33高中数学必修4三角函数化简与证明

顺德大良总校顺德大良一分校顺德大良北区分校顺德大良新桂分校顺德容桂分校顺德容桂体育路分校顺德龙江分校顺德北滘分校顺德乐从分校顺德勒流分校南海桂城分校南海黄岐分校南海大沥分校禅城丽雅苑分校禅城金澜分校中山石岐分校中山益华分校中山小榄分校佛山高明分校一、基础知识：1、诱导公式sin(-a)=-sinacos(-a)=cosasin(2-a)=cosacos(2-a)=sinasin(2+a)=cosacos(2+a)=-sinasin(π-a)=sinacos(π-a)=-cosasin(π+a)=-sinacos(π+a)=-cosatgA=tanA=aacossin2、两角和与差的三角函数公式：⑴sin()_____________________；⑵cos()____________________；⑶tan()_____________3、二倍角公式；⑴cos2______________________________⑵sin2__________⑶tan2____________4、公式的变形应用：⑴降次公式：2cos_______，2sin_________；22cos_______，22sin_________；sincos_______⑵升幂公式：1cos2______;1cos2_______⑶常用变形公式：13sincos_______22xx；sincos_______xx；31sincos_______22xx；sincos_______xx；tantan__________________⑷常见的角的变换：22＝(α＋β)＋()；α＝2＋______；α＝(α＋β)－＝(α－β)＋2＝(α－2)－()；()(_____)4x＝25、和差化积sina+sinb=2sin2bacos2basina-sinb=2cos2basin2bacosa+cosb=2cos2bacos2bacosa-cosb=-2sin2basin2batana+tanb=babacoscos)sin(6、积化和差sinasinb=-21[cos(a+b)-cos(a-b)]cosacosb=21[cos(a+b)+cos(a-b)]sinacosb=21[sin(a+b)+sin(a-b)]cosasinb=21[sin(a+b)-sin(a-b)]7、主要方法与思路：⑴．分析思路上，主要有三看：、、；⑵．主要方法上：函数名称的变换（、）、角的变换（）、1的变换等方面；二．两角和与差的三角函数(1)公式不但要会正用，还要会逆用．例6计算：．(2)公式的变形应用要熟悉．熟记：tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanα·tanβ)，它体现了两个角正切的和与积的关系．3分析(1)中涉及80°与70°的正切和与积，(2)中涉及α+β与α的正切差与积，所以都用正切和角公式的变形公式．(3)角的变换要能灵活应用，如α=(α+β)-β，β=α-(α-β)，2α=(α+β)+(α-β)等．分析因为β=(α+β)-α，所以求cosβ用余弦两个角差的公式．分析因为2β=(α+β)-(α-β)，所以例10已知3sinβ=sin(2α+β)，则tan(α+β)=2tanα．证明将已知变形：3sin(α+β-α)=sin(α+β+α)3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα．4等式两边同时除以cos(α+β)·cosα，即得tan(α+β)=2tanα．4．倍角公式，半角公式(2)使用二倍角的正弦、余弦公式时，公式的选择要准确．如已知sinα，cosα，tanα求cos2α时，应分别选择cos2α=1-(3)余弦的二倍角公式的变形——升幂公式、降幂公式必须熟练掌握．要明确，降幂法是三角变换中非常重要的变形方法．对sin3α，cos3α的公式应记住．(4)使用正弦、余弦的半角公式时，要注意公式中符号的确定方法．正在使用无理表达式时，须要确定符号；在使用两个有理表达式时，无须确定符号，这是与选用无理表达式最大的区别，因此在化简、证明题中，例11求值：5(4)先把sin10°·sin50°·sin70°化成余弦，得cos20°·cos40°·cos80°，由于20°，40°，80°顺序为2倍的关系，联想到正弦的2倍角公式，分析使用1±cosα的升幂公式，便于开方．(2)5sin2θ-3sinθ·cosθ+2cos2θ．分析由已知得tanθ=-4．(2)原式可以加一个分母sin2θ+cos2θ，这样分子、分母同时除以cos2还可以这样研究：将sin2θ、cos2θ降幂，使用万能公式．原式=5·65．和差化积、积化和差公式这两组公式现在不要求记忆，但要会使用．(1)要明确，这两组公式是解决正、余弦的加、减、乘的运算关系式．(3)对下列关系式要熟记：例14将下列各式化积：(1)1-sin2α-cos2α；(2)sin5x·sin4x-sin3x·sin2x-sin8x·sinx；分析对(1)，题中有1±cosα时，通常都用升幂公式．对(2)、(3)，先将乘积化和差，再和差化积．例15求值：(1)cos2A+cos2(60°+A)+cos2(60°-A)；(1)分析可以用余弦的两角和、差公式展开计算；若先降幂，再化积更简单．7(1)cos(α-β)；(2)sin(α+β)-2cos(α+β)．解(1)将已知的两式平方相加，得(2)将已知的两式化积并相除，得评述对sinα±sinβ=a，cosα±cosβ=b这样两个式子通常的用法是，如(1)，两式平方相加；如(2)，两式化积并相除．这两种用法要掌握．