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实际问题与二次函数(1)目标:应用二次函数的有关知识解决一些生活实际问题，进而培养学生理解实际问题、从数学角度抽象分析问题和运用数学知识解决实际问题的能力。通过实践体会到数学来源于生活又服务于生活。前面我们结合实际问题，讨论了二次函数，看到了二次函数在解决实际问题中的一些应用，下面我们进一步用二次函数讨论一些实际问题。某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？探究1（1）设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y随之变化。我们先来确定y随x变化的函数式。涨价x元时，每星期少卖___件，实际卖出___________件，销售额为_______________.怎样确定x的取值范围分析：调查价格包括涨价和降价两种情况。我们先看涨价的情况。即y=(300-10x)(20+x)10x（300-10x）（60+x)(300-10x）(0x30)即y=-10x+100x+6000,其中，0≤x≤30.根据上面的函数，填空：当x＝_____时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价_____元，即定价_____元时，利润最大，最大利润是_________.255656250(2)在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考(1)的讨论自己得出答案。由(1)(2)的讨论及现在的销售状况，你知道应如何定价能使利润最大了吗？设每件降价x元y=(300+20x)(20-x)当x＝2.5时，y最大为6125涨价5元时，利润最大为6250练习：某商人若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件。现在他为了增加利润，提高了售价。但他发现商品每涨一元，其销售量就减少10件。请你应用已学知识帮他决定：将售出价定为多少时，才能使每天所赚利润最大？并预算出最大利润。本题是确定提高利润的最佳方案问题。解：设这种商品涨了x元，(X为正整数）每天所赚利润为y元，则y=(2+x)(100－10x)=－10x2+80x+200=－10(x－4)2+360，∴当x=4时，利润y最大，此时售价为14元，每天所赚利润为360元。•1）训练对文字信息的分析能力；•2）体验将实际问题转化为数学问题的方法：•即在对实际问题理解的基础上，建立起商品涨价的钱数与所获利润的函数关系，再应用二次函数的性质求取利润最大值，提出解决问题的方案。问题2：某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累计利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）。根据图象提供的信息，解答下列问题：012345-2S（万元）t（月）123-11）由已知图象上的三点坐标求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；3）求第8个月公司所获利润是多少万元？本题是涉及实际亏损与盈利的经济问题。012345-2S（万元）t（月）123-11）由已知图象上的三点坐标求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；关键点：1）观察二次函数的部分图像，用哪三点坐标解题更简便？-3解：设s与t的函数关系式为s=at2+bt+c∵图像过点(０,０),(1,-1.5),(2,-2)a+b+c=－1.54a+2b+c=－2c=0解得a=21b=－2c=0∴s=t2─2t，（１≤t≤１２的整数）21∴212a2设s=a(t-2)012345-2S（万元）t（月）123-12）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；1）累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式为s=t2─2t21解:把s=30代入s=t2－2t21得:30=t2－2t21解得:t1=10,t2=－6(舍)答：截止到10月末公司累积利润可达到30万元关键点：2）实际问题必须考虑自变量t的取值范围，并结合实际决定计算结果中t值的取舍；（１≤t≤１２的整数）012345-2S（万元）t（月）123-12）截止到10月末公司累积利润可达到30万元；1）累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式为s=t2─2t21解:把t=7代入:s=×72－2×7=10.521答：第8个月公司获利润5.5万元3）求第8个月公司所获利润是多少万元？把t=8代入:s=×82－2×8=1621∴16－10.5=5.5关键点：3）要认真审题，准确理解题意。体会第8个月利润与累计利润的区别和如何求取？（应用二次函数的对应关系）本题归纳:1）训练学生从图像获取信息的能力；2）复习巩固三点确定二次函数解析式的方法；体验生活中两个变量间的对应关系，是如何应用数学知识体现的。如图中,是抛物线形拱桥，当水面在L时，拱顶离水面2米，水面宽4米。水面下降4米，水面宽度增加多少？我们知道，二次函数的图像是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数。为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，如图建立平面直角坐标系．可设这一条抛物线表示的二次函数为y=ax².有抛物线经过点（2，-2），可得：-2=a×2²,这条抛物线表示的二次函数为当水面下降4米时,水面的纵坐标为y=-6.请你根据上面的函数表达式求出这时的水面宽度。12a212yx水面下降4米,水面宽度增加_______米.4)(43XY0BCA探究四:公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O点恰在水面中心，OA=1.25米，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下。为使水流较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1米处达到距水面最大高度2.25米。如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流落不到池外？本题是涉及公园美化的应用性问题。XY0BCA解：如图建立坐标系，设抛物线顶点为B，水流落水与x轴交于C点。由题意可知A（０，1.25）、B（1，２.25）、C（x，0）关键点：1）根据题目条件该如何建立直角坐标系．XY0BCA如图建立坐标系，设抛物线顶点为B.由题意可知A（0，0）、B（1，1）、C（x，-1.25）XY0BCA如图建立坐标系，设抛物线顶点为B.由题意可知A(-1,-1),O（-1，-1.25）、B（O，0）、C（x，-2.25）XY0BCA解：如图建立坐标系，设抛物线顶点为B，水流落水与x轴交于C点。由题意可知A（０，1.25）、B（1，２.25）、C（x，0）解：如图建立坐标系，设抛物线顶点为B，水流落水与x轴交于C点。由题意可知A（０，1.25）、B（1，２.25）、C（x，0）0BCAXY设抛物线为y=a(x－1)2+2.25(a≠0),点A坐标代入，得a=－1当y=0，即－(x－1)2+2.25=0时，∴水池的半径至少要2.5米。x１=－0.5（舍去），x２=2.5x１=－0.5（舍去）2(1)2.25yx水流沿抛物线落下，容易联想到二次函数的图像，但是转化为数学问题的关键是坐标系的建立。选择了恰当的位置建立坐标系，就会给运算带来方便。以OA所在直线为y轴，过O点垂直于OA的直线为x轴，点O为原点可作为最好选择。XY0BCA思考：公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O点恰在水面中心，OA=1.25米，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下。为使水流较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1米处达到距水面最大高度2.25米。如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流落不到池外？课后思考：若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3.5米，要使水流刚好不落到池外，这时水流的最大高度是多少米？二次函数的图象和性质在经济类问题的解决中，可以用来直观的体现两个变量间的关系，便于数据的分析，处理和寻找事物发展的规律。