高考正弦定理和余弦定理练习题及答案

高考正弦定理和余弦定理练习题及答案一、选择题1.已知△ABC中，a＝c＝2，A＝30°，则b＝()A.3B.23C.33D.3＋1答案：B解析：∵a＝c＝2，∴A＝C＝30°，∴B＝120°.由余弦定理可得b＝23.2.△ABC中，a＝5，b＝3，sinB＝22，则符合条件的三角形有()A.1个B.2个C.3个D.0个答案：B解析：∵asinB＝102，∴asinBb＝3a＝5，∴符合条件的三角形有2个．3．(2010·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°答案：A解析：利用正弦定理，sinC＝23sinB可化为c＝23b.又∵a2－b2＝3bc，∴a2－b2＝3b×23b＝6b2，即a2＝7b2，a＝7b.在△ABC中，cosA＝b2＋c2－a22bc＝b2＋23b2－7b22b×23b＝32，∴A＝30°.4．(2010·湖南卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C＝120°，c＝2a，则()A．abB．abC．a＝bD．a与b的大小关系不能确定答案：A解析：由正弦定理，得csin120°＝asinA，∴sinA＝a·322a＝6412.∴A30°.∴B＝180°－120°－A30°.∴ab.5.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为()A.518B.34C.32D.78答案：D解析：方法一：设三角形的底边长为a，则周长为5a，∴腰长为2a，由余弦定理知cosα＝2a2＋2a2－a22×2a×2a＝78.方法二：如图，过点A作AD⊥BC于点D，则AC＝2a，CD＝a2，∴sinα2＝14，∴cosα＝1－2sin2α2＝1－2×116＝78.6.(2010·泉州模拟)△ABC中，AB＝3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积等于()A.32B.34C.32或3D.32或34答案：D解析：∵sinC3＝sinB1，∴sinC＝3·sin30°＝32.∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，A＝90°，S△ABC＝12×1×3＝32，当C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝12×1×3sin30°＝34.即△ABC的面积为32或34.二、填空题7．在△ABC中，若b＝1，c＝3，∠C＝2π3，则a＝________.答案：1解析：由正弦定理bsinB＝csinC，即1sinB＝3sin2π3，sinB＝12.又bc，∴B＝π6，∴A＝π6.∴a＝1.8．(2010·山东卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝2，b＝2，sinB＋cosB＝2，则角A的大小为________．答案：π6解析：∵sinB＋cosB＝2，∴sin(B＋π4)＝1.又0Bπ，∴B＝π4.由正弦定理，知2sinA＝2sinB，∴sinA＝12.又ab，∴AB，∴A＝π6.9.(2010·课标全国卷)在△ABC中，D为边BC上一点，BD＝12DC，∠ADB＝120°，AD＝2.若△ADC的面积为3－3，则∠BAC＝________.答案：60°解析：S△ADC＝12×2×DC×32＝3－3，解得DC＝2(3－1)，∴BD＝3－1，BC＝3(3－1)．在△ABD中，AB2＝4＋(3－1)2－2×2×(3－1)×cos120°＝6，∴AB＝6.在△ACD中，AC2＝4＋[2(3－1)]2－2×2×2(3－1)×cos60°＝24－123，∴AC＝6(3－1)，则cos∠BAC＝AB2＋AC2－BC22AB·AC＝6＋24－123－94－232×6×6×3－1＝12，∴∠BAC＝60°.三、解答题10.如图，△OAB是等边三角形，∠AOC＝45°，OC＝2，A、B、C三点共线．(1)求sin∠BOC的值；(2)求线段BC的长．解：(1)∵△AOB是等边三角形，∠AOC＝45°，∴∠BOC＝45°＋60°，∴sin∠BOC＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝2＋64.(2)在△OBC中，OCsin∠OBC＝BCsin∠BOC，∴BC＝sin∠BOC×OCsin∠OBC＝2＋64×2sin60°＝1＋33.11.(2010·全国Ⅱ卷)△ABC中，D为边BC上的一点，BD＝33，sinB＝513，cos∠ADC＝35，求AD.解：由cos∠ADC＝350知Bπ2，由已知得cosB＝1213，sin∠ADC＝45，从而sin∠BAD＝sin(∠ADC－B)＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB＝45×1213－35×513＝3365.由正弦定理得ADsinB＝BDsin∠BAD，AD＝BD·sinBsin∠BAD＝33×5133365＝25.12.(2010·安徽卷)设△ABC是锐角三角形，a，b，c分别是内角A，B，C所对边长，并且sin2A＝sinπ3＋Bsinπ3－B＋sin2B.(1)求角A的值；(2)若AB→·AC→＝12，a＝27，求b，c(其中bc)．解：(1)因为sin2A＝32cosB＋12sinB32cosB－12sinB＋sin2B＝34cos2B－14sin2B＋sin2B＝34，所以sinA＝±32.又A为锐角，所以A＝π3.(2)由AB→·AC→＝12，可得cbcosA＝12.①由(1)知A＝π3，所以cb＝24.②由余弦定理知a2＝c2＋b2－2cbcosA，将a＝27及①代入，得c2＋b2＝52，③③＋②×2，得(c＋b)2＝100，所以c＋b＝10.因此c，b是一元二次方程t2－10t＋24＝0的两个根．解此方程并由cb知c＝6，b＝4.