为z。解2π(631)15.习题10—51当为xOy面内的一个闭区域时,曲面积分(,,)Rxyzdxdy与二重积分有什么关系?答当为xOy面内的一个闭区域时,的方程为0z。若在xOy面上的投影区域为xyD，那么(,,)(,,0)xyDRxyzdxdyRxydxdy，当取上侧时，上式右端取正号;当取下侧时，上式右端取负号。2计算下列对坐标的曲面积分:(1)()()()xydydzyzdzdxzxdxdy，其中是以坐标原点为中心，边长为2的立方体整个表面的外侧；解：()()()xydydzyzdzdxzxdxdy24.（2）2()zxdydzzdxdy，其中为旋转抛物面221()2zxy介于0,2zz之间部分的下侧。解：2()ddddzxyzzxy8π。（3）xdydzydxdzzdxdy，其中为2222azyx，0z的上侧；解∴原式=332a3=32a8（4）xydydzyzdxdzzxdxdy，其中是由平面0x，0y，0z，1xyz所围成的四面体的表面的外侧。解：xydydzyzdxdzzxdxdy18。3把对坐标的曲面积分(,,)(,,)(,,)PxyzdydzQxyzdzdxRxyzdxdy化成对面积的曲面积分，这里为平面32236xyz在第一卦限的部分的上侧。解：3223[(,,)(,,)(,,)]d555PxyzQxyzRxyzS习题10—61利用高斯公式计算下列曲面积分：（1）()()xydxdyxyzdydz，其中为柱面221xy及平面0z及3z所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧。（《高等数学》P170例1）解：92。（2）()()()yzdydzzxdzdxxydxdy，其中为曲面22zxy及平面0z﹑(0)zhh所围成的空间区域的整个边界的外侧。解()()()yzdydzzxdzdxxydxdy=0.（3）222(coscoscos)xyzdS，其中为锥面222xyz介于平面0z﹑(0)zhh之间的部分的下侧，cos﹑cos﹑cos是在点(,,)xyz处的法向量的方向余弦。yzozhx9解：3h。2利用高斯公式计算三重积分()xyyzzxdxdydz，其中是由0x，0y，01z及221xy所确定的空间闭区域。解：11111()66324xyyzzxdxdydz。3利用斯托克斯公式计算下列曲线积分：（1）222222()()()Lyzdxzxdyxydz，其中L为平面1xyz与三个坐标面的交线，其正向为逆时针方向，与平面1xyz上侧的法向量之间符合右手规则；解：222222()()()0Lyzdxzxdyxydz。（2）()()()Lzydxxzdyyxdz，其中L为以点(,0,0)Aa﹑(0,,0)Ba﹑(0,0,)Ca为顶点的三角形沿ABCA的方向。解：2222222()()()3Lyzdxzxdyxydza。习题10—71若球面上每一点的密度等于该点到球的某一定直径的距离的平方，求球面的质量。）解：30224aradrar483a。2设某流体的流速为(,,)yzzxxyv，求单位时间内从圆柱：222xya（0zh）的内部流向外侧的流量（通量）。解：0.xyzO15432103求向量场222(,,)xyzyzxzxy