【步步高高考数学总复习】第三编 导数及其应用

1第三编导数及其应用§3.1变化率与导数、导数的计算基础自测1.在曲线y=x2+1的图象上取一点（1，2）及附近一点（1+Δx，2+Δy），则xy为（）A.21xxB.21xxC.2xD.xx12答案C2.已知f(x)=sinx(cosx+1)，则)(xf等于（）A.cos2x-cosxB.cos2x-sinxC.cos2x+cosxD.cos2x+cosx答案C3.若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式x)(xf＞-f(x)恒成立，且常数a,b满足a＞b,则下列不等式一定成立的是（）A.af(b)＞bf(a)B.af(a)＞bf(b)C.af(a)＜bf(b)D.af(b)＜bf(a)答案B4.（2008·辽宁理，6）设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是4,0，则点P横坐标的取值范围为（）A.21,1B.［-1，0］C.［0，1］D.1,21答案A5.(2008·全国Ⅱ理，14)设曲线y=eax在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a=.答案22例1求函数y=12x在x0到x0+Δx之间的平均变化率.解∵Δy=11)(11)(11)(202020202020xxxxxxxxx.11)(2,11)()(220200202020xxxxxxyxxxxxx例2求下列各函数的导数：（1）;sin25xxxxy（2）);3)(2)(1(xxxy（3）;4cos212sin2xxy（4）.1111xxy解(1)∵,sinsin23232521xxxxxxxxy∴y′.cossin2323)sin()()(232252323xxxxxxxxxx（2）方法一y=（x2+3x+2）（x+3）=x3+6x2+11x+6，∴y′=3x2+12x+11.方法二y=)3)(2)(1()3()2)(1(xxxxxx=)2)(1()2(）1（xxxx（x+3）+（x+1）（x+2）=（x+2+x+1）（x+3）+（x+1）（x+2）=（2x+3）（x+3）+（x+1）（x+2）=3x2+12x+11.（3）∵y=,sin212cos2sinxxx∴.cos21)(sin21sin21xxxy（4）xxxxxxxy12)1)(1(111111，∴.)1(2)1()1(21222xxxxy例3（12分）已知曲线y=.34313x（1）求曲线在x=2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.3解（1）∵y′=x2,∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=y|x=2=4.2分∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.4分（2）设曲线y=34313x与过点P（2，4）的切线相切于点3431,300xxA，则切线的斜率k=y|0xx=20x.6分∴切线方程为),(343102030xxxxy即.34323020xxxy8分∵点P（2，4）在切线上，∴4=,343223020xx即,044,0432020302030xxxxx∴,0)1)(1(4)1(00020xxxx∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.12分1.求y=x在x=x0处的导数.解)())((limlimlim00000000000xxxxxxxxxxxxxxxyxxx.211lim0000xxxxx2.求y=tanx的导数.解y′.cos1cossincoscos)(cossincos)(sincossin22222xxxxxxxxxxx3．若直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相切，则k=.答案2或41一、选择题1.若,2)(0xf则kxfkxfk2)(lim000等于()4A.-1B.-2C.1D.21答案A2.（2008·全国Ⅰ理，7）设曲线y=11xx在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a等于（）A.2B.21C.21D.-2答案D3.若点P在曲线y=x3-3x2+(3-3)x+43上移动，经过点P的切线的倾斜角为，则角的取值范围是（）A.2,0B.,322,0C.,32D.32,22,0答案B4.曲线y=x3-2x2-4x+2在点（1,-3）处的切线方程是()A.5x+y+2=0B.5x-y-2=0C.5x+y-2=0D.5x-y+2=0答案C5.在下列四个函数中,满足性质:“对于区间（1，2）上的任意x1，x2（x1≠x2），|f（x2）-f（x1）|＜|x2-x1|恒成立”的只有（）A.xxf1)(B.f(x)=|x|C.f(x)=2xD.f(x)=x2答案A6.已知曲线S:y=3x-x3及点P（2，2），则过点P可向S引切线，其切线条数为()A.0B.1C.2D.3答案D二、填空题7.曲线y=x1和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是.5答案438.若函数f(x)的导函数为)(xf=-x(x+1),则函数g(x)=f(logax)(0＜a＜1)的单调递减区间是.答案a1,1三、解答题9.求下列函数在x=x0处的导数.（1）f（x）=;2,1e1e0xxxxx（2）.1,ln)(0223xxxxxxxf解（1）∵,)1(e)2(2)1()1(e2)1()e2(1e2)(22xxxxxxxfxxxx∴)2(f=0.（2）∵,1123)(ln)()(2523xxxxxxf∴.23)1(f10.求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离.解设曲线上过点P（x0,y0）的切线平行于直线2x-y+3=0，即斜率是2，则.2122|122|)12(121|0000xxxxyxxxxxx解得x0=1,所以y0=0,即点P（1，0），点P到直线2x-y+3=0的距离为5)1(2|302|22，∴曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是5.11.（2008·海南、宁夏，21）设函数bxaxxf1)((a,b∈Z)，曲线)(xfy在点))2(,2(f处的切线方程为y=3.（1）求)(xf的解析式；（2）证明：曲线)(xfy上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值.（1）解2)(1)(bxaxf，于是,0)2(1,32122baba解得,1,1ba或.38,49ba因为a,bZ，故.11)(xxxf（2）证明在曲线上任取一点11,000xxx．由200)1(11)(xxf知，过此点的切线方程为6)()1(11110200020xxxxxxy．令x=1，得1100xxy，切线与直线x=1交点为11,100xx．令y=x，得120xy，切线与直线y=x的交点为)12,12(00xx．直线x=1与直线y=x的交点为(1,1)．从而所围三角形的面积为22212211121112100000xxxxx．所以，所围三角形的面积为定值2.12.偶函数f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P（0，1），且在x=1处的切线方程为y=x-2，求y=f（x）的解析式.解∵f（x）的图象过点P（0，1），∴e=1.①又∵f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x）.故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e.∴b=0，d=0.②∴f（x）=ax4+cx2+1.∵函数f（x）在x=1处的切线方程为y=x-2，∴可得切点为（1，-1）.∴a+c+1=-1.③∵)1(f=(4ax3+2cx)|x=1=4a+2c，∴4a+2c=1.④由③④得a=25，c=29.∴函数y=f（x）的解析式为.12925)(24xxxf§3.2导数的应用基础自测1.函数y=f(x)的图象过原点且它的导函数g=)(xf的图象是如图所示的一条直线，则y=f(x)图象的顶点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案A72.已知对任意实数x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且x＞0时，)(xf＞0,)(xg＞0，则x＜0时（）A.)(xf＞0,)(xg＞0B.)(xf＞0,)(xg＜0C.)(xf＜0,)(xg＞0D.)(xf＜0,)(xg＜0答案B3.（2008·广东理）设aR，若函数y=eax+3x，xR有大于零的极值点，则（）A．a＞-3B．a＜-3C．a＞-31D．a＜-31答案B4.函数y=3x2-2lnx的单调增区间为，单调减区间为.答案33,0,335.（2008·江苏，14）f(x)=ax3-3x+1对于x∈［-1,1］总有f(x)≥0成立，则a=.答案4例1已知f(x)=ex-ax-1.（1）求f(x)的单调增区间；（2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围；（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.解)(xf=ex-a.（1）若a≤0，)(xf=ex-a≥0恒成立，即f(x)在R上递增.若a0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥lna.∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞).（2）∵f（x）在R内单调递增，∴)(xf≥0在R上恒成立.∴ex-a≥0，即a≤ex在R上恒成立.8∴a≤（ex）min，又∵ex0，∴a≤0.（3）方法一由题意知ex-a≤0在（-∞，0］上恒成立.∴a≥ex在（-∞，0］上恒成立.∵ex在（-∞，0］上为增函数.∴x=0时，ex最大为1.∴a≥1.同理可知ex-a≥0在［0，+∞）上恒成立.∴a≤ex在［0，+∞）上恒成立.∴a≤1，∴a=1.方法二由题意知，x=0为f(x)的极小值点.∴)0(f=0,即e0-a=0,∴a=1.例2已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=32时，y=f(x）有极值.（1）求a,b,c的值；（2）求y=f(x）在［-3，1］上的最大值和最小值.解（1）由f(x)=x3+ax2+bx+c,得)(xf=3x2+2ax+b,当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0①当x=32时，y=f(x)有极值，则32f=0,可得4a+3b+4=0②由①②解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,∴f(1)=4.∴1+a+b+c=4.∴c=5.（2）由（1）可得f(x)=x3+2x2-4x+5,∴)(xf=3x2+4x-4,令)(xf=0,得x=-2,x=32.当x变化时，y,y′的取值及变化如下表：x-3(-3,-2)-232,2321,321y′+0-0+y8单调递增↗13单调递减↘2795单调递增↗4∴y=f（x）在［-3，1］上的最大值为