离散型随机变量的方差(不错的课件)20110321

1离散性随机变量的方差2温故而知新1、离散型随机变量X的均值（数学期望）1niiiEXxp2、均值的性质()EaXbaEXb3、两种特殊分布的均值（1）若随机变量X服从两点分布，则EXp（2）若，则~(,)XBnpEXnp反映了离散型随机变量取值的平均水平.3前面，我们认识了数学期望.数学期望:一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布列为ξx1x2…xk…xnPp1p2…pk…pn则称E11xp22xp…kkxp…nnxp为ξ的数学期望，简称期望．数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值．但有时两个随机变量只用这一个特征量是无法区别他们的。还需要对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行刻画．复习4如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数1、2的分布列如下：试比较两名射手的射击水平.x18910P0.20.60.2x28910P0.40.20.4如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？下面的分析对吗？∵80.290.6100.29E280.490.2100.49E∴甲、乙两射手的射击水平相同.（你赞成吗？为什么？）显然两名选手的水平是不同的,这里要进一步去分析他们的成绩的稳定性.探究5对于一组数据的稳定性的描述，我们是用方差或标准差来刻画的.方差定义一组数据的方差：方差反映了这组数据的波动情况在一组数：x1,x2,…,xn中，各数据的平均数为，则这组数据的方差为：x2222121[()()()]nSxxxxxxn类似于这个概念,我们可以定义随机变量的方差..新课6离散型随机变量取值的方差和标准差:22211()()()iinnDxEpxEpxEp则称为随机变量的方差.21()niiixEp一般地,若离散型随机变量的概率分布列为：P1xix2x······1p2pip······nxnp称D为随机变量的标准差.定义7它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值.记忆方法:“三个”2()ED即练习一下81.已知随机变量x的分布列x01234P0.10.20.40.20.1求D和σ.00.110.220.430.240.12E解：22222(02)0.1(12)0.2(22)0.4(32)0.2(42)0.11.2D1.21.095D2.若随机变量x满足P（x＝c）＝1，其中c为常数，求Ex和Dx.Ex＝c×1＝cDx＝（c－c）2×1＝0练习9练习一下根据期望的定义可推出下面两个重要结论:结论1：则;,ab若EaEb结论2：若ξ~B(n，p)，则Eξ=np.那么,根据方差的定义你能推出类似的什么结论:可以证明,对于方差有下面两个重要性质：2()DabaD⑴~(,)(1)BnpDnpqqp若，其中⑵则结论101.已知随机变量x的分布列为则Ex与Dx的值为()(A)0.6和0.7(B)1.7和0.3(C)0.3和0.7(D)1.7和0.212.已知x~B(100,0.5),则Ex=___,Dx=____,sx=___.E(2x-1)=____,D(2x-1)=____,s(2x-1)=_____12P0.30.7D5025599100103、有一批数量很大的商品，其中次品占1％，现从中任意地连续取出200件商品，设其次品数为X，求EX和DX.2，1.98练习11再看一例例2试比较两名射手的射击水平.如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数x1、x2的分布列如下：x18910P0.20.60.2x28910P0.40.20.4解:∵80.290.6100.29E280.490.2100.49E∴甲、乙两射手的射击平均水平相同.又∵D0.4,2D0.8,∴甲射击水平更稳定.如果对手在8环左右,派甲.如果对手在9环左右,派乙.思考12例题：甲乙两人每天产量相同，它们的次品个数分别为，其分布列为0123P0.30.30.20.2012P0.10.50.4判断甲乙两人生产水平的高低？解答例题13E=0×0.3+1×0.3＋2×0.2＋3×0.2=1.3E=0×0.1+1×0.5＋2×0.4=1.3D=(0－1.3)2×0.3+(1－1.3)2×0.3＋（2－1.3）2×0.2＋（3-1.3)2×0.2=1.21结论：甲乙两人次品个数的平均值相等，但甲的稳定性不如乙，乙的生产水平高.期望值高，平均值大，水平高方差值小，稳定性高，水平高14例2:有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息：甲单位不同职位月工资X1/元1200140016001800获得相应职位的概率P10.40.30.20.1乙单位不同职位月工资X2/元1000140018002200获得相应职位的概率P20.40.30.20.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：1400,140021EXEX112000,4000021DXDX在两个单位工资的数学期望相等的情况下,如果认为自己能力很强,应选择工资方差大的单位,即乙单位;如果认为自己能力不强,就应选择工资方差小的单位,即甲单位.例题15课本第68页习题2.3A组第1，5题课后作业16（2）若，则再回顾：两个特殊分布的方差（1）若X服从两点分布，则(1)DXpp（2）若，则~(,)XBnp(1)DXnpp两种特殊分布的均值（1）若X服从两点分布，则EXp~(,)XBnpEXnp17方差的性质2()DaXbaDX平移变化不改变方差，但是伸缩变化改变方差.均值的性质(1)()EaXbaEXb(2)()EaXbYaEXbEY推论：常数的方差为_______.018机动练习117100.8ppnBX,n1.6,DX8,EX),(1则，～、已知DD则，且、已知,138132193.若随机变量服从二项分布，且E=6，D=4,则此二项分布是。设二项分布为~B(n,p),则E=np=6D=np(1-p)=4n=18p=1/3204.有场赌博，规则如下：如掷一个骰子，出现1，你赢8元；出现2或3或4，你输3元；出现5或6，不输不赢．这场赌博对你是否有利?1111830.6236E对你不利!劝君莫参加赌博.215．随机变量X的分布列如下：其中a，b，c成等差数列．若E(X)＝，则D(X)的值是______．X－101Pabc22解析：a＋b＋c＝1.又∵2b＝a＋c，故b＝由E(X)＝故a＝D(X)＝答案：11,33ac,得23对随机变量X的均值(期望)的理解：(1)均值是算术平均值概念的推广，是概率意义上的平均；(2)E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，也就是说随机变量X可以取不同的值，而E(X)是不变的，它描述的是X取值的平均状态；(3)E(X)的公式直接给出了E(X)的求法．24(2010·衡阳模拟)一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有n件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收．抽检规则是这样的：一次取一件产品检查(取出的产品不放回箱子)，若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品．(1)若这箱产品被用户接收的概率是，求n的值；(2)在(1)的条件下，记抽检的产品件数为X，求X的分布列和数学期望．25（1）利用古典概型易求.（2）X的取值为1、2、3，求出分布列代入期望公式.26【解】(1)设“这箱产品被用户接收”为事件A，∴n＝2.(2)X的可能取值为1,2,3.P(A)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=27∴X的概率分布列为：X123P1828109()123.5454545EX281．(2010·河南六市联考)甲、乙、丙、丁四人参加一家公司的招聘面试．公司规定面试合格者可签约．甲、乙面试合格就签约；丙、丁面试都合格则一同签约，否则两人都不签约．设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响．求：(1)至少有三人面试合格的概率；(2)恰有两人签约的概率；(3)签约人数的数学期望．29解：(1)设“至少有3人面试合格”为事件A，则P(A)＝(2)设“恰有2人签约”为事件B，“甲、乙两人签约，丙、丁两人都不签约”为事件B1；“甲、乙两人都不签约，丙、丁两人签约”为事件B2；则：B＝B1＋B2P(B)＝P(B1)＋P(B2)30(3)设X为签约人数．X的分布列如下：P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=31X01234P52024161620()01234.81848181819EX32(2010·贵阳模拟)有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指标，其分布列如下：33举一反三1.某有奖竞猜活动设有A、B两组相互独立的问题，答对问题A可赢得奖金3万元，答对问题B可赢得奖金6万元.规定答题顺序可任选，但只有一个问题答对后才能解答下一个问题，否则中止答题.假设你答对问题A、B的概率依次为、.若你按先A后B的次序答题，写出你获得奖金的数额ξ的分布列及期望值Eξ.1213ξ039p解析：若按先A后B的次序答题，获得奖金数额ξ的可取值为0,3(万元)，9（万元）.∵P（ξ=0）=,P（ξ=3）=,P（ξ=9）=.∴ξ的分布列为11122111123311123612131634题型二求随机变量的方差【例2】编号1，2，3的三位学生随意入座编号1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生人数是X.（1）求随机变量X的概率分布列；（2）求随机变量X的期望与方差.ξ的数学期望为E（ξ）=1110392.523635分析（1）随机变量X的意义是对号入座的学生个数，所有取值为0,1,3.若有两人对号入座，则第三人必对号入座.由排列与等可能事件概率易求分布列;（2）直接利用数学期望与方差公式求解.X013P解（1）P（X=0）=,P（X=1）=,P（X=3）=,故X的概率分布列为(2)E(X)=D(X)=33213A133312CA33116A1312161110131326222111011131132636举一反三2.设在15个同类型的零件中有2个次品，每次任取1个，共取3次，并且每次取出后不再放回.若用X表示取出次品的个数.（1）求X的分布列；（2）求X的均值E(X)和方差D(X).学后反思求离散型随机变量X的方差的步骤：（1）写出X的所有取值；（2）计算P（X=xi）;(3)写出分布列，并求出期望E(X)；（4）由方差的定义求出D(X).37解析：(1)P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=.故X的分布列为(2)X的均值E(X)和方差D(X)分别为E(X)=;D(X)=3133152235CC122133151235CCC21213315135CCCX012P135123522352212120123535355222222212215201253553553517538题型四期望与方差的综合应用【例4】(14