武大数学建模培训：多目标决策模型：层次分析法(AHP)、代数模型、离散模型

1层次分析法建模层次分析法（AHP－AnalyticHierachyprocess）----多目标决策方法70年代由美国运筹学家T·L·Satty提出的，是一种定性与定量分析相结合的多目标决策分析方法论。吸收利用行为科学的特点，是将决策者的经验判断给予量化，对目标（因素）结构复杂而且缺乏必要的数据情况下，採用此方法较为实用，是一种系统科学中，常用的一种系统分析方法，因而成为系统分析的数学工具之一。传统的常用的研究自然科学和社会科学的方法有：机理分析方法：利用经典的数学工具分析观察的因果关系；统计分析方法：利用大量观测数据寻求统计规律，用随机数学方法描述（自然现象、社会现象）现象的规律。基本内容：（1）多目标决策问题举例AHP建模方法（2）AHP建模方法基本步骤（3）AHP建模方法基本算法（3）AHP建模方法理论算法应用的若干问题。参考书：1、姜启源，数学模型（第二版，第9章；第三版，第8章），高等教育出版社2、程理民等，运筹学模型与方法教程，（第10章），清华大学出版社3、《运筹学》编写组，运筹学（修订版），第11章，第7节，清华大学出版社一、问题举例：A．大学毕业生就业选择问题获得大学毕业学位的毕业生，“双向选择”时，用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。就毕业生来说选择单位的标准和要求是多方面的，例如：①能发挥自己的才干为国家作出较好贡献（即工作岗位适合发挥专长）；②工作收入较好（待遇好）；③生活环境好（大城市、气候等工作条件等）；④单位名声好（声誉-Reputation）；⑤工作环境好（人际关系和谐等）⑥发展晋升（promote,promotion）机会多（如新单位或单位发展有后劲）等。问题：现在有多个用人单位可供他选择，因此，他面临多种选择和决策，问题是他将如何作出决策和选择？——或者说他将用什么方法将可供选择的工作单位排序？工作选择贡献收入发展声誉工作环境生活环境可供选择的单位P1’P2‘-----Pn2Ｂ.假期旅游地点选择暑假有3个旅游胜地可供选择。例如：1P：苏州杭州，2P北戴河，3P桂林，到底到哪个地方去旅游最好？要作出决策和选择。为此，要把三个旅游地的特点，例如：①景色；②费用；③居住；④环境；⑤旅途条件等作一些比较——建立一个决策的准则，最后综合评判确定出一个可选择的最优方案。目标层准则层方案层C．资源开发的综合判断7种金属可供开发，开发后对国家贡献可以通过两两比较得到，决定对哪种资源先开发，效用最用。二、问题分析：例如旅游地选择问题：一般说来，此决策问题可按如下步骤进行：（S1）将决策解分解为三个层次，即：目标层：（选择旅游地）准则层：（景色、费用、居住、饮食、旅途等5个准则）方案层：（有1P，2P，3P三个选择地点）并用直线连接各层次。（S2）互相比较各准则对目标的权重，各方案对每一个准则的权重。这些权限重在人的思维过程中常是定性的。选择旅游地景色费用居住饮食旅途P1P2P3对经济发展、贡献U铜Co铁In磷酸盐钿Ur铝Al金Go经济价值开採费风险费要求量战略重要性交通条件3例如：经济好，身体好的人：会将景色好作为第一选择；中老年人：会将居住、饮食好作为第一选择；经济不好的人：会把费用低作为第一选择。而层次分析方法则应给出确定权重的定量分析方法。（S3）将方案后对准则层的权重，及准则后对目标层的权重进行综合。（S4）最终得出方案层对目标层的权重，从而作出决策。以上步骤和方法即是AHP的决策分析方法。三、确定各层次互相比较的方法——成对比较矩阵和权向量在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的结果，则常常不容易被别人接受，因而Santy等人提出：一致矩阵法．．．．．即：1.不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较2.对此时採用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高准确度。因素比较方法——成对比较矩阵法：目的是，要比较某一层n个因素nCCC,,,21对上一层因素O的影响（例如：旅游决策解中，比较景色等5个准则在选择旅游地这个目标中的重要性）。採用的方法是：每次取两个因素iC和jC比较其对目标因素O的影响，并用ija表示，全部比较的结果用成对比较矩阵表示，即：)1(1,0,)(ijijijjiijnxnijaaaaaaA或（1）由于上述成对比较矩阵有特点：jiijijijaaaaA1,0,)(故可称A为正互反矩阵：显然，由jiijaa1，即：1jiijaa，故有：1jia例如：在旅游决策问题中：2112a=（费用）（景色）21CC表示：2O1O21的重要性为（费用）对目标的重要性为景色）对目标（CC故：），费用重要性为即景色重要性为21(2112a14413a=（居住条件）（景色）31CC表示：1OC4O(31的重要性为（居住条件）对目标的重要性为景色）对目标C即：景色为4，居住为1。17723a=（居住条件）（费用）32CC表示：1OC7O(32的重要性为（居住条件）对目标的重要性为费用）对目标C即：费用重要性为7，居住重要性为1。4因此有成对比较矩阵：1135131112513131211714155337412121A？？问题：稍加分析就发现上述成对比较矩阵的问题：①即存在有各元素的不一致性，例如：既然：41114a;22113313113212112aaCCaCCa所以应该有：188412131231213223CCCCaaCCa而不应为矩阵A中的1723a②成对比较矩阵比较的次数要求太，因：n个元素比较次数为：!2)1(2nnCn次，因此，问题是：如何改造成对比较矩阵，使由其能确定诸因素nCC,,1对上层因素O的权重？对此Saoty提出了：在成对比较出现不一致情况下，计算各因素nCC,,1对因素（上层因素）O的权重方法，并确定了这种不一致的容许误差范围。为此，先看成对比较矩阵的完全一致性——成对比较完全一致性四：一致性矩阵Def：设有正互反成对比较矩阵：1a,,1,,11nn221122222212211121121111nnnnnnjiijnnnn(4)除满足：（i）正互反性：即)1(10jiijjiijijaaaaa或而且还满足：（ii）一致性：即5i,j1,2,niikijikkjjjkaaaaaaa则称满足上述条件的正互反对称矩阵A为一致性矩阵，简称一致阵。一致性矩阵（一致阵）性质：性质1：A的秩Rank(A)=1A有唯一的非0的最大特征根为n性质2：A的任一列（行）向量都是对应特征根n的特征向量：即有(特征向量、特征值)：nnnnnn212221212111，则向量321满足：WnnWnWn21212112111即：0)(WnIA启发与思考：既然一致矩阵有以上性质，即n个元素W1,W2,W3,…Wn构成的向量n21是一致矩阵A的特征向量，则对一致矩阵A来说，可以把一致矩阵A的特征向量W求出之后，再把一致矩阵A的特征向量W归一化后得到的向量，看成是诸元素W1,W2,W3,…Wn目标O的权向量。因此，可以用求一致矩阵的特征根和特征向量的办法，求出元素W1,W2,W3,…Wn相对于目标O的权向量。解释：一致矩阵即：n件物体nMMM,,,21，它们重量分别为n，将他们两比较重量，其比值构成一致矩阵，若用重量向量n21右乘A，则6：称特征根法，求权向量的方法量权向量，此种用特征向为即对上层因素O的权重，，C，，CC，就表示诸因素＝W＝则归一化后的特征向量，＝：重量向量　为特征根的特征向量为以的特征根为n211in分析：若重量向量n21未知时，则可由决策者对物体nMMM,,,21之间两两相比关系，主观作出比值的判断，或用Delphi（调查法）来确定这些比值，使A矩阵（不一定有一致性）为已知的，并记此主观判断作出的矩阵为（主观）判断矩阵A，并且此A（不一致）在不一致的容许范围内，再依据：A的特征根或和特征向量W连续地依赖于矩阵的元素ija，即当ija离一致性的要求不太远时，A的特征根i和特征值（向量）W与一致矩阵A的特征根和特征向量W也相差不大的道理：由特征向量W求权向量W的方法即为特征向量法，并由此引出一致性检查的方法。问题：Remark以上讨论的用求特征根来求权向量W的方法和思路，在理论上应解决以下问题：1．一致阵的性质1是说：一致阵的最大特征根为n（即必要条件），但用特征根来求特征向量时，应回答充分条件：即正互反矩阵是否存在正的最大特征根和正的特征向量？且如果正互反矩阵A的最大特征根nmax时，A是否为一致阵？2．用主观判断矩阵A的特征根和特征向量W连续逼近一致阵A的特征根和特征向量W时，即：由kkklim得到：WWkklim即：AAkklim是否在理论上有依据。73．一般情况下，主观判断矩阵A在逼近于一致阵A的过程中，用与A接近的*A来代替A，即有AA*，这种近似的替代一致性矩阵A的作法，就导致了产生的偏差估计问题，即一致性检验问题，即要确定一种一致性检验判断指标，由此指标来确定在什么样的允许范围内，主观判断矩阵是可以接受的，否则，要重新两两比较构造主观判断矩阵。此问题即一致性检验问题的内容。以上三个问题：前两个问题由数学严格比较可获得（见教材P325，定理1、定理2）。第3个问题：Satty给出一致性指标（Th1,Th2介绍如下：）附：Th1：（教材P326，perronTh比隆1970）对于正矩阵A（A的所有元素为正数）（1）A的最大特征根是正单根；（2）对应正特征向量W（W的所有分量为正数）（3）WeAeeAkTkklim其中：111e为半径向量，W是对应的归一化特征向量证明：（3）可以通过将A化为标准形证明Th2：n阶正互反阵A的最大特征根n；当n时，A是一致阵五、一致性检验——一致性指标：1．一致性检验指标的定义和确定——IC的定义：当人们对复杂事件的各因素，采用两两比较时，所得到的主观判断矩阵A，一般不可直接保证正互反矩阵A就是一致正互反矩阵A，因而存在误差（及误差估计问题）。这种误差，必然导致特征值和特征向量之间的误差WW)(－及。此时就导致问题WmaxWA＝与问题nWAW之间的差别。（上述问题中max是主观判断矩阵A的特征值，W是带有偏差的相对权向量）。这是由判断矩阵不一致性所引起的。因此，为了避免误差太大，就要给出衡量主观判断矩阵A的一致性的判别准则。因为：①当主观判断矩阵A为一致阵A时就有：nknkkknknnkkna11111＝A为一致阵时有：1iia此时存在唯一的非O特征根nmax8（由一致阵性质1：Rark(4)=1，A有唯一非O最大特征根且nmax）②当主观判断矩阵A不是一致矩阵时，此时一般有：nmax（Th2）此时，应有：naiikhmaxmax即：maxmaxkkn所以，可以取其平均值作为检验主观判断矩阵的准则，一致性的指标，即：11maxmaxnnnICkk