公式法、错位相减法

1.公式法：①等差数列的前n项和公式：②等比数列的前n项和公式2、错位相减法求等比数列前n项和时，我们会用到此种方法！n即直接用求和公式，求数列的前n和S11()(1)22nnnaannSnad111(1)(1)(1)11nnnnaqSaaqaqqqq课题导入数列求和专题之公式法和错位相减法目标引领介绍求一个数列的前n项和的2种方法：1运用公式法2错位相减法例：若实数a,b满足：求：分析：通过观察，看出所求得数列实际上就是等比数列其首项为a，公比为ab，因此由题设求出a,b，再用等比数列前n项和公式求和22494620abab23210099aababab22(441)(961)0aabb解：由已知有1.3b1解得a=，222(31)0b即：（2a-1）23210099aababab1001()1aabab100111()2611610031(1).56引导探究1例求和：1+(1/a)+(1/a2)+……+(1/an)解：∵1，1/a,1/a2……1/an是首项为1，公比为1/a的等比数列，∴原式=原因：上述解法错误在于，当公比1/a=1即a=1时，前n项和公式不再成立。111111naa111nnnaaa引导探究1例求和：1+(1/a)+(1/a2)+……+(1/an)解：当a=1时，S当a1时，111111naSa1n；111nnnaaa1111nnnSaaan+1，a=1aS引导探究1在求等比数列前n项和时，要特别注意公比q是否为1。当q不确定时要对q分q=1和q≠1两种情况讨论求解。对策：例、求和Sn=1+2x+3x2+……+nxn-1(x≠0,1)[分析]这是一个等差数列{n}与一个等比数列{xn-1}的对应相乘构成的新数列，这样的数列求和该如何求呢？Sn=1+2x+3x2+……+nxn-1①xSn=x+2x2+……+(n-1)xn-1+nxn②(1-x)Sn=1+x+x2+……+xn-1-nxnn项这时等式的右边是一个等比数列的前n项和与一个式子的和，这样我们就可以化简求值。相减引导探究2例、求和Sn=1+2x+3x2++nxn-1(x≠0,1)解：∵Sn=1+2x+3x2++nxn-1∴xSn=x+2x2++(n-1)xn-1+nxn∴①-②，得：(1-x)Sn=1+x+x2++xn-1-nxn∴Sn=1-(1+n)xn+nxn+1(1-x)21-xn1-x=-nxn………………引导探究2变式训练：求和Sn=1/2+3/4+5/8+……+(2n-1)/2n答案：Sn=3-2n+32n求和Sn=1/2+3/4+5/8+……+(2n-1)/2n111113523214822nnnnn1解：设S=12111132321822nnnnn11S=124相减得，111122221822nnnn111S=1224111122221422nnnn1S=12111212422nnn1=121111212221212nnn=1232nn=3目标再现数列求和的一般步骤：•等差、等比数列直接应用求和公式求和。•非等差、等比的数列，通过通项化归的思想设法转化为等差、等比数列，常用方法有错位相减法，还有我们以前讲过的裂项相消法，这些需要同学们自己加以总结归纳，形成自己的一套解题思路.1111(1).147[(32)]2482nnSn221(2)1(1)(1)(1)nnSaaaaaa23(3).230nnSxxxnxx114313212114nnSn当堂诊学1111(1).147[(32)]2482nnSnnnnnS21121232221(2)1(1)(1)(1)nnSaaaaaa,12,1nnSan时当.111,12aaaanSann时当23(3).230nnSxxxnxx,12,1nnSxn时当.111,112xnxxxxSxnnn时当114313212114nnSn1nnSn•某国采用养老储备金制度。公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d0），因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利。这就是说，如果固定年利率为r（r0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1（1＋r）n－1，第二年所交纳的储备金就变为a2（1＋r）n－2，……，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额。•（Ⅰ）写出Tn与Tn-1（n≥2）的递推关系式；•（Ⅱ）求证：Tn＝An＋Bn，其中｛An｝是一个等比数列，｛Bn｝是一个等差数列。