含参变量无穷积分的一致收敛性

1含参变量无穷积分的一致收敛性论文摘要：本文通过含参变量无穷积分与函数级数之间的关系，归纳总结了含参变量无穷积分的一致收敛性的判别法(柯西一致收敛准则、魏尔斯特拉斯判别法、狄利克雷判别法等)及其性质.关键词：含参变量无穷积分一致收敛判别法无穷积分adxxf)(与级数1nnu的敛散概念、敛散判别法及其性质基本上是平行的，不难想到，含参变量无穷积分adxyxf),(与函数级数1nnxu之间亦应如此，为了讨论函数项级数的和函数的分析性质,我们在收敛区域I上提出了更高的要求,引进了一致收敛的概念,同样,在讨论含参变量无穷积分所确定的函数的分析性质时,一致收敛同样也起着重要的作用.因此,含参变量无穷积分的一致收敛性是《数学分析》中非常重要的知识点，也是学生不容易掌握的难点，从而,我试着类比、总结得出含参变量无穷积分的一致收敛性的判别法及其性质，以便使学生对此有一个更为系统和深刻的了解.1.含参变量无穷积分一致收敛的判别法我们很自然的可以想到运用定义来证明.定义设y区间I,无穷积分adxyxf,收敛,若0,0A(通用)0,0AA,有|(,)(,)Aaafxydxfxydx|=|(,)Afxydx|,则称无穷积分adxyxf,在区间I一致收敛.2用定义证明一致收敛的关键在于寻找只与有关的共同的0A，方法常常是采取适当放大的方法.例11证明：无穷积分dxyexy0在区间[a，+]（a0）一致收敛，而在（0，+）上非一致收敛.证明AyAytAxyedtexytdxyy令),,0(，对,0解不等式Aye，有yA1ln,取yA1ln0，则0AA，有Axydxye，因此，dxyeAxy在（0，+）是收敛的，但不能断定是一致收敛的，因为我们所找到的0A不仅跟有关，而且与),0(y有关.事实上，dxyeAxy在),0(y是非一致收敛的，只需取e21，,0A取),0(21,2''AyAAA，则01''''eedxeyyAxy，但dxyeAxy在),[a一致收敛（其中0a），由不等式：ya,有AyAaee,解不等式Aae,有1lnAa,于是取yA1ln0，0AA时，对一切,ay,有AaAyAxyeedxye，所以，dxyeAxy在),[ay（其中0a）一致收敛.3此题中，我们还可以计算出dxyexy0在),0(上的收敛值.事实上，对任意),0(y，都有yxyedxye10，所以,1)1(limlim0yxyedxye，即dxyexy0在（0，+）收敛于1.定理12（柯西一致收敛准则）无穷积分dxyxfa),(在区间I一致收敛,00A,01A0A与有,,02IyAA21),(AAdxyxf.定理23（魏尔斯特拉斯M判别法）若IyBxB,,0，有),(),(yxFyxf,且无穷积分dxyxFa,收敛，则无穷积分adxyxf,在区间I一致收敛.该定理是判别某些无穷积分一致收敛性的很简便的判别法，但这种方法有一定的局限性：凡能用定理2判别无穷积分是一致收敛，此无穷积分必然是绝对收敛；如果无穷积分时候一致收敛，同时又是条件收敛，那么就不能用定理2来判别。对于这种情况，我介绍如下定理：定理32若函数),(yxf在区间)0(),,(aIyxaD连续，且dtytfyxFxa),(),(在D有界，即,),(,0DyxC4有CdtytfyxFxa),(),(,则当0时，无穷积分dxxyxfa),(.在区间I一致收敛.例2证明：无穷积分dxxxexysin0在区间[),0一致收敛。证明只需注意：令tdteyxFxytsin),(1,)0,1(),(yxDyx有)(01)1(2),(2yeyyyxFy.类似于魏尔斯特拉斯M判别法有如下定理：定理44设dxyxga),(在区间I一致收敛，有存在0L,使当ax与Iy时，恒有),(),(yxLgyxf成立，且当a时，对任意),(,yxfIy均关于x在,a上可积，则dxyxga),(关于时y在I一致收敛且绝对收敛.例3设,1,0pa又存在0L，使当Iyax,时，恒有pxLyxf),(成立，且当a时，对任意),(,yxfIy均关于x在,a上可积，试证dxyxfa),(在区间I上一致收敛且绝对收敛.证明只需注意此时dxxap1收敛即可.关于含参量无穷积分一致收敛性与函数项级数一致收敛之间的联系有下述定理：定理53含参量无穷积分dxyxfa),(在区间I上一致收敛的充要条件5是：对任一趋于的递增数列nA（其中cA1），函数项级数)(),(111yudxyxfnnnAAnn在区间I上一致收敛.在知道无穷积分dxyxfa),(关于y在区间I上的收敛值y时，可应用下述定理：定理64dxyxfa),(关于y在区间I上一致收敛于y的充要条件是0:)(),(limIyydxyxfSupa.例4判断dxyxy0221关于y在)0(),,[cc上和),0(内的一致收敛性.解显然dxyxy0221关于y在),0(内收敛于2.cydxyxySup:21lim022=cyySup:arctan2lim=0)arctan2(limc，而0:21lim022ydxyxySup=0:arctan2limyySup=22lim.由定理6，得dxyxy0221关于y在),0[上一致收敛于2，在),0(内非一致收敛.6定理74dxyxfa),(关于y在区间I上一致收敛于)(y的充要条件是：对任意:n),2,1(:,limnIyynnnn，都有0)(),(limnannnydxyxf.例5试证dxyxy12)(关于y在),0(内非一致收敛.证明显然dxyxy12)(关于y在),0(内收敛于yy1.取),,2,1(,nnynnn则),,2,1)(,0(,limnynnn但是2121lim1lim1)(lim12nnnnnnnnnyyyydxyxyn由定理7,dxyxy12关于y在,0内非一致收敛.与函数项级数相应的判别法相仿，有3定理8（狄利克雷判别法）设（ⅰ）对一切实数0N，含参变量无穷积分Ncdxyxf,对参变量y在ba,上一致有界，即存在正数M，对一切cN及一切bay,，都有MdxyxfNc,；（ⅱ）对每一个bay,，函数yxg,关于x是单调递减且当x时，对7参变量y，yxg,一致地收敛于0,则含参变量无穷积分dxyxgyxfc,,在ba,上一致收敛.定理9（阿贝尔判别法）设（ⅰ）dxyxfc,在ba,上一致收敛;（ⅱ）对每一个bay,，函数yxg,为x的单调函数，且对参变量y，yxg,在ba,上一致有界,则含参变量无穷积分cdxyxgyxf,,在ba,上一致收敛.例6证明含参变量无穷积分dxxxexysin0在d,0上一致收敛.证明由于无穷积分dxxx0sin收敛，（当然，对于参变量y，它在d,0一致收敛），函数xyeyxg,对每一个dx,0单调，且对任何dy0，0x，都有1,xyeyxg，故由阿贝尔判别法即得含参变量无穷积分dxxxexy0sin在d,0上一致收敛.8定理104设对任意a，adxyxf,均关于y在c点左（或右）连续，但adxcxf,发散，则对任意0，adxyxf,关于),(ccy在）（或),(ccy在cc,（或cc,）内非一致收敛.推论设存在00，使yxf,在:,yx,ax0ccy或c0cy上连续，但adxcxf,发散，则对任意0，adxyxf,关于y在cc,或cc,内非一致收敛.证明对任意a，由已知及含参变量无穷积分的性质，adxyxf,都关于y在0c或0,cc上连续，当然在点左（或右）连续，再由已知及定理10，对任意0，adxyxf,关于y在cc,或cc,内非一致收敛.例7试证：对任意0，dxxx1cos关于在1,1内非一致收敛.证明由于xxcos在:,ax1,1x上连续，但dxxx1cos发散，由本推论，易得对任意0，dxxx1cos关于在1,1内非一致收敛.9定理114设adxyxf,关于y在dc,上收敛于y，y在dc,上连续，又yxf,在dycaxyx,:,上连续，且恒有0,或yxf成立，则adxyxf,关于y在区间dc,上一致收敛于y.例8试证esxxdxln关于s在,1上一致收敛于11s.证明显然esxxdxln关于s在,1上收敛于11s，11s在,1内连续，又xxsln1在1,:,sexyx上连续且恒正，由定理11得esxxdxln关于s在,1上一致收敛于11s.定理12设当ax和Iy时，恒有yxhyxgyxf,,,成立，且adxyxf,与adxyxh,均关于y在区间I上一致收敛于y，则adxyxg,关于y在区间I上一致收敛于y.证明对任意a和Iy，都有aaadxyxhdxyxgdxyf,,,.因此,不难得出结论.本定理与数列收敛的判别法中两边夹定理如出一辙，故我将其称之为两10边夹定理.2.含参变量无穷积分一致收敛的性质和函数项级数类似的，含参变量无穷积分也具有如下三条性质定理，故证明过程从略.定理13（连续性）若函数yxf,在区域yxaD,连续，且无穷积分adxyxfy,在区间,一致收敛，则函数y在区间,连续，且ayyayydxyxfdxyxf,lim,lim00.定理14（可微性）若函数yxf,与yxfy,在区域yxaD,连续，且无穷积分adxyxfy,在区间,收敛且无穷积分adxyxfy,在区间,一致收敛，则函数y在区间,可导，且aydxyxfy,，即aadxyxfydxyxfdyd,,.简称积分号下可微分.定理15（可积性）若函数yxf,与在区域yxaD,连续，且无穷积分adxyxfy,在区间,一致收敛，则函数y在区间