正余弦定理的综合应用

第一章解三角形第3课时正、余弦定理的综合应用[学习目标]1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．2.能够利用已知的数量和关系判断三角形的形状．[知识提炼·梳理]1．三角形内的角的函数关系在△ABC中，边a、b、c所对的角分别为A、B、C，则有：(1)sin(A＋B)＝_______，cos(A＋B)＝_______，(2)sinA＋B2＝______，cosA＋B2＝______．sinC－cosCcosC2sinC22．正弦定理及其变形(1)asinA＝bsinB＝csinC＝___．(2)a＝_________，b＝_________，c＝_________．3．余弦定理及其推论(1)a2＝__________________，cosA＝_________．2R2RsinA2RsinB2RsinCb2＋c2－2bccosAb2＋c2－a22bc(2)在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为_____，c2＞a2＋b2⇔C为钝角；c2＜a2＋b2⇔C为_____．直角锐角[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB．()(2)ab＋c＝23，则sinAsinB＋sinC＝23.()(3)a2b＝53，则sin2AsinB＝53.()(4)a2＋b2＋ab＝c2，则C＝π3.()答案：(1)√(2)√(3)×(4)×2．在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是()A．b＝20，A＝45°，C＝80°B．a＝30，c＝28，B＝60°C．a＝14，b＝16，A＝45°D．a＝12，c＝15，A＝120°解析：A：已知两角及类边三角形完全确定，故仅有一组解；B：已知两边及夹角，三角形也完全确定故仅有一组解；C：已知两边及一边的对角，由正弦定理：asinA＝bsinB，1422＝16sinB，sinB＝8214＝427，则B可以为锐角或钝角(因为a＞82且a＜16)；D：因角A＝120°，与大边对大角矛盾，故无解．答案：C3．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则sinA的值为()A.5719B.217C.338D．－5719解析：c＝42＋62－2×4×6×cos120°＝76.所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝876，所以sinA＝1－cos2A＝5719.答案：A4．已知△ABC中，cb＝cosCcosB，则此三角形为()A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形解析：由cb＝cosCcosB知cb＝a2＋b2－c22aba2＋c2－b22ac，化简得b＝c.答案：C5．在锐角ABC中，若a＝2，b＝3，则边长c的取值范围是________．解析：由cosB＞0，得b2＜a2＋c2所以c2＞b2－a2＝5，c＞5，又由cosC＞0，得c2＜a2＋b2＝13所以c＜13，因此5＜c13.答案：(5，13)类型1余弦定理的应用[典例1]设x，x＋1，x＋2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围．解：由三角形任意两边和大于第三边可知：x＋x＋1＞x＋2，即x＞1，要使该三角形为钝角三角形，必须使长度为x＋2的边所对的角为钝角．即该角余弦为负数，由余弦定理得：x2＋（x＋1）2－（x＋2）22x（x＋1）＜0，即x2－2x－3＜0，解得－1＜x＜3，综上可得：1＜x＜3.归纳升华(1)已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，若值为正，则角为锐角；若值为负，则角为钝角．思路清晰，结果唯一．(2)若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解．[变式训练]△ABC中，若(sinA＋sinB＋sinC)(sinA＋sinB－sinC)＝sinAsinB，则C＝________．解析：由(sinA＋sinB＋sinC)·(sinA＋sinB－sinC)＝sinAsinB⇒(sinA＋sinB)2－sin2C＝sinAsinB⇒sin2A＋sin2B－sin2C＝－sinAsinB.由正弦定理sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R，代入上式得：a2＋b2－c2＝－ab，所以cosC＝a2＋b2－c22ab＝－12.因为0°＜C＜180°，所以∠C＝120°.答案：120°类型2正、余弦定理的综合应用(规范解答)[典例2](本题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA－2cosCcosB＝2c－ab.(1)求sinCsinA的值；(2)若cosB＝14，△ABC的周长为5，求b的长．[规范解答](1)由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC(其中R为△ABC外接圆半径)，所以cosA－2cosCcosB＝2c－ab＝2sinC－sinAsinB，(2分)点评：此处实现了边角关系的统一，是解此题的关键．所以sinBcosA－2sinBcosC＝2sinCcosB－sinAcosB，sinAcosB＋sinBcosA＝2sinBcosC＋2sinCcosB，所以sin(A＋B)＝2sin(B＋C)，又A＋B＋C＝π，所以sinC＝2sinA，所以sinCsinA＝2.(4分)点评：在解答过程中，若无法正确运用两角和的正弦公式及诱导公式，则无法推出sinA与sinC的关系，那么此题第(1)问最多得2分．(2)由(1)知sinCsinA＝2，由正弦定理得ca＝sinCsinA＝2，即c＝2a.(6分)点评：此处实现了边角关系的统一，是解此题的关键．又因为△ABC的周长为5，所以b＝5－3a.(8分)由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accosB.即(5－3a)2＝a2＋(2a)2－4a2×14，(10分)点评：在解答过程中，若没想到利用余弦定理列出此处的方程，就无法求出a，那么此题的第(2)问只能得4分．解得a＝1，a＝5(舍去)，(11分)所以b＝5－3×1＝2.(12分)归纳升华在解答应用正、余弦定理的综合性题目时，统一为“角”后，要注意正确利用三角恒等变换及诱导公式进行变形；统一为“边”后，要注意正确利用配方、因式分解等代数变换方法进行变形．[变式训练]在△ABC中，已知AB＝463，cosB＝66，AC边上的中线BD＝5，求sinA.解：设E为BC的中点，连接DE，则DE∥AB.且DE＝12AB＝263，设BE＝x.在△BDE中，利用余弦定理可得：BD2＝BE2＋ED2－2BE·EDcos∠BED，5＝x2＋83＋2×263×66x，解得x＝1，x＝－73(舍去)，故BC＝2，从而AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝283，即AC＝2213.又sinB＝306，故2sinA＝2213306，sinA＝7014.类型3正、余弦定理与平面向量的综合应用[典例3]在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，cosB＝35，且AB→·BC→＝－21.(1)求△ABC的面积；(2)若a＝7，求角C.(注：三角形面积公式S＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB)解：(1)因为AB→·BC→＝－21，所以BA→·BC→＝21.所以BA→·BC→＝BA→·BC→·cosB＝accosB＝21.所以ac＝35，因为cosB＝35，所以sinB＝45.所以S△ABC＝12acsinB＝12×35×45＝14.(2)因为ac＝35，a＝7，所以c＝5.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB＝32.所以b＝42.由正弦定理：csinC＝bsinB，所以sinC＝cbsinB＝542×45＝22.因为c＜b且B为锐角，所以C一定是锐角．所以C＝45°.归纳升华(1)“典例3”是一道向量与正、余弦定理的综合题，解题的关键是化去向量的“伪装”，找到三角形的边角关系．(2)向量数量积注意向量的方向．(3)利用余弦定理、正弦定理分别列方程，要有列方程组、解方程组的意识．[变式训练]△ABC的三角内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，设向量m＝(a＋b，sinC)，n＝(3a＋c，sinB－sinA)，若m∥n，则角B的大小为________．解析：因为m∥n，所以(a＋b)(sinB－sinA)－sinC(3a＋c)＝0，由正弦定理有(a＋b)(b－a)＝c(3a＋c)，即a2＋c2－b2＝－3ac，再由余弦定理，得cosB＝－32，因为B∈(0°，180°)，所以B＝150°.答案：150°1．判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊的三角形(如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等)．2．对于给出的条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么把它统一为角的关系．再利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代替恒等变形方法等进行转化、化简，从而得出结论．3．解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应根据具体情况引入未知数，运用方程思想来解决问题；解决平面向量与解三角形的交汇问题，应准确运用向量知识将其转化为解三角形问题，再利用正、余弦定理来求解．