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第1页（共9页）高一上学期期末数学试卷总分：150分答题时间：120分钟日期：2016年1月6日姓名：__________学号：__________得分：__________说明：本试卷适合高一学生使用，难度：中等一、选择题（共12小题；共60分）1.设集合，集合．若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是()A.B.C.D.2.函数的定义域为，则的取值范围是()A.B.C.D.3.已知向量，，，则()A.B.C.D.4.已知函数，给出下列命题：①若，则；②的最小正周期是；③在区间上是增函数；④的图象关于直线对称；⑤当时，的值域为．其中真命题是()A.①②④B.③④⑤C.①②③D.①③④5.设是锐角三角形的两个互不相等的内角，若，，则，，的大小关系是()第2页（共9页）A.B.C.D.6.定义函数，，若存在常数，对任意的，存在唯一的，使得，则称函数在上的均值为．已知，，则函数在上的均值为()A.B.C.D.7.已知函数（，，均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是()A.B.C.D.8.设是定义在上以为周期的偶函数，已知时，，则函数在上()A.是增函数，且B.是增函数，且C.是减函数，且D.是减函数，且9.若，则()A.B.C.D.10.在中，若，则的形状一定是()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形11.某学生对函数进行研究后，得出如下四个结论：（1）函数在上单调递增；（2）存在常数，使对一切实数都成立；（3）函数在上无最小值，但一定有最大值；（4）点是函数图象的一个对称中心．其中正确的是()A.（1）（3）B.（2）（3）C.（2）（4）D.（1）（2）（4）12.已知为内一点，若对任意，恒有，则一定是()A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定第3页（共9页）二、填空题（共4小题；共16分）13.是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论中正确的是．（写出所有正确结论的序号）①为单位向量；②为单位向量；③；④；⑤．14.化简：．15.设为锐角，若，则的值为．16.若等边的边长为，平面内一点满足，则．三、解答题（共6小题；共74分）17.已知全集，集合，．(1)求；(2)求．18.设向量，，．(1)若与垂直，求的值；(2)求的最大值；(3)若，求证：．19.在斜三角形中，．(1)求角的大小；(2)若，且，求的面积．20.已知函数．(1)求函数的最小正周期；(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到函数的图象，且函数的最大值为．①求函数的解析式；②证明：存在无穷多个互不相同的正整数，使得．21.已知函数．第4页（共9页）(1)若在一个周期内的图象如图所示，且，，试写出函数的解析式；(2)若存在实数，（其中，，）使得函数是奇函数，且在上是增函数，求出所有的，的值．22.在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，三点满足．(1)求证：，，三点共线；(2)已知，，，的最小值为，求实数的值．第5页（共9页）答案第一部分1.B2.A3.C4.B5.A6.A7.A8.D9.C10.C11.B12.A第二部分13.①④⑤14.15.16.第三部分17.(1)由，得，解得．由，解得或．故．17.(2)因为，所以，所以．18.(1)因为与垂直，所以因此18.(2)由得第6页（共9页）又当时，等号成立，所以的最大值为．18.(3)由得所以19.(1)由题意知则化简得，即，，所以，从而，故．19.(2)由，可得又斜三角形内，所以，由正弦定理得，所以，解得，所以第7页（共9页）20.(1)因为，所以函数的最小正周期．20.(2)①将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，再向下平移个单位长度后得到的图象．又已知函数的最大值为，所以，解得．所以．②要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，即．由知，存在，使得．由正弦函数的性质可知，当时，均有．因为的周期为，所以当时，均有．因为对任意的整数，，所以对任意的正整数，都存在正整数，使得．即存在无穷多个互不相同的正整数，使得．21.(1)由已知，所以．因为，所以（）．又，所以，．21.(2)为奇函数，所以对于任意的实数，均有，即，（）．所以对于任意的实数，，所以，．第8页（共9页）当时，，在上是增函数，所以解得，又，所以．当时，，在上是增函数，所以解得，又，所以．综上，，（）；，（）．22.(1)，，又与有公共点，故，，三点共线．22.(2)，，，，故，，从而关于的二次函数的对称轴为，，，又区间的中点为．①当，即时，当时，，由得或，又，；②当，即时，当时，，由得，又，．综上所述：的值为或．第9页（共9页）