信号与系统第二章

第二章连续时间系统的时域分析连续时间系统一般是采用高阶微分方程进行描述。时域分析：指对系统的分析与计算全部在时间变量领域内进行，不通过任何变换。经典分析：求解系统模型（微分方程）卷积分析：利用单位冲激响应求得零状态响应两种方式输入-输出法（端口描述法）2.2系统数学模型（微分方程）的建立•元件约束特性：表征元件特性的关系式。•网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系，即KVL或KCL。电感电阻tvRtiR1d1tLvLti电容ttvCtiCdd根据KCLtitititiCLRS将元件关系代入，并化简ttitvLttvRttvCdd1dd1dds22二阶微分方程例2-2-1求并联电路的端电压与激励间的关系。tvtis解：以作变量，各元件的电压电流关系为：tvtisRRiLLiCciabtv)(tiR)(tiL)(tiC不同性质的系统可能具有相同的数学模型。对于复杂系统，可以用高阶微分方程描述。机械位移系统ttFtkvttvfttvmddddddS22msFfk二阶微分方程与刚体运动速度间的关系可由推导得到：tFStv)(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(dd)(d1111011110teEtteEtteEtteEtrCttrCttrCttrCmmmmmmnnnnnn若线性系统的激励信号为，响应为，其数学模型可用如下高阶微分方程来描述：)(te)(tr若系统为时不变的，则C、E均为常数，此方程为常系数的n阶线性常微分方程。2.3用时域经典法求解微分方程0)(d)(dd)(dd)(d11110trCttrCttrCttrCnnnnnn令，代入上式。由于，且对任意时间t均成立，因此有：tAetr)(0nC齐次解是齐次微分方程的解，是形式为的一些指数函数的线性组合。tAe01110nnnnCCCC特征方程对应的n个根为微分方程的特征根。n,,,21一、齐次解•若n个特征根各不相同，则微分方程的齐次解：tntthneAeAeAtr2121)(nitiieA1由初始条件决定。nAAA,,21•若有重根，如为阶重根，则相应于的重根部分将有项：1k1ktkiikitkkkketBeBtBtBtB11112211)(特征方程求出特征根齐次解0121672303223,221重根tthAAtAtr33221ee特征根齐次解的齐次解。求微分方程tetrtrttrttrt12dd16dd7dd2233例2-3：解：系统的特征方程二、特解特解的函数形式与激励函数形式有关。将激励代入微分方程的右端，化简后右端的表达式称为“自由项”。根据自由项的形式可设定特解的函数表达式，之后代入方程中，求出特解中的待定系数。)(te激励函数e(t)响应函数r(t)的特解)(常数E)(常数Bpt1121ppppBtBtBtBtetBetcostsintBtBsincos21tttpsinetttpcosetDtDtDtDtBtBtBtBtpppptppppsinecose11211121与几种典型激励函数对应的特解形式tettetrttrttrdd3dd2dd22已知：分别求方程的特解。,e2;12ttette例2-4给定微分方程3221pBtBtBtr为使等式两端,2,122tttte得到代入方程右端将平衡，特解表达式为：代入方程ttBBBtBBtB232234323212121解：根据等式两端对应幂次的系数相等，有032223413321211BBBBBB2710,92,31321BBB271092312ptttr为待定系数321,,BBB⑵，特解tttttBBBeee3e2e31BtrAtrnitip1ie代入方程tte31)(rp齐次解和特解相加即为方程的完全解tteetpBetr)(三、借助初始条件求待定系数对于n阶微分方程，若激励是时刻加入的，则求解区间为。一组边界条件可以给定为响应及其各阶导数在此区间内任一时刻处的值，即)(te0tt00t)(),(),(),(01102200trdtdtrdtdtrdtdtrnniA通常取，有00t)0(),0(),0(),0(1122rdtdrdtdrdtdrnn记为)1,,1,0()0(nkrk初始条件由trAtrnitip1ie借助初始条件，即可建立联立方程组，确定系数，从而获得惟一解。iA从系统的角度来看，是系统的完全响应，由两部分组成。特征方程的特征根被称为系统的“固有频率”,因此可以说齐次解的函数形式仅依赖于系统本身的特性，而与激励的函数形式无关，称为系统的自由响应或固有响应；特解的形式由激励信号确定，称为强迫响应。)(tr完全响应自由响应强迫响应解：⑴列写微分方程+-+-+-)(1tv)(2tv)(te1R2R1C2CF21F3111)0()2sin(6)(6)(7)(22222tttvdttdvdttvd⑵求齐次解特征方程0672特征根6,121齐次解tteAeA621例2-5如图所示电路，已知激励信号，初始时刻电容端电压均为零，求输出信号的表达式。)()2sin()(tutte)(2tv⑶查表可知特解+-+-+-)(1tv)(2tv)(te1R2R1C2CF21F3111例2-5如图所示电路，已知激励信号，初始时刻电容端电压均为零，求输出信号的表达式。)()2sin()(tutte)(2tv)2cos()2sin(21tBtB代入方程)0()2sin(6)(6)(7)(22222tttvdttdvdttvd求得5021,50321BB特解：)2cos(5021)2sin(503tt+-+-+-)(1tv)(2tv)(te1R2R1C2CF21F3111例2-5如图所示电路，已知激励信号，初始时刻电容端电压均为零，求输出信号的表达式。)()2sin()(tutte)(2tv⑷完全解)2cos(5021)2sin(503)(6212tteAeAtvtt确定初始条件0)0(2v电容无电流2,0)0(dtdv02536050212121AAAA25121A5032A)0()2cos(5021)2sin(5035032512)(2622ttBteAetvtt完全解=齐次解+特解(A待定）已定系数A的完全解—系统的完全响应应用元件电压电流关系、基尔霍夫定律列写微分方程将联立微分方程化为一元高阶微分方程经典法对连续时间系统进行时域分析齐次解(系数A待定）特解tAe初始条件为了区分跳变前后的状态，以“”表示激励信号接入之前的瞬时，以“”表示激励接入以后的瞬时。00相对应地，有两组状态：1122d0d,d0d,d0d,00nnktrtrtrrr1122d0d,d0d,d0d,00nnktrtrtrrr激励信号在时刻加入系统，响应的求解区间为。由于激励信号的作用，响应及其各阶导数有可能在时刻发生跳变。0tt00t)(te)(tr)1,,1,0(nk2.4起始点的跳变-从到状态转换00起始状态（状态）0初始条件（状态）0由于激励的影响，从到，相应的状态可能发生了变化，这两组状态值有可能是不一样的。0t0t“状态”包含了系统的全部过去信息，一般在题目中会给出。0如何根据已知的“状态”和激励信号来求得“状态”？00确切地说，响应的求解区间应该是从开始。因此，应使用“状态”作为初始条件来确定响应中的系数。00iA•一般情况下，换路期间电容两端的电压和流过电感中的电流不会发生突变，即00,00LLCCiivv•对于一个具体的电网络，系统的状态就是系统中储能元件的储能情况。0•当系统用微分方程表示时，系统从到状态有没有跳变取决于微分方程右端自由项中是否包含及其各阶导数项。00t•有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫作用于电感时，到状态会发生跳变。00系统内部储能的连续性解：根据KVL及元件特性，有+-+-)(teRC)(tvR例2-6RC一阶电路，无储能，起始电压和电流都为0。，求系统的响应。)()(tute0t)(tvRtRRtedRvCtv)()(1)(即dttdetvRCdttdvRR)()(1)(采用时域经典法，齐次解为RCtAe由于)()(tdttde在时为0，故特解为0。0t因此RCtRAetv)(+-+-)(teRC)(tvR例2-6RC一阶电路，无储能，起始电压和电流都为0。，求系统的响应。)()(tute0t)(tvR0)0(,0)0(CRvv1)0(Rv由RCtRAetv)(求得1A因此)0()(tetvRCtR0)0(Cvttrtrt33dd0,0rr求已知例：在中时刻有tr0ttu9t3方程右端含tttr3dd中必含ttr3中包含t方程右端不含ttrtttr939dd中的以平衡必含中的trtddt9根据微分方程左、右两端的各阶奇异函数应保持平衡来确定初始条件。900rr表示到的一个单位跳变。00)(tut012在中时刻有根据前面所推tr0ttu9900rr意味着如图所示：在和时都为常数，只在时刻有一个单位跳变，求导后即为。0t0t0tt)(tu可知由方程ttrtrt33dd项，方程右端含tttubtatuctbta333900brrtuctbtatrtdd令tubtatr则代入方程因此900rr03033bcaba2793cba与左端的最高阶项对应)(trdtd两边系数平衡相等dttdetvRCdttdvRR)()(1)(有)()(1)(ttvRCdttdvRR可知左端最高阶项中应包含dttdvR)(t意味着在0时刻发生了跳变，且跳变值为1。)(tvR因此11)0()0(RRvv+-+-)(teRC)(tvR将代入方程)()(tute解：根据KCL及元件关系，列写方程并化简例2-7并联电路,系统无储能，即，求。0)0()0()0(LCRiii)()(ttiS)(tiL)(11dd1dd22tLCtiLCttiRCttiLLL特征方程0112LCRC有两个不同的特征根21,齐次解tteAeA2121方程右端在时为0，因此特解为0。)(1tLC0tttLeAeAti2121)(tisRRiLLiCciabtv)(tiL)(tiC)(tiR)(11dd1d