10.9-离散型随机变量的均值与方差

第九节离散型随机变量的均值与方差【知识梳理】1.必会知识教材回扣填一填(1)离散型随机变量X的分布列:Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(2)离散型随机变量X的均值与方差:均值(数学期望)方差计算公式E(X)=________________________D(X)=_______________作用反映了离散型随机变量取值的_________刻画了随机变量X与其均值E(X)的_____________标准差方差的__________________为随机变量X的标准差n2iii1xEXpx1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn平均水平平均偏离程度算术平方根D(X)(3)均值与方差的性质:①E(aX+b)=________(a,b为常数).②D(aX+b)=______(a,b为常数).(4)两点分布的均值与方差:若随机变量X服从两点分布,则E(X)=__,D(X)=_______.aE(X)+ba2D(X)p(1-p)p(5)二项分布的均值与方差:若随机变量X服从参数为n,p的二项分布,即X～B(n,p),则E(X)=___,D(X)=________.np(1-p)np2.必备结论教材提炼记一记(1)均值与方差的关系:D(X)=E(X2)-E2(X).(2)超几何分布的均值:若X服从参数为N,M,n的超几何分布,则E(X)=nM.N3.必用技法核心总结看一看(1)常用方法:待定系数法,比较法.(2)数学思想:方程思想,分类讨论思想.【小题快练】1.思考辨析静心思考判一判(1)期望值就是算术平均数,与概率无关.()(2)随机变量的均值是常数,样本的平均值是随机变量,它不确定.()(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小.()(4)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况,因此它们是一回事.()【解析】(1)错误.期望是算术平均值概念的推广,是概率意义下的平均值,反映了离散型随机变量取值的平均水平.(2)正确.由于随机变量的取值是确定值,而每一个随机变量的概率也是确定的,因此随机变量的均值是定值,即为常数;而样本数据随着抽样的次数不同而不同,因此其平均值也不相同.(3)正确.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小;方差或标准差越大,则偏离均值的平均程度越大.(4)错误.均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况,均值反映了平均水平,而方差则反映它们与均值的偏离情况.答案:(1)×(2)√(3)√(4)×2.教材改编链接教材练一练(1)(选修2-3P64T2改编)已知离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望E(X)=()A.B.2C.D.3【解析】选A.E(X)=X123P3252331153123.51010102＋＋35310110(2)(选修2-3P68T1改编)已知X的分布列为设Y=2X+3,则E(Y)的值为()A.B.4C.-1D.1【解析】选A.E(X)=E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=X-101P73111263，273.331213163.真题小试感悟考题试一试(1)(2013·湖北高考)如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体,经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的油漆面数为X,则X的均值E(X)=()12661687A.B.CD.12551255．【解析】选B.272472546PX0,EX0.125125125125583654P(X3)P(X2)P(X1),125125125，，(2)(2014·浙江高考)随机变量ξ的取值为0,1,2,若P(ξ=0)=,E(ξ)=1,则D(ξ)=.【解析】设ξ=1时的概率为p,则E(ξ)=0×+1×p+2×(1-p-)=1,解得p=,故D(ξ)=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×=.答案:151515351535152525(3)(2015·广州模拟)设X～B(n,p),若D(X)=4,E(X)=12,则n和p分别为.【解析】因为X～B(n,p),所以解得p=,n=18.答案:18,np12,np1p4.2323考点1离散型随机变量的均值与方差【典例1】(1)(2014·浙江高考)已知甲盒中仅有1个球且为红球,乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3,n≥3),从乙盒中随机抽取i(i=1,2)个球放入甲盒中.(a)放入i个球后,甲盒中含有红球的个数记为ξi(i=1,2);(b)放入i个球后,从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i=1,2).则()A.p1p2,E(ξ1)E(ξ2)B.p1p2,E(ξ1)E(ξ2)C.p1p2,E(ξ1)E(ξ2)D.p1p2,E(ξ1)E(ξ2)(2)随机变量X的分布列为:且E(X)=1.1,则D(X)=.【解题提示】(1)根据概率和数学期望的有关知识,分别计算p1,p2和E(ξ1),E(ξ2),再比较大小.(2)可由分布列的性质求出n的值,再由期望值求出m值,最后求出方差值.X01mPn15310【规范解答】(1)选A.p2=p1－p2=故p1＞p2,E(ξ1)=E(ξ2)=比较可知E(ξ1)＜E(ξ2)，故选A.1mn12mnpmnmn22mn，223m3m4mnnn,3mnmn1－－－22mnnn12mn3m3m4mnnn02mn3mn(mn1)6mnmn1－－－－＞，－－nm2mn12mnmnmn，223m4mnn3mn,mnmn1nn1nmmm11223mnmn1mnmn1mnmn1(2)由分布列的性质得所以n＝.又E(X)＝0×＋1×＋m×＝1.1，解得m＝2.所以D(X)＝(0－1.1)2×＋(1－1.1)2×＋(2－1.1)2×＝0.49.答案：0.4913n1510＋＋＝，1215123101512310【易错警示】解答本例题(1)易出现三点错误(1)题设理解不清,对p1,p2的意义理解不透,造成结论错误.(2)比较p1,p2,E(ξ1),E(ξ2)大小时,出现运算错误.(3)忽略m,n取值造成结论错误.【互动探究】若本例(2)条件不变,令Y=2X+1,试求E(Y),D(Y).【解析】因为E(X)=1.1,Y=2X+1,所以E(Y)=E(2X+1)=2E(X)+1=2×1.1+1=3.2;由例题可知:D(X)=0.49,所以D(Y)=D(2X+1)=22×D(X)=1.96.【规律方法】求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤(1)理解ξ的意义,写出ξ可能的全部值.(2)求ξ取每个值的概率.(3)写出ξ的分布列.(4)由均值的定义求E(ξ).(5)由方差的定义求D(ξ).均值与方差的性质的推导若Y=aX+b,其中a,b是常数,X是随机变量,则(1)E(aX+b)=aE(X)+b.证明:E(Y)=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2+…+(axi+b)pi+…+(axn+b)pn=a(x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn)+b(p1+p2+…+pi+…+pn)=aE(X)+b.(2)D(aX+b)=a2D(X).证明:D(Y)=(ax1+b-aE(X)-b)2p1+(ax2+b-aE(X)-b)2p2+…+(axi+b-aE(X)-b)2pi+…+(axn+b-aE(X)-b)2pn=a2[(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xi-E(X))2pi+…+(xn-E(X))2pn]=a2D(X).【变式训练】已知随机变量ξ的分布列为若E(ξ)=,则D(ξ)=.ξ123P0.5xy158【解析】由分布列性质，得x＋y＝0.5.又E(ξ)＝，得2x＋3y＝，可得D(ξ)＝答案：1581181x83y.8，22215115115355(1)(2)(3).82888864－＋＋－5564【加固训练】在一次电视节目的抢答中,题型为判断题,只有“对”和“错”两种结果,其中某明星判断正确的概率为p,判断错误的概率为q,若判断正确则加1分,判断错误则减1分,现记“该明星答完n题后总得分为Sn”.(1)当p=q=时,记ξ=|S3|,求ξ的分布列及数学期望及方差.(2)当p=,q=时,求S8=2且Si≥0(i=1,2,3,4)的概率.121323【解析】(1)因为ξ＝|S3|的取值为1,3，又p＝q＝；故P(ξ＝1)＝所以ξ的分布列为：且E(ξ)＝1×＋3×=；D(ξ)＝12123331131112C()()P3()().224224＝，＝＝＋＝ξ13P14343414322233313(1)(3).24244＋＝(2)当S8＝2时，即答完8题后，回答正确的题数为5题，回答错误的题数是3题，又已知Si≥0(i＝1,2,3,4)，若第一题和第二题回答正确，则其余6题可任意答对3题；若第一题和第三题回答正确，第二题回答错误，则后5题可任意答对3题．此时的概率为P＝33536512(CC)()()33＋873088080().332187＝＝或考点2与二项分布有关的均值与方差【典例2】(1)某同学参加科普知识竞赛,需回答4个问题,每一道题能否正确回答是相互独立的,且回答正确的概率是,若回答错误的题数为ξ,则E(ξ)=,D(ξ)=.(2)罐中有6个红球,4个白球,从中任取1个球,记住颜色后再放回,连续取4次,设ξ为取得红球的次数,则E(ξ)=.34【解题提示】(1)可将问题看做是4次独立重复试验,服从二项分布.(2)本题同样可看做4次独立重复试验,服从二项分布.【规范解答】(1)因为回答正确的概率是,所以回答错误的概率是1-=,故所以E(ξ)=4×=1,D(ξ)=3434141B(4,)4～，141134(1).444＝(2)因为是有放回摸球,所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率为,连续摸4次(做4次试验),ξ为取得红球(成功)的次数,则所以E(ξ)=4×答案:(1)1(2)353B(4,)5～，312.55＝34125【易错警示】解答本例(2)易忽视“放回”的题目特征,从而将随机变量ξ的分布列看成普通分布而非二项分布,造成错误.【规律方法】与二项分布有关的期望、方差的求法(1)求随机变量ξ的期望与方差时,可首先分析ξ是否服从二项分布,如果ξ～B(n,p),则用公式E(ξ)=np,D(ξ)=np(1-p)求解,可大大减少计算量.(2)有些随机变量虽不服从二项分布,但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布,这时,可以综合应用E(aξ+b)=aE(ξ)+b以及E(ξ)=np求出E(aξ+b),同样还可求出D(aξ+b).【变式训练】某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛,每场均决出胜负,设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的,并且胜场的概率是.(1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率.(2)求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率.(3)求这支篮球队在6场比赛中胜场数的数学期望和方差.13【解析】(1)P＝所以这支篮球队首次胜场前已负两场的概率为(2)6场胜3场的情况有种，所以P＝所以这支篮球队在6场比赛中恰胜3场的概率为2114(1).3327＝4.2736C33361118160C()(1)20.332727729＝＝160.729(3)由于ξ服从二项分布，即所以E(ξ)＝6×＝2，D(ξ)＝6××(1-)＝.所以在6场比赛中这支篮球队胜场的数学期望为2，方差为.1B(6,)3～，1313134343【加固训练】(2015·杭州模拟)甲、乙两人参加某高校的自主招生考试,若甲、乙能通过面试的概率都为,且甲、乙两人能否通过面试相互独立,则面试结束后通过人数X的数