(江苏专用)2020版高考数学二轮复习微专题八空间几何体的表面积和体积课件苏教版

核心模块三立体几何微专题八空间几何体的表面积和体积课时作业考情分析在近几年的高考题中，对于空间几何体的表面积和体积小题必有一题，难度为中档题，在2016年、2017年都出现了以空间几何体为背景的应用题，考察了几何体体积的最值以及测量问题，难度为中档题.年份填空题解答题2017T6组合体的体积T18空间几何体为背景的应用题2018T10组合体的体积2019T9长方体和三棱锥体积课时作业典型例题目标1空间几何体的表面积与体积例1(1)现有一个底面半径为3cm，母线长为5cm的圆锥状实心铁器，将其高温熔化后铸成一个实心铁球(不计损耗)，则该铁球的半径为________cm.(1)39解析：因为圆锥底面半径为3cm，母线长为5cm，所以圆锥的高为52－32＝4(cm)，其体积为13π×32×4＝12π(cm3)，设铁球的半径为r，则43πr3＝12π，所以该铁球的半径是39cm.(2)设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，若V1V2＝3π，则S1S2的值为________．(2)32π解析：不妨设V1＝27，V2＝9π，故V1＝a3＝27，即a＝3，所以S1＝6a2＝54.如图所示，又V2＝13h×πr2＝13πr3＝9π，即r＝3，所以l＝2r，即S2＝12l×2πr＝2πr2＝92π，所以S1S2＝5492π＝32π.(3)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型，如图，该模型为长方体ABCD­A1B1C1D1挖去四棱锥O­EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.(3)118.8解析：长方体ABCD­A1B1C1D1的体积为6×6×4＝144(cm3)，四边形EFGH是菱形，面积为其对角线乘积的一半，S菱形EFGH＝12×6×4＝12(cm2)，四棱锥O­EFGH的高为3cm，其体积为13×12×3＝12(cm3)，所以长方体ABCD­A1B1C1D1挖去四棱锥O­EFGH后所得的几何体的体积为132cm3,132×0.9＝118.8(g)，所以制作该模型所需原料的质量为118.8g.【方法归类】1.一般地，求锥体的体积及锥高的求解是难点，等同于求顶点在底面上的射影，有时可以考虑等体积法．如果是锥高已经确定的问题，此时空间的问题就转化为平面问题，主要是三角形面积的计算．2.对于圆柱、圆锥的侧面、表面积、体积问题主要是利用好“高、母线、底面半径”三者之间的关系以及侧面展图求解．【思维变式题组训练】1.已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为6π，则该圆锥的体积等于________．3π解析：设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为h，则由题意可得l＝2r.因为S侧＝πrl＝2πr2＝6π，所以r＝3，l＝23，则h＝l2－r2＝12－3＝3，所以圆锥的体积为V＝13πr2h＝13π×3×3＝3π.2.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，点M为棱AA1的中点，记三棱锥A1­MBC的体积为V1，四棱锥A1­BB1C1C的体积为V2，则V1V2的值是________．14解析：解法1(割补法)：设△ABC的面积为S，三棱柱的高为h，则V1＝VA1­ABC－VM­ABC＝13Sh－13S×12h＝16Sh，V2＝VABC­A1B1C1－VA1­ABC＝Sh－13Sh＝23Sh，所以V1V2＝Sh6·32Sh＝14.解法2(等积转换)：V1＝VB­A1MC＝12VB­A1AC＝12VA1­ABC，V2＝2VA1­BC1B1＝2VB­A1B1C1＝2VA1­ABC，所以V1V2＝14.3.如图，在一个圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则此圆柱底面的半径是________cm.4解析：设圆柱底面的半径为r，则V＝πr2·6r＝3·4πr33＋πr2·8，解得r＝4.4.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________.π4解析：由题设条件可知，该四棱锥为正四棱锥，其高为2.因为圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，所以圆柱底面的直径为四棱锥底面对角线长的一半，即半径r＝12.又因为圆柱另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，所以圆柱的高h＝1，从而圆柱的体积V＝πr2h＝π×14×1＝π4.目标2空间几何体的最值问题例2(1)如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90°，点D为侧棱BB1上的动点．则当AD＋DC1最小时，三棱锥D­ABC1的体积为________．(1)13解析：将侧面展开如图，所以由平面几何性质可得：AD＋DC1≥AC1，当且仅当A，D，C1三点共线取到．此时BD＝1，所以S△ABD＝12×AB×BD＝12.在直三棱柱ABC­A1B1C1中，有BB1⊥CB，又AB⊥CB，易得CB⊥平面ABD，所以C1B1⊥平面ABD，即C1B1是三棱锥C1­ABD的高，所以VD­ABC1＝VC1­ABD＝13×C1B1×S△ABD＝13×2×12＝13.(2)将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB＝3，BC＝2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O­EFG体积的最大值是________．(2)4解析：因为将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB＝3，BC＝2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，所以三棱锥O­EFG的高为圆柱的高，即高为AB，所以当三棱锥O­EFG体积取最大值时，△EFG的面积最大，当EF为直径，且G在EF的垂直平分线上时，(S△EFG)max＝12×4×2＝4,所以三棱锥O­EFG体积的最大值(VO­EFG)max＝13×(S△EFG)max×AB＝13×4×3＝4.例3将2张边长均为1分米的正方形纸片分别按甲、乙两种方式剪裁并废弃阴影部分．(1)在图甲的方式下，剩余部分恰能完全覆盖某圆锥的表面，求该圆锥的母线长及底面半径；(2)在图乙的方式下，剩余部分能完全覆盖一个长方体的表面，求长方体体积的最大值．(1)解析：设圆锥的母线长及底面半径分别为l，r，则14×2πl＝2πr，l＋r＋2r＝2，解得r＝52－223，l＝202－823.(2)设被完全覆盖的长方体底面边长为x，宽为y，高为z，则x＋z＝1，2y＋2z＝1，解得z＝1－x，y＝x－12.则长方体的体积：V＝xyz＝xx－12(1－x)＝－x3＋32x2－12x，12x1.所以V′(x)＝－3x2＋3x－12.令V′(x)＝0得，x＝12＋36或x＝12－36(舍去)．列表：x12，12＋3612＋3612＋36，1V′(x)＋0－V(x)极大值所以当x＝12＋36时，Vmax＝336.【方法归类】1.对于求空间几何体中在两个侧面上两个有公共点距离之和最小值的问题，因为无法直接求出距离之和的最小值．故利用该特征将该三棱柱的侧面展开转化为平面几何进行研究．立体几何中相邻两个面之间的两点间距离路径最短问题，都可以转化为平面几何中两点距离最短，空间问题向平面转化，使得问题简化．2.与空间几何体的表面积和体积有关应用题主要涉及的表面积和体积问题，建立好的模型多与二次函数或三次函数有关系，偶尔也会有三角函数模型．读懂题目所给的文字信息和图形信息转化为数学模型是问题的关键．【思维变式题组训练】1.有一根长为6cm，底面半径为0.5cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的长度最少为________cm.36＋16π2解析：由题意得如图所示，可知铁丝的长度至少为62＋4π2＝36＋16π2.2.表面积为12π的圆柱，则当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为________．12解析：因为S表＝2πr2＋2πrh＝12π，所以r2＋rh＝6，即h＝6－r2r0，解得0r6.又V＝πr2h＝πr26－r2r＝πr(6－r2)(0r6)．令f(r)＝πr(6－r2)，所以f′(r)＝π(6－3r2)．令f′(r)＝π(6－3r2)＝0，r＝2.可得f(r)在(0，2)上单调递增，在(2，6)上单调递减，故f(r)max＝f(2)，此时r＝2，h＝22.故rh＝12.3.在一个半径为1的半球材料中截取三个高度均为h的圆柱，其轴截面如图所示，设三个圆柱体积之和为V＝f(h)．(1)求f(h)的解析式，并写出h的取值范围；(2)求三个圆柱体积之和V的最大值．解析：(1)自下而上三个圆柱的底面半径分别为r1＝1－h2，r2＝1－2h2，r3＝1－3h2，它们的高均为h，所以体积之和为V＝f(h)＝πr21h＋πr22h＋πr23h＝πh(1－h2＋1－4h2＋1－9h2)＝π(3h－14h3)．因为03h1，所以0h13，即这三个圆柱体积之和V＝f(h)＝π(3h－14h3)，h∈0，13.(2)由(1)得V＝f(h)＝π(3h－14h3)，所以f′(h)＝π(3－42h2)＝3π(1－14h)(1＋14h)．令f′(h)＝0，得h＝1414h＝－1414舍去.当h变化时，f′(h)，f(h)的变化情况如下表：h0，141414141414，13f′(h)＋0—f(h)极大值由上表可知当h＝1414时，函数f(h)取得极大值，也是最大值，所以f(h)max＝f1414＝π31414－14×14196＝147π.即三个圆柱体积之和V的最大值为147π.课时作业课后作业一、填空题1.若圆锥的底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为________．5π解析：圆锥的母线长为5，展开图弧长为底面周长2π，所以由扇形面积公式得侧面积为5π.2.已知正六棱柱的侧面积为72cm2，高为6cm，那么它的体积为________cm2.363解析：设正六棱柱的底面边长为xcm，由题意得6x·6＝72，所以x＝2cm，于是其体积V＝34×22×6×6＝363(cm3)．3.若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为________．2π解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，则有2πr＝2，即r＝1π，故圆柱的体积为V＝πr2h＝π1π2×2＝2π.4.如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝4，AA1＝6.若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥AA1EF的体积是________．83解析：因为在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1∥BB1，AA1⊂平面AA1C1C，BB1⊄平面AA1C1C，所以BB1∥平面AA1C1C，从而点E到平面AA1C1C的距离就是点B到平面AA1C1C的距离．作BH⊥AC，垂足为H.由于△ABC是正三角形且边长为4，所以BH＝23，从而三棱锥A­A1EF的体积VA­A1EF＝VE­A1AF＝13S△A1AF·BH＝13×12×6×4×23＝83.5.将斜边长为4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体体积是________．16π3解析：因为等腰直角三角形的斜边长为4，所以斜边上的高为2，故旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥的组合体，圆锥的底面半径为2，高为2，因此，几何体的体积为V＝2×13π×22×2＝16π3.6.已知矩形ABCD的边AB＝4，BC＝3，若沿对角线AC折叠，使平面DAC⊥平面BAC，则三棱锥DABC的体积为________．245解析：在平面DAC内作DO