现代控制理论习题解答(第三章)

第三部分现代控制理论习题详解第三章线性控制系统的能控性和能观性44第三章线性控制系统的能控性和能观性3-3-1判断下列系统的状态能控性。（1）01,0101BA（2）111001,342100010BA（3）020011,100030013BA（4）1110,0000000000011111BA【解】：(1)2,1011nrankUABBUcc，所以系统完全能控。(2)7111111010012BAABBUc前三列已经可使3nrankUc，所以系统完全能控（后续列元素不必计算）。（3）A为约旦标准型，且第一个约旦块对应的B阵最后一行元素全为零，所以系统不完全能控。（4）A阵为约旦标准型的特殊结构特征，所以不能用常规标准型的判别方法判系统的能控性。同一特征值对应着多个约旦块，只要是单输入系统，一定是不完全能控的。可以求一下能控判别阵。2,111321031211312113121121132ccrankUBABAABBU，所以系统不完全能控。3-3-2判断下列系统的输出能控性。第三部分现代控制理论习题详解第三章线性控制系统的能控性和能观性45(1)xyuxx011101020011100030013(2)xyuxx0011006116100010【解】：（1）已知020011,100030013BA，011101C，0000D111300002BCACABCBD前两列已经使22mBCACABCBDrank，所以系统输出能控。（2）系统为能控标准型，所以状态完全能控。又因输出矩阵C满秩，且输出维数m小于状态维数n，所以状态能控则输出必然能控。2-3-3判断下列系统的能观性。(1)xyxx121110342100010；(2)xyxx110111；(3)xyxx110300020012；（4）xyxx411100040004【解】：（1）已知121110,342100010CA第三部分现代控制理论习题详解第三章线性控制系统的能控性和能观性4644212111020CACACV前三行已使30nrankV，所以系统完全能观（后续元素不必计算）。（2）11,0111CA2,121100nrankVCACV所以系统完全能观。（3）状态空间表达式为约旦标准型，且C阵对应于第一个约旦块的第一列元素为零，所以系统状态不完全能观。（4）状态空间表达式为约旦标准型的特殊结构形式，所以不能用常规方法判系统的能观性。同一特征值对应着多个约旦块，只要是单输出系统，一定是不完全能观的。也可求2,0,416164444110020rankVVCACACV所以系统不完全能观。3-3-4设系统状态方程为BuAxx，若1x、2x是系统的能控状态，试证状态21xx也是能控的（其中α、β为任意常数）。【解】：设：xCxy因为，状态1x和2x能控，所以至少有21BAABBrankn。而由系统输出能控的判别阵得：1)(12BAABBCrankBCACABCBrankn，（C阵又满秩）。所以xCxy一定是能控的。第三部分现代控制理论习题详解第三章线性控制系统的能控性和能观性473-3-5设系统∑1和∑2的状态空间表达式为2222221111112:12104310:xyuxxxyuxx（1）试分析系统∑1和∑2的能控性和能观性，并写出传递函数；（2）试分析由∑1和∑2组成的串联系统的能控性和能观性，并写出传递函数；（3）试分析由∑1和∑2组成的并联系统的能控性和能观性，并写出传递函数。【解】：（1）2,2312;2,4110:1ooccrankVVrankUU2222222:xyuxx两个子系统既能控又能观。（2）以系统1在前系统2在后构成串联系统为例（串联顺序变化状态空间表达式不同，又都是SISO系统，传递函数相同）：系统有下关系成立：uu1，12yu，2yy21xxxxxCyuxubxACbAx100001021204301000212121;2,41013414102ccrankUbAAbbU3,4472121002oorankVCACACV串联后的系统不能控但能观。第三部分现代控制理论习题详解第三章线性控制系统的能控性和能观性48传递函数为：1111212212)()()()()(bAsICbAsICsGsGsG)34(1)2)(34(21043112]1)2(1[2211sssssssss（3）并联后的系统数学模型为：系统有下关系成立：uuu21，21yyy并联后的状态空间表达式为：xxCCyuxubbxAAx11211020004301000212121;3,42113414102ccrankUbAAbbU3,4562231122oorankVCACACV并联后系统既能控又能观。传递函数为：2122111121)()()()()(bAsICbAsICsGsGsG611678221)34(2]1)2(1[1043112232211ssssssssssss3-3-6已知系统的传递函数为182710)(23sssassG（1）试确定a的取值，使系统成为不能控或为不能观；（2）在上述a的取值下，求使系统为能控的状态空间表达式；（3）在上述a的取值下，求使系统为能观的状态空间表达式。【解】：系统的传递函数可以写成：第三部分现代控制理论习题详解第三章线性控制系统的能控性和能观性49)6)(1)(3(182710)(23sssassssassG(1)当a1，3，6时，系统传递函数出现零极点对消现象，则系统可能不能控，或不能观或即不能控又不能观。(2)在上述a的取值下，求使系统为能控的状态空间表达式；能控标准型为：xayuxx01100102718100010(3)在上述a的取值下，求使系统为能观的状态空间表达式。能观标准型为：xyuaxx100011010270118003-3-7已知系统的状态空间表达式为xcbayucbaxx000001试问能否选择常数a、b、c使系统具有能控性和能观性。【解】：2222cccbbbbabaaUc在上述行列式中，无论a、b、c如何取值，都有两行元素线性相关，则0cU，2crankU。第三部分现代控制理论习题详解第三章线性控制系统的能控性和能观性5022202cbaacbaacbaV在上述行列式中，无论a、b、c如何取值，都有两列元素线性相关，则00V，20rankV。所以，无论常数a、b、c取何值，系统都不能控和不能观。3-3-8系统的结构如题3-3-8图所示，图中a、b、c、d均为实常数，试建立系统的状态空间表达式，并分别确定当系统状态能控和能观时a、b、c、d应满足的条件。)(tub)(1txca)(2txd)(ty题3-3-8图【解】：系统状态空间表达式为：xyuxbdcaxxyubxdxxucxaxx01111212211系统能控的条件为：011cabdUbdcaAbbUcc。系统能观的条件为：0,010cVcacAcVo。3-3-9设系统),(CA的系数矩阵为00,0100011321cCaaaA第三部分现代控制理论习题详解第三章线性控制系统的能控性和能观性51其中1321,,,caaa为实数。试问系统),(CA能观的充要条件是什么？要求用A、C中的参数具体表示。【解】：.0,0000100312331031321221321311311312112121131211120acacVaaaaaaaaaaccaacacaacacacacacacCACACV3-3-10已知系统的状态空间表达式为xccyubbxx21213210欲使系统中有一个状态既能控又能观，另一个状态既不能控又不能观，试确定参数2121,,,ccbb应满足的关系。【解】：2,1,023)(212AIfA为友矩阵，且特征值互异，所以1112,21111112121PPPPxPxxccccyubbbbxx21212121222001显然，当状态2x既能控又能观，而状态1x既不能控又不能观的条件是：0,0202,012212121bbbbcccc0201221bbcc当状态1x既能控又能观，而状态2x既不能控又不能观的条件是：02,00,0221122121bbbbcccc0021221bbcc第三部分现代控制理论习题详解第三章线性控制系统的能控性和能观性523-3-11设n阶系统的状态空间表达式为CxybuAxx，试证：（1）若Cb=0，CAb=0，CA2b=0，……CAn-1b=0，则系统不能同时满足能控性和能观性条件。（2）如果满足Cb=0，CAb=0，CA2b=0，……CAn-2b=0，CAn-1b≠0则系统总是又能控又能观的。【解】：（1）以三阶系统为例：bCAbCAbCAbCAbCAbCAbCAbCACAbbCACAbCbbAAbbCACAC