复变函数课后部分习题解答

1.2求下列各式的值。（1）(3-i)5解：3-i=2[cos(-30°)+isin(-30°)]=2[cos30°-isin30°](3-i)5=25[cos(30°5)-isin(30°5)]=25(-3/2-i/2)=-163-16i1.2求下列式子的值（2）（1+i）6解：令z=1+i则x=Re（z）=1，y=Im（z）=1r=z=22yx=2tan=xy=1x0,y0属于第一象限角=41+i=2（cos4+isin4）（1+i）6=（2）6（cos46+isin46）=8（0-i）=-8i1.2求下式的值(3)61因为-1=（cos+sin）所以61=[cos(k2/6)+sin(k2/6)](k=0,1,2,3,4,5,6).习题一1.2（4）求(1-i)31的值。解：(1-i)31=[2(cos-4+isin-4)]31=62[cos(12)18(k)+isin(12)18(k)](k=0,1,2)1.3求方程3z+8=0的所有根。解：所求方程的根就是w=38因为-8=8（cos+isin）所以38=[cos(+2k)/3+isin(+2k)/3]k=0,1,2其中=3r=38=2即1w=2[cos/3+isin/3]=1—3i2w=2[cos(+2)/3+isin(+2)/3]=-23w=2[cos(+4)/3+isin(+4)/3]=1—3i习题二1.5描出下列不等式所确定的区域或者闭区域，并指明它是有界还是无界的，单连通还是多连通的。(1)Im(z)0解：设z=x+iy因为Im(z)0，即，y0而),(x所以，不等式所确定的区域D为：不包括实轴的上半平面。由所确定的区域可知，不存在某一个正数M，使得确定区域内的每个点z满足Mz，所以该区域是无界的。在该区域D内任意作一条简单闭曲线，该曲线的内部总是属于D区域，所以区域D为单连通区域。综上所述，该不等式确定的区域是不包含实轴的上半区域，是无界的单连通区域。描出下列不等式的区域或闭区域，并指出它是有界还是无界的，单连通的还是多连通的。1.5（2）解：该不等式的区域如图所示：圆+=4的外部（不包括圆周），无界的，为开的多连通区域1.5.描出下列不等式所确定的区域或闭区域，并指明它是有界的还是无界的，单连通的还是多连通的0Re(z)115xy由直线X=0与X=1所围成的带形区域，不包括两直线在内，是无界的、开的单连通区域。1.5描述下列不等式所确定的区域或闭区域，并指明它是有界的还是无界的，单连通的还是多连通的：（4）32z解：32z即9422yx为由圆周422yx与922yx所围成的环形闭区域（包括圆周），是有界多连通闭区域。如图：已知映射w=z3，求（1）点z1=i，z2=1+i，z3=3+i，在w平面上的像。解：z=reiθ，则w=z3r3。于是⑴Z1=i=e2i,z2=1+i=()=Z3=+i=2（+i）=2()=经映射后在w平面上的像分别是W1==-i,W2==（-+i）=-2+i2，W3==8i第47页3.5计算下列各题（1）==-((zcosz)z=1-(zcosz)z=0-dz)=cos1-sin1注：因输入法问题。故特设定z的共轭负数为z*,除号为/1.7：设f（z）=1/z2(z/z*－z*/z)(z≠0)当z→0时，极限不存在解法一：首先假设z＝reiθ则有：(z/z*－z*/z)＝r2(e-2iθ-e2iθ)/r2＝-2isin2θ可见是随θ发生变化而变化的变量所以根据极限必须为常数可知当z→0时，极限不存在是以此题得证。解法二：首先假设z＝x+iy则(z/z*－z*/z)＝(z*2－z2)/x2＋y2＝-4ixy/x2＋y2所以可见，当z→0时，即当x→0,y→0时因为有lim(x→0,y→0)xy/x2＋y2极限不存在所以当z→0时，f（z）=1/z2(z/z*－z*/z)的极限不存在是以此题得证。2.1利用导数定义推出：（1）(zn)、=nzn-1(n为正整数)；解0limzzzzznn)(=0limzzzzczzczzczcnnnnnnnnnn222110=0limz(nz1n+c2nz2nz+...+cnn1nz)=nz1n2.1(2)()ˊ=-==-(2)f(x)=2x3+3y3i解：∵u=2x3，v=3y3。26xxu,0yu,0xv,29yyv上述4个偏导处处连续，但仅当2x2=3y2时C-R方程成立。因而函数只在直线x2±y3=0上可导，但是在复平面上不解析。习题22.2的第一小题下列函数在何处可导？何处解析？iyxzf2解：xvyuyvxuyvxvyuxxuyvxuiyxzf100222在z平面上处处连续，且当且仅当2x=−1时，u,v才满足C-R条件，故f(z)=u+iv=x-iy仅在直线21x上可导，在z平面上处处不解析。7.6(2)：求下列函数的傅里叶变换：f(t)=costsint.解：F()======2．2以下函数何处可导？何处解析？f（z）=sinxchy+icosxshy解：u=sinxchyv=cosxshyxchyxucosxchyyvcosxshyyusinxshyxvsin可得yvxuxvyu并且上述四个一阶偏导数均连续，所以f(z)在复平面内处处可导，从而在复平面内处处解析。25页习题二2.3指出函数的解析性区域并求其导数(1)(z-1)5解：由题可知(z-1)5处处解析其导数f’(z)=5(z-1)425页习题二2.3指出函数的解析性区域并求其导数（2）izz23解：设izzzf23，iyxz则xyyxiyxyxyxf2323,3223令xyyxvyxyxu23233223则263322xyuyxuyx223326yxvxyvyx又令''yxvu''xyvu即22223333yxyx2626xyxy所以zf在复平面内处处解析，即izz23在复平面内处处解析，其导数为iz232。２．３题：指出下列函数的解析性区域，并求其导数；（３）ｆ（ｚ）＝解：令－１＝０得ｚ＝－１和ｚ＝１所以该函数除ｚ＝－１和ｚ＝１外在复平面上处处解析；该函数的导数为：＝－25页：习题二2.3指出下列函数的解析性区域，并求其倒数。（4）.(cd中至少有一个不为0)解.当c=0时，函数在复平面处处解析；（）的倒数为；当c！=0时：函数除z=-外在复平面处处可导，处处解析；（）的倒数为=第二章2.4求下列函数的奇点；（1）解:因为：当z()=0;所以z=0；=-1由Z=计m=-1=cosπ+isinπZ==cos+isin（n=0,1）当n=0时，z=i；当n=1时，z=-i；所以本题奇点分别为0；-i;i;2.4求下列函数的奇点:(2).)1()1(222zzz解:令原函数分母.,10)1(1)(z22izz即:原函数在iz,1处不解析,故原函数的奇点为.,1i2.10求Ln（-i），Ln（-3+4i）和他们的主值。解：Ln（-i）=Ln|-i|+i（arg（-i）+2kπ）=i（-+2kπ）=iπ（2k-），k=0，+1，+2，…ln（-i）=ln|-i|+iarg（-i）=-Ln（-3+4i）=ln|-3+4i|+i［arg（-3+4i）+2kπ］=ln5+i［（π-arctan）+2kπ］=ln5-i［（arctan-（2k+1）π）］，k=0，+1，+2，…ln（-3+4i）=ln|-3+4i|+iarg(-3+4i)=ln5+i(π-arctan)习题2.1221ie=e2ie=e)2sin()2cos(i=)(ie4)i1(e=4e4ie=4e)4sin()4cos(i==4e2222i=244ei1i3=3Lnie=33lniArgie=ke23lne=3lnsin3lncos2iekii1=iLnie1=iiArgilmie1|1|=*412|1|lnkiiee=*412ke22lnsin22lncosi习题三46页3.1沿下列路线计算积分：（1）自原点至3+i的直线段；解：此直线的参数方程可写成：x=3t，y=t，0t1，或z=3t+it，0t1，z=3t+it，=（3+i）.于是332223319331921iidzzdzzdzzccc9331331331331333103iiiy=书46页3.1沿下列路线计算积分dzzi302:(2)自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至.3i解:设iyxz,:1c原点到3,3,0,0xy;9313033022222111xdxxdxxiyxdiyxdzzccc3:2c到,3i0,3到,1,3,1,0,3yxdyiyiiydiyiyxdiyxdzzcc21021022333223.2试用积分cdzzz的值，其中C为正向圆周：2z.解：正向圆周2z的参数方程为：)20(2tezit由公式得：idtidtieeedzzzitititc422222020复变函数期中作业习题三3．4沿指定曲线的正向计算下列各积分:（1）解：由柯西积分公式得3.4（4）,C:|z|=2解：因为C：|z|=2，被积函数奇点z=3所以f（z）=在D内解析所以=0习题三3.4（8）dz/C:∣z∣=1解：取=0在C内，f(z)在C内解析所以，原式=f(z)dz/=(z)==i习题三3.4（5）dz，C为包围Z=0的闭曲线。解：因为解析函数，也为解析函数，两个解析函数相乘的积还是解析函数。所以由柯西积分定理得dz=0)4)(1(22zzdzc,c=|z|=23∵该区域内，z=±i为奇点则ccccccdzzdzizizidzzdzzdzzzzzdz]41)11([6]4111[31)4111(31)4)(1(2222222∵cdzz412的奇点不在|z|=23的范围内，则cdzz412=0，原式=cciiidzizdzizi0)22(6]11[6