广州市高三教学质量抽测试题

广州市高三教学质量抽广州市高三教学质量抽广州市高三教学质量抽广州市高三教学质量抽测试题试题试题试题数数数数学学学学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷至页，第Ⅱ卷123至页，满分分，考试时间分钟。8150120第Ⅰ卷（选择题，共60606060分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。2.每小题选出答案后，用钢笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。3.考试结束，监考人员将本试卷和答题卡一并收回。参考公式：如果事件、互斥，那么球的表面积公式AB，()()()PABPAPB+=+24πSR=如果事件、相互独立，那么其中表示球的半径ABR，球的体积公式()()()PABPAPB⋅=⋅如果事件在一次试验中发生的概率是，Ap34π3VR=那么次独立重复试验中恰好发生次的概率其中表示球的半径nkR。()(1)kknknnPkCpp−=−一、选择题：本大题共12121212小题，每小题5555分，共60606060分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若，，，则（）{1,2,3,4,5}U={1,2,4}M={3,4,5}N=()UMN=∩ðA．B．C．D．{4}{1,2,3}{1,3,4}{1,2,3,5}2.（）2211lim21xxxx→−=−−A．B．C．D．1223023.不等式的解集是（）|||2|xx≤+A．B．C．D．{|1}xx≥−{|1}xx≤−{|11}xx−≤{|1}xx≥4.直线与圆相切，则常数的值是（）ym=22(2)1xy+−=mA．B．C．或D．或1313245.在中，“”是“”的（）ABC∆π3A=3sin2A=A．充分而不必要条件B．充要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件6.在等差数列中，，，则此数列前项的和等于：{}na1233aaa++=282930165aaa++=30A．B．C．D．810840870900椭圆的两个焦点为、，且椭圆上的点满足，则：2219xy+=1F2FP112PFFF⊥���������2||PF=A．B．C．D．1735313838.的展开式中的常数项是（）931xxx⎛⎞−⎜⎟⎝⎠A．B．C．D．8484−3636−9.已知球的表面积为，、、三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，4πABCπ2则球心到平面的距离为（）OABCA．B．C．D．633633310.函数的最小正周期是（）22()sin3cosfxxx=+A．B．C．D．π4π2π2π11.将名医生分配到间医院，每间医院至少名医生，则不同的分配方案共有（）431A．种B．种C．种D．种4812243612.如图，正方体的棱长为，点在棱上，1111ABCDABCD−1MAB且，点是平面上的动点，且动点到直线13AM=PABCDP的距离与点到点的距离的平方差为，则动点的11ADPM1P轨迹是（）A．圆B．抛物线C．双曲线D．直线广州市高三教学质量抽广州市高三教学质量抽广州市高三教学质量抽广州市高三教学质量抽测试题试题试题试题数数数数学学学学第Ⅱ卷（非选择题，共90909090分）注意事项：1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。二、填空题：本大题共4444小题，每小题4444分，共16161616分。把答案填在题中横线上。13.设复数，则。13i22z=−+2zz+=14.某单位业务人员、管理人员、后勤服务人员人数之比依次为。为了了解该单位15:3:2职员的某种情况，采用分层抽样方法抽出一个容量为的样本，样本中业务人员人数为n题号二三总分171819202122分数，则此样本的容量。30n=15.设、满足约束条件：，则的最大值是。xy10xyyxy+≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩3zxy=+16.已知、为不垂直的异面直线，是一个平面，则、在上的射影有可能是：①abαabα两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点。在上面的结论中，正确结论的编号是。（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6666小题，共74747474分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分12分）如图，在一段线路中并联着个自动控制的常开开关、、，只要其中有个开3AJBJCJ1关能够闭合，线路就能正常工作。假定在某段时间内开关、、能够闭合的概率分别AJBJCJ是、、，计算：453525（Ⅰ）在这段时间内恰好个开关都闭合的概率；3（Ⅱ）在这段时间内线路正常工作的概率。18.（本小题满分12分）已知向量，。(cos,sin)aθθ=�(3,1)b=�（Ⅰ）当时，求；ab⊥��tan2θ（Ⅱ）求的最大值。||ab+��（本小题满分12分）如图，在长方体中，，点为上的点，且1111ABCDABCD−112ABADAA==G1CCCG=。114CC（Ⅰ）求证：平面；1CD⊥ADG（Ⅱ）求二面角的大小（结果用反余弦表示）。CAGD−−20.（本小题满分12分）已知数列的前项和为，（）。{}nanS3(1)2nnSa=−n∗∈NNNN（Ⅰ）求数列的通项公式；{}na（Ⅱ）求。1limnnnSS→∞+21.（本小题满分12分）已知抛物线的顶点在原点，以双曲线的左准线为准线。C22115yx−=（Ⅰ）求抛物线的方程；C（Ⅱ）若直线（）垂直平分抛物线的弦，求实数的取值范围。:1(1)lykx−=−0k≠Ck（本小题满分14分）已知函数（）。()1lnfxxax=+−a∈RRRR（Ⅰ）求的单调区间；()fx（Ⅱ）证明：。ln1xx+广州市高三教学质量抽广州市高三教学质量抽广州市高三教学质量抽广州市高三教学质量抽测数学试题参考答案数学试题参考答案数学试题参考答案数学试题参考答案一、选择题：二、填空题：13．14．15．16．①②④1−403三、解答题：17.解：（Ⅰ）；（Ⅱ）。43224555125P=××=4321191111555125P⎛⎞⎛⎞⎛⎞=−−×−×−=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠18.解：（Ⅰ），故3cossin0tan3ababθθθ⊥⇒=+=⇒=−����i；222tan2(3)tan231tan1(3)θθθ×−===−−−（Ⅱ）因为22||||2||12(3cossin)4abaabbθθ+=++=+++������i，π54sin5433θ⎛⎞=++≤+=⎜⎟⎝⎠当且仅当时，取得等号，故。πsin13θ⎛⎞+=⎜⎟⎝⎠max(||)3ab+=��19.解：如图建立空间直角坐标系，设，1122ABADAA===则有（Ⅰ）证明：因为，，1(0,2,4)CD=−�����(2,0,0)DA=����，所以(0,2,1)DG=����，，10CDDA=���������i10CDDG=���������i题号123456789101112答案DBACABAADCDB因此有，。1CDDA⊥1CDDG⊥又因为平面，平面，且，故有DA⊂ADGDG⊂ADGDADGD=∩平面；1CD⊥ADG（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论知：是平面的法向量。又显然，向量1(0,2,4)CD=−�����ADG是平面的法向量，由此及(2,2,0)DB=����CAG111410cos,10||||2522CDDBCDDBCDDB−===−⋅×������������������i���������得二面角的大小为。CAGD−−10arccos1020.解：（Ⅰ）；当时，有11113(1)32aSaa==−⇒=2n≥，11113333(1)(1)32222nnnnnnnnnaSSaaaaaa−−−−=−=−−−=−⇒=故数列是以为首项，以为公比的等比数列，其通项公式（）；{}na13a=3q=3nna=n∗∈NNNN（Ⅱ）因为，，所以333(1)(31)22nnnnnaSa=⇒=−=−11133(1)(31)22nnnSa+++=−=−。11113113limlimlim131333nnnnnnnnnSS+→∞→∞→∞+−−===−−21.解：（Ⅰ）双曲线的左准线方程是22115yx−=，14x=−故抛物线的方程为；C2yx=（Ⅱ）解法一：设抛物线被直线垂直平分的弦Cl的方程为，则AB0xkyc++=。……①2220400yxykyckcxkyc⎧=⇒++=⇒∆=−⎨++=⎩设、，则，，从而弦11(,)Axy22(,)Bxy12yyk+=−21212()22xxkyyckc+=−+−=−的中点，由此及点在直线上得AB22,22kckM⎛⎞−−⎜⎟⎝⎠Ml，232211222kkckkkck⎛⎞−−+−−=−⇒=⎜⎟⎝⎠代入①式得，解之得33222(2)2400(2)(22)0kkkkkkkkkkk−+−+−⇒⇒+−+，故实数的取值范围是。20k−k(2,0)−解法二：依题意，设、，则弦的中点00(,)Axmyn++00(,)Bxmyn−−AB，从而有00(,)Mxy。200002000()114222()ABynxmnknymkymykynxm⎧+=+⎪⇒=⇒===−⇒=−⎨−=−⎪⎩因为点在直线上，所以00(,)Mxyl。00001111(1)12yykxxkk−−=−⇒=+=−注意到点在抛物线的内部，故MC，2220011(2)(2)020424kkkkyxkkk+−+⇒−⇒⇒−即实数的取值范围是。k(2,0)−22.解：（Ⅰ）函数的定义域为，且()fx(0,)+∞：121()2121axaxfxxxxx−+=−=++①若，则在上恒成立；0a≤()0fx′(0,)+∞②若，则0a，222220()021221440xfxxaxxaaaxaxa⎧′⇔+⇔⇔++⎨−−⎩，222220()0210221440xfxxaxxaaaxaxa⎧′⇔+⇔⇔++⎨−−⎩综上所述，有下面结论：若，则在内单调递增；0a≤()fx(0,)+∞若，则在内单调递减，而在内单0a()fx22(0,221)aaa++22(221,)aaa+++∞调递增。（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论知：函数在内单调递减，而在()1lngxxx=+−(0,222)+内单调递增，故当时，有(222,)++∞0x，2min()()(222)322ln(222)(12)ln210gxgxge≥=+=+−++−=−故有，即。1lnxx+ln1xx+