第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题-C

第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题C一、填空题（每小题10份，共80分）1.计算：211118-+=____331111527（2（）（））【答案】152【考点】计算【解析】8816883335527原式383355516322781522.农谚“逢冬数九”讲的是，从冬至之日起，每九天分为一段，依次称之为一九，二九，……，九九，冬至那天是一九的第一天．2012年12月21日是冬至，那么2013年2月3日是________九的第________天．【答案】五、九【考点】周期问题【解析】12月21日到31日有：3121111天；1月份有31天；2月1日到2月3日有3天．所以从2012年12月21日到2013年2月3日经过1131345天．4595，所以是2013年2月10日是五九的第九天．3.最简单分数a满足1a15b4＜＜，且b不超过19，那么ab的最大可能值与最小可能值之积为________．【答案】253【考点】比较大小，最值【解析】1154ab化简可得：1154bab．ab取最小值时，9b，411254a，2a，2911ab．ab取最大值时，19b，433454a，4a，41923ab．ab的最大可能值与最小可能值积为11232534.如图所示，PQ,分别是正方形ABCD的边AD和对角线AC上的点，且AP:PD1:4，AQ:QC3:2．如果正方形ABCD的面积为100，那么三角形PBQ的面积是【答案】37.5【考点】几何【解析】ABCDPMQ连接DQ，正方形ABCD的面积为100，故边长为10，因为:1:3APPD，:4:1AQQC，所以11414110445452PAQQADADCABCDSSSS△△△，44140552BAQABCABCDSSS△△，12.51012.52APBS△，所以10412.537.5PBQQAPQABPABSSSS△△△△．5.四位数abcd与cdab的和为3333，差为693，那么四位数abcd为________．【答案】2013或1320【考点】和差问题【解析】大数等于333369322013，小数等于333369321320．20131320abcd或6.两个较小的正方体积木分别粘在一个大正方体积木的两个面上，构成下图所示的立体图形，其中，每个小积木粘贴面的四个顶点分别是大积木粘贴面各边的一个五等分点．如果三个积木的棱长互不相同且最大的棱长为5，那么这个立体图形的表面积是________．【答案】270【考点】立体几何表面积【解析】三视图法：表面积在原来棱长为5的正方体表面积的基础上增加了4个棱长为a的正方形的一面的面积和4个棱长为b的正方形的一面的面积；（题中三个积木的棱长互不相同）b3241a2221417a，2223213b，所以表面积为：655417413270．7.设a，b，c分别是09的数字，它们不同时都是0也不同时都是9．将循环小数0.abc化成分数最简分数后，分子有________种不同情况．【答案】660【考点】计数：容斥原理【解析】0.999abcabc，根据题意1998abc，但是结果要化为最简分数，所以化简后会有重复．由3999337，可得：1、1）1998中3的倍数有9983323个；2）1998中4381的倍数有9981281个；说明abc是3的倍数但不是81的倍数的有33212320个，这些数的分子全部可以化简成不是3的倍数的数．2、1998中37的倍数有9982637个；说明abc是37的倍数有26个，这些数的分子全部可以化简成不是37的倍数的数．3、1998中3和37的倍数有9988111个；说明abc是111的倍数有8个，这些数的分子全部可以化简成不是111的倍数的数．根据容斥原理，约分后会有重复的数有320268338个，则分子有998338660种不同情况．8.由四个完全相同的正方体堆积成如下图所示的立体图形，则立体的表面上（包括底面）所有黑点的总数至少是【答案】55【考点】立体几何：空间想象、最值问题【解析】如图所示，与3点相邻的面分别有2点、1点、4点和6点，所以3的对面为5；与4点不相对的面分别有1点、3点、6点、5点，所以2的对面为4；则1的对面为6．如下图，分别为这个立体图形的六个方向的视图：右视图左视图后视图正视图124114324526，5？5仰视图俯视图333本题的难点在于左视图中绿色的确定，通过原图可以看出，当3上面，2在左面时1在后面；所以当2在上面2在前面时，1应该在左面．唯一不能确定的是底视图的中间红色部分，为了让表面的数字和最小，则可以取1．故最大值为62541423214133351555．二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9.下图中，大正方形的周长比小正方形的周长多80厘米，阴影部分的面积为880平方厘米．那么，大正方形的面积是多少平方厘米？【答案】1024【考点】几何面积【解析】将图中空白的正方形摆正，放在大正方形的角上，如下图：CBA两正方形的周长相差80厘米，则右上角的小正方形C的边长为80420厘米．则长方形A和B的面积都是2880202240平方厘米，则空白正方形的边长为2402012厘米，小正方形的面积是1212144平方厘米．大正方形的面积是1448801024平方厘米．10.某高中根据入学考试成绩确定了录取分数线，录取了四分之一的考生．所有被录取者的成绩平均分比录取分数线高10分，所有没有被录取的平均分比录取分数线低26分，所有考生的平均成绩是70分．那么录取分数线是多少？【答案】87【考点】平均数问题【解析】假设一共有4人参加考试，则有1人录取，3人没有录取．设录取分数线为x分，则有110326470xx解得87x，录取分数线，是87分．11.设n是小于50的自然数，求使得3n+5和5n+4有大于1的公约数的所有n．【答案】7，20，33，46【考点】数论：因数倍数【解析】假设35,54nnm，35nam，54nbm．3555431525151253135313nnnnambmmab所以m是13的因数，且m大于1，m=13．则3513na，5413nb．543513132113nnbanba21n是13的倍数且n小于50，所以2113,39,65,91n时，n分别等于7，20，33，46．12.一次数学竞赛中，参赛各队每题的得分只有0分，3分和5分三种可能．比赛结束时，有三个队的总得分之和为32分．若任何一个队的总得分都可能达到32分，那么这三个队的总得分共有多少种不同的情况？【答案】255【考点】不定方程，计数【解析】设三队得3分的题共x道，得5分的题共y道，则有3532xy．解得：1）91xy；2）44xy．当三队得3分的题共9道，得5分的题共1道．三队的3分的题共9道，三队分配共有3129311155CC种；三队得5分的题共1道，三队分配共有3种．则这种情况共有553165种．当三队得3分的题共4道，得5分的题共4道．三队得3分的题共4道，三队分配共有312431615CC种；三队得5分的题共4道，三队分配共有312431615CC种，但是当一队得5分题数大于等于3个时，由于3个5分与5个3分的总分都是15分，所以会与1）中情况重复．比如一队的得分为15分，可以为5个3分得来，也可以由3个5分得来，这种情况重复．而一队得5分题数大于等于3个的情况分两类：①一队得5分题数等于4个，共3种情况；②一队得5分题数等于3个，共有326种．则与1）不重复的排法有15366种．则这种情况共有15690种．综上所述，共有16590255种．三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13.在等腰直角三角形ABC中，A90，ABAC1，矩形EHGF在三角形ABC内，且G，H在边BC上．求矩形EHGF的最大面积．【答案】14【考点】平面几何：直线型【解析】KDABCEFGH过A做BC的垂线，垂足为D，交EF于K令BHGCEHa此时2EHHGBC（和一定）当22EHHGa时，2EHHG最大，EHHG最大此时24BCaaaa，422ADaa，24224ABCSaaa△此时四边形EFGH的面积最大，21111222224EFGHABCSEHHGaaaS△14.用八个下图所示的21的长方形可以拼成一个44的正方形，若一个拼成的正方形图形经过旋转与另一个拼成的正方形图形相同，则认为两个拼成的正方形相同．问：有几种【答案】10【考点】构造与论证【解析】首先构造一个44的正方形（如下图）根据一条对角线是其对称轴可知：FFEEDDCCBBAA图中同样的字母小正方形代表它们是同类型的．以BCDE中叉的数量分类讨论：BCDE中有1个叉：，只有1种．BCDE中有2个叉：BCDE为时，有3种：BCDE为时，有2种：BCDE为时，有4种：BCDE为时，有4种：BCDE中有3个叉时无法构造，不存在．但是上述的1324414种图形中以下四个是两个对角线都是对称轴，不符合题意．综上所述符合题意共有14410种．