解三角形专题复习(精编)

1解三角形◆知识点梳理（一）正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin（其中R表示三角形的外接圆半径）适用情况：（1）已知两角和一边，求其他边或其他角；（2）已知两边和对角，求其他边或其他角。变形：①2sinaRA，2sinbRB，2sincRC②sin2aAR，sin2bBR，sin2cCR③sinsinsinabcABC=2R④::sin:sin:sinabcABC（二）余弦定理：2b=Baccacos222（求边），cosB=acbca2222（求角）适用情况：（1）已知三边，求角；（2）已知两边和一角，求其他边或其他角。（三）三角形的面积：①ahaS21；②AbcSsin21；（四）三角边角关系：（1）在ABC中，ABC；sin()ABsinC；cos()ABcosCcos2ABsin2C；2cos2sinCBA（2）边关系：a+bc，b+ca，c+ab，a－bc，b－ca，c－ab；（3）大边对大角：BAba（五）三角形形状判别形状锐角△钝角△直角△等腰△等腰Rt△等边△（1）角判别：0cos0cos0cosCBA0cosA90ACBA45BACBA（2）边判别：少用少用222cbacbabacba222cba◆考点剖析（一）考查正弦定理与余弦定理的混合使用例1、在△ABC中，已知Ａ＞Ｂ＞Ｃ,且Ａ=2Ｃ,8,4cab,求ca、的长.2例2、如图所示，在等边三角形中，,ABaO为三角形的中心，过O的直线交AB于M，交AC于N，求2211OMON的最大值和最小值．变式1、在△ABC中，角A、B、C对边分别为cba,,，已知bcaccaacb222,且，（１）求∠Ａ的大小；（２）求cBbsin的值变式2、在ΔABC中，已知66cos,364BAB，AC边上的中线BD=5，求sinA的值变式3、在ABC中，AB、为锐角，角ABC、、所对的边分别为abc、、，且510sin,sin510AB（I）求AB的值；（II）若21ab，求abc、、的值。3（二）考查正弦定理与余弦定理在向量与面积上的运用例3、如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC。问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？变式4、△ABC中的三cba,,和面积Ｓ满足Ｓ＝22)(bac，且2ba，求面积Ｓ的最大值。例4、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，7,5,272cos2sin42cbaCBA．（1）求角C的大小；（2）求△ABC的面积．变式5、已知圆内接四边形ＡＢＣＤ的边长ＡＢ＝２，ＢＣ＝６，ＣＤ＝ＤＡ＝４，求四边形ＡＢＣＤ的面积4例5、（2009浙江）在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且满足25cos25A，3ABAC．（I）求ABC的面积；（II）若6bc，求a的值．变式6、已知向量(,)macb，(,)nacba，且0mn，其中,,ABC是△ABC的内角，,,abc分别是角,,ABC的对边.(1)求角C的大小；（2）求sinsinAB的取值范围.（三）考查三角形形状的判断例6、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,b=acosC,且△ABC的最大边长为12，最小角的正弦值为31。（1）判断△ABC的形状；（2）求△ABC的面积。变式7、在△ABC中，若BACBAcoscossinsinsin.(1)判断△ABC的形状；(2)在上述△ABC中，若角C的对边1c，求该三角形内切圆半径的取值范围。5例7、在△ABC中，已知2abc，2sinsinsinABC，试判断△ABC的形状。变式8、在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c，(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形变式9、△ABC中，若sinA=2sinBcosC，sin2A=sin2B+sin2C，试判断△ABC的形状。（四）考查应用：求角度、求距离、求高度例8、在湖面上高h处，测得云彩仰角为，而湖中云彩影的俯角为，求云彩高.变式12、如图，为了计算北江岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两个测量点，现测得ADCD，10ADkm，14ABkm，60BDA，135BCD，求两景点B与C的距离（假设,,,ABCD在同一平面内，测量结果保留整数；参考数据：21.414,31.732,52.236）6◆课后强化1．在△ABC中，已知045,2,Bcmbxcma，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是()Ａ.222＜x＜Ｂ．222＜xＣ．2x＞Ｄ．2x＜2．△ABC中，若sinA：sinB：sinC=m：(m+1)：2m,则m的取值范围是（）Ａ．（０，＋∞）Ｂ．（21，＋∞）Ｃ．（１，＋∞）Ｄ．（２，＋∞）3．在△ABC中，A为锐角，lgb+lg(c1)=lgsinA=－lg2,则△ABC为（）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形4．在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（）Ａ．0075,45,10CAbＢ．080,5,7AbaＣ．060,48,60CbaＤ．045,16,14Aba5、在△ABC中，已知)(2222444baccba则角Ｃ＝（）Ａ．030Ｂ．060Ｃ．0013545或Ｄ．01206、△ABC的三内角,,ABC所对边的长分别为,,abc设向量(,)pacb,(,)qbaca,若//pq,则角C的大小为(A)6(B)3(C)2(D)238．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度决定9．已知△ABC中，)sin()(22BAba＝（22ba）Csin成立的条件是（）Ａ．baＢ．090CＣ．ba且090CＤ．ba或090C10、甲船在岛B的正南方A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（）A．7150分钟B．715分钟C．21.5分钟D．2.15分钟11．已知D、C、B三点在地面同一直线上，DC=a，从C、D两点测得A的点仰角分别为α、β（α＞β）则A点离地面的高AB等于（）A．)sin(sinsinaB．)cos(sinsinaC．)sin(coscosaD．)cos(coscosa712、已知△ABC中，ABa，ACb，0ab，154ABCS，3,5ab，则BAC（）A.．30B．150C．0150D．30或015013．在ABC中，:1:2AB，C的平分线CD把三角形面积分成3:2两部分，则cosAA13B12C34D014、如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则A．和都是锐角三角形B．和都是钝角三角形C．是钝角三角形，是锐角三角形D．是锐角三角形，是钝角三角形15.在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则BCAB的值为()A．79B．69C．5D．-516、如果baBAcos1cos1，那么△ABC是17．已知锐角三角形的边长为1、3、a，则a的取值范围是_________18、（2009湖南）在锐角ABC中，1,2,BCBA则cosACA的值等于，AC的取值范围为.19．如图，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15，向山顶前进100m后，又从点B测得斜度为45，假设建筑物高50m，设山对于地平面的斜度，则cos=.20、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若三角形的面积S=41（a2+b2－c2），则∠C的度数是_______新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆21．在△ABC中，若ＡＢ＝２，ＢＣ＝５，面积Ｓ△ABC＝４，求2sinB的值．822．在△ABC中，,,,cba分别为内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边，若060,2ABab,求Ａ的值．23、在锐角三角形ABC中，A=2B，a、b、c所对的角分别为A、B、C，试求ba的范围。24、在△ABC中，3,2CAbca，求sinB的值。25、在2545,10,cos5ABCBACC中，,（1）求BC(2)若点DAB是的中点，求中线CD的长度。26．已知锐角三角形ABC中，边ba、为方程02322xx的两根,角A、B满足03)sin(2BA，求角C、边c及Ｓ△ABC。927．在ABC中，已知内角3A，边23BC.设内角Bx,周长为y.(1)求函数()yfx的解析式和定义域；（2）求y的最大值．28、ABC的三个内角为ABC、、，求当A为何值时，cos2cos2BCA取得最大值，并求出这个最大值。29、在ABC△中，内角ABC，，对边的边长分别是abc，，，已知2c，3C．（Ⅰ）若ABC△的面积等于3，求ab，；（Ⅱ）若sinsin()2sin2CBAA，求ABC△的面积．1030、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,△ABC的外接圆半径R=3，且满足BCABCsinsinsin2coscos.(1)求角B和边b的大小；(2)求△ABC的面积的最大值。31、（2005湖北）已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小.32、已知△ABC中，22（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，外接圆半径为2.（1）求∠C；（2）求△ABC面积的最大值.33、在△ABC中，已知角A、B、C所对的边分别是a、b、c，边c=72，且tanA+tanB=3tanA·tanB－3，又△ABC的面积为S△ABC=332，求a+b的值。11◆详细解析例1、解：由正弦定理，得CcAasinsin∵Ａ＝２Ｃ∴CcCasin2sin∴Ccasin2又8ca∴cccocC28①由余弦定理，得CCcCabbac222222cos1616cos4cos2②入②，得)(44524516舍或acac∴516524ca，例2、【解】由于O为正三角形ABC的中心，∴33AOa，6MAONAO，设MOA，则233，在AOM中，由正弦定理得：sinsin[()]6OMOAMAO，∴36sin()6aOM，在AON中，由正弦定理得：36sin()6aON，∴2211OMON22212[sin()sin()]66a22121(sin)2a，∵233，∴3sin14，故当2时2211OMON取得最大值218a，所以，当2,33or时23sin4，此时2211OMON取得最小值215a．变式1、解（１）∵bcaccaacb222,∴bcacb222在△ABC中，由余弦定理得2122cos222bcbcbcacbA∴∠Ａ＝060（２）在△ABC中，由正弦定理得abB060sinsin∵0260,Aacb∴2360sin60sinsin002cabcBb