高等数学第一册ppt教材函数极限

一、自变量趋于有限值时函数的极限第三节二、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容:机动目录上页下页返回结束函数的极限2020/3/152问题：如何用数学语言刻划函数“无限接近”.函数)(xfy在0()xxx的过程中,对应函数值)(xf无限趋近于确定值A.2020/3/153()();fxAfxAe--表示任意小000.xxxxd-?表示的过程x0x0xd-0xd+0,xd点的去心邻域0.xxd体现接近程度1定义一、x→x0时函数的极限2020/3/154定义1设)(xf在点0x的某去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数,使得对于适合不等式00xx的一切x,对应的函数值)(xf都满足不等式Axf)(,那末常数A就叫函数)(xf当0xx时的极限,记作：)()()(lim00xxAxfAxfxx当或00,0,0,().xxfxAedde$--使当时恒有-定义:2020/3/1553)几何解释()yfx=Ae-Ae+A0xd-0xd+0xxyo.2,)(,0的带形区域内宽为为中心线线图形完全落在以直函数域时邻的去心在当Ayxfyxx注:0()fxx函数极限与在点是否有1)定义无关;与任意给定2的正数)有关..,,越小越好后找到一个显然2020/3/156例1).(,lim0为常数证明CCCxx例2.lim00xxxx证明.424lim22xxx证明例3例4.lim,0:000xxxxx时当证明44:lim4.2xxx®-=-证明例52020/3/1572单侧极限202,0()2,0lim()2.xxxfxxxfx®ì-ïï=íï+?ïî=设验证两种情况分别讨论和分00xx,0从左侧无限趋近x,0从右侧无限趋近x2yx=-22yx=+yox2函数值无限接近于2。函数值无限接近于2。2020/3/158左极限000,0,,().xxxfxAedde$--使当时恒有右极限000,0,,().xxxfxAedde$+-使当时恒有0lim()xxfxA-®=?0lim()xxfxA+®=?注1：左极限与右极限都称之为单侧极限2020/3/159+®=?=定理-000lim()lim()lim().:xxxxxxfxAfxfxA0:lim.xxx®证明不存在yx11o00limlimxxxxxx---=左右极限存在但不相等,0lim().xfx®\不存在例6证0lim(1)1x-®=-=-00limlimxxxxxx++=0lim11x+®==注2：单侧极限与双侧极限的关系2020/3/15101定义.)(,,0,0AxfXxX恒有时使当Axfx)(lim二x→∞时函数的极限当xX时，不等式如果对任意给定的正数（不论其多么小）,Axf)(恒成立，那么我们就称数值A是函数)(xfx当时的极限值.,X总存在正数''Xe-定义2020/3/151101.:x??.)(,,0,0AxfXxX恒有时使当02.:x??Axfx)(lim.)(,,0,0AxfXxX恒有时使当Axfx)(lim注:Axfx)(lim.)(lim)(limAxfAxfxx且03充要条件:2020/3/15122.几何解释:XX.2,)(,的带形区域内宽为为中心线直线图形完全落在以函数时或当AyxfyXxXxA2020/3/1513例7证xxxxcos0cos因为x1(),,0,1X取时恒有则当Xx所以0coslimxxx0cosxx0coslimxxx三函数极限的性质2020/3/15141唯一性若函数极限存在,则极限唯一.2有界性注函数极限有界是局部有界。00lim()(,),()oxxfxAUxfxMd®=??有2020/3/1515000lim(),0(0),0,(,),()0(()0).xxfxAAAxUxfxfxdd®=$?若且或则当时或定理000lim(),0,(,),()0(()0),0(0).xxfxAxUxfxfxAAdd®=$?常常若且当时或则或推论3保号性2020/3/15164海因定理（函数极限与数列极限的关系){}000120(),.(),(),(),,(),().nnnnxxxxnxxfxfxfxfxfxxx®设在过程中有数列使得时则称数列即为函数当时的子列定义00lim(),{()}(),lim().nxxnnfxAfxfxxxfxA®=?=若数列是当时的一个子列则有定理2020/3/1517例80sinlim1xxx®=：已知1limsin1,nnn=：则函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.注:xy1sin例9.1sinlim0不存在证明xx证,1nxn取,0limnnx;0nx且,2141nxn取,0limnnx;0nx且nxnnnsinlim1sinlim而,1214sinlim1sinlimnxnnn而1limn二者不相等,.1sinlim0不存在故xx,0五小结2020/3/1520;)(limAnfn;)(limAxfx;)(limAxfx;)(limAxfx;)(lim0Axfxx;)(lim0Axfxx.)(lim0Axfxx.)(,,,0)(limAxfAxf恒有从此时刻以后时刻