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无师自通核心讲义严禁复制11.均值不等式法例1设.)1(3221+++⋅+⋅=nnSn!求证.2)1(2)1(2++nSnnn例2已知函数bxaxf211)(⋅+=，若54)1(=f，且)(xf在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121)()2()1(1−+++++nnnfff!例3求证),1(221321NnnnCCCCnnnnnn∈⋅++++−!.例4已知222121naaa+++=L，222121nxxx+++=L，求证：nnxaxaxa+++!2211≤1.2．利用有用结论例5求证.12)1211()511)(311)(11(+−++++nn!例6已知函数.2,,10,)1(321lg)(≥∈≤⋅+−++++=∗nNnannanxfxxxx给定!求证：)0)((2)2(≠xxfxf对任意∗∈Nn且2≥n恒成立。例7已知112111,(1).2nnnaaann+==+++)(I用数学归纳法证明2(2)nan≥≥；)(II对ln(1)xx+对0x都成立，证明2nae（无理数2.71828e≈L）例8已知不等式21111[log],,2232nnNnn∗+++∈L。2[log]n表示不超过n2log的最大整数。设正数数列}{na满足：.2,),0(111≥+≤=−−nannaabbannn求证.3,][log222≥+nnbban再如：设函数()xfxex=−。（Ⅰ）求函数()fx最小值；（Ⅱ）求证：对于任意nN∗∈，有1().1nnkkene=−∑例9设nnna)11(+=，求证：数列}{na单调递增且.4na3.部分放缩例10设++=ana21111,23aaan++≥L,求证：.2na无师自通核心讲义严禁复制2例11设数列{}na满足()++∈+−=Nnnaaannn121，当31≥a时证明对所有,1≥n有：2)(+≥nain；21111111)(21≤++++++naaaii!.4.添减项放缩例12设Nnn∈,1，求证)2)(1(8)32(++nnn.例13设数列}{na满足).,2,1(1,211!=+==+naaaannn证明12+nan对一切正整数n成立；5利用单调性放缩:构造函数例14已知函数223)(xaxxf−=的最大值不大于61，又当]21,41[∈x时.81)(≥xf（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）设∗+∈=Nnafaann),(,21011，证明.11+nan例15数列{}nx由下列条件确定：01=ax，,211⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=+nnnxaxxNn∈．（I）证明：对2≥n总有axn≥；(II)证明：对2≥n总有1+≥nnxx6.换元放缩例16求证).2,(1211≥∈−+∗nNnnnn例17设1a，Nnn∈≥,2，求证4)1(22−anan.7转化为加强命题放缩例18设10a，定义aaaaann+=+=+1,111，求证：对一切正整数n有.1na例19数列{}nx满足.,212211nxxxxnnn+==+证明.10012001x例20已知数列｛an｝满足：a1＝32，且an＝n1n13nan2nN2an1∗≥∈－－（，）＋－（1）求数列｛an｝的通项公式；（2）证明：对一切正整数n有a1•a2•……an2•n！无师自通核心讲义严禁复制38.分项讨论例21已知数列}{na的前n项和nS满足.1,)1(2≥−+=naSnnn（Ⅰ）写出数列}{na的前3项321,,aaa；（Ⅱ）求数列}{na的通项公式；（Ⅲ）证明：对任意的整数4m，有8711154+++maaa!.9.借助数学归纳法例22（Ⅰ）设函数)10()1(log)1(log)(22−−+=xxxxxxf，求)(xf的最小值；（Ⅱ）设正数npppp2321,,,,!满足12321=++++npppp!，求证：nppppppppnn−≥++++222323222121loglogloglog!10.构造辅助函数法例23已知()fx=2ln243xx+−,数列{}na满足()()*112,0211Nnafanan∈=−++（1）求()fx在⎥⎦⎤⎢⎣⎡−021，上的最大值和最小值;（2）证明：102na−;（3）判断na与1()nanN∗+∈的大小，并说明理由.例24已知数列{}na的首项135a=，1321nnnaaa+=+，12n=L，，．（Ⅰ）求{}na的通项公式；（Ⅱ）证明：对任意的0x，21121(1)3nnaxxx⎛⎞−−⎜⎟++⎝⎠≥，12n=L，，；（Ⅲ）证明：2121nnaaan++++L．例25已知函数f(x)=x2-1(x0)，设曲线y=f(x)在点（xn,f(xn)）处的切线与x轴的交点为（xn+1,0）(n∈N*).(Ⅰ)用xn表示xn+1；（Ⅱ）求使不等式1nnxx+≤对一切正整数n都成立的充要条件，并说明理由；（Ⅲ）若x1=2，求证：.31211111121−≤++++++nnxxx!例1解析此数列的通项为.,,2,1,)1(nkkkak!=+=2121)1(+=+++kkkkkk∵，无师自通核心讲义严禁复制4)21(11∑∑==+∴nknnkkSk，即.2)1(22)1(2)1(2++++nnnnSnnn注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式2baab+≤，若放成1)1(++kkk则得2)1(2)3)(1()1(21+++=+∑=nnnkSnkn，就放过“度”了！②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里naanaaaaaannnnnn22111111++≤++≤≤++!!!!，其中，3,2=n等的各式及其变式公式均可供选用。例2[简析]411()11(0)141422xxxxfxx==−−≠++•1(1)()(1)22ffn⇒++−×L211(1)(1)2222n+−++−××L1111111(1).42222nnnn−+=−+++=+−L例3简析不等式左边123nnnnnCCCC++++L=12222112−++++=−nn!nnn122221−⋅⋅⋅⋅⋅!=212−⋅nn，故原结论成立.例4【解析】使用均值不等式即可：因为22(,)2xyxyxyR+≤∈，所以有22222211221122222nnnnaxaxaxaxaxax++++++≤+++LL2222221212111.2222nnaaaxxx++++++=+=+=LL其实，上述证明完全可以改述成求nnxaxaxa+++!2211的最大值。本题还可以推广为：若22212npaaa+++=L，22212(,0)nqpqxxx+++=L，试求nnxaxaxa+++!2211的最大值。请分析下述求法：因为22(,)2xyxyxyR+≤∈，所以有22222211221122222nnnnaxaxaxaxaxax++++++≤+++LL2222221212.222nnaaaxxxpq+++++++=+=LL故nnxaxaxa+++!2211的最大值为2pq+，且此时有(1,2,,)kkaxkn==L。上述解题过程貌似完美，其实细细推敲，是大有问题的：取“＝”的条件是(1,2,,)kkaxkn==L，即必须有2211nnkkkkax===∑∑，即只有p=q时才成立！那么，pq≠呢？其实例6的方法照样可用，只需做稍稍变形转化：22222212122222221,1,()()()()()()nnpppqqqaxaaxx+++=+++=LL无师自通核心讲义严禁复制5则有11221122nnnnaxaxaxaxaxaxpqpq++++++=LL2222221212222222[()()]2()()()()()()nnpqpqpppqqqaxaaxx≤+++++++=LL于是，1122max()nnaxaxaxpq+++=L，当且仅当(1,2,,).kkaxknpq==L结合其结构特征，还可构造向量求解：设1212(,,,),(,,,)nnmaaanxxx==urrLL，则由||||||mnmn⋅≤urrurr立刻得解：22222211221212||.nnnnaxaxaxaaaxxxpq+++≤++++++=LLL且取“＝”的充要条件是：1212nnxxxaaa==L。2．利用有用结论例5简析本题可以利用的有用结论主要有：法1利用假分数的一个性质)0,0(++mabmambab可得−⋅⋅122563412nn!=+⋅⋅nn212674523!)12(212654321+⋅−⋅⋅nnn!⇒12)122563412(2+−⋅⋅nnn!即.12)1211()511)(311)(11(+−++++nn!法2利用贝努利不等式)0,1,2,(1)1(≠−≥∈++∗xxnNnnxxn的一个特例12121)1211(2−⋅+−+kk(此处)得121,2−==kxn，=−+∏⇒−+−+=)1211(121212111kkkknk.1212121+=−+∏=nkknk例6[简析]高考标准用数学归纳法证明，；这里给出运用柯西（Cauchy）不等式∑∑∑===≤niiniiniiibaba121221])([的简捷证法：⇔)(2)2(xfxf⋅+−++++nnanxxxx2222)1(321lg!nnanxxxx⋅+−++++)1(321lg2!2])1(321[xxxxnan⋅+−++++⇔!])1(321[2222xxxxnann⋅+−++++•!而由Cauchy不等式得2))1(1312111(xxxxnan⋅+−⋅++⋅+⋅+⋅!•++)11(22!])1(321[22222xxxxnan⋅+−++++!(0=x时取等号)≤])1(321[2222xxxxnann⋅+−++++•!（10≤a∵），得证！例7[解析])(II结合第)(I问结论及所给题设条件ln(1)xx+（0x）的结构特征，可得放缩思路：⇒+++≤+nnnanna)2111(211211lnln(1)ln2nnnaann+≤++++nnnna211ln2+++≤。于是nnnnnaa211lnln21++≤−+，无师自通核心讲义严禁复制6.22112211)21(111lnln)211()ln(ln11211111−−=−−+−≤−⇒++≤−−−=+−=∑∑nnniniiininnaaiiaa即.2lnln21eaaann⇒−【注】：题目所给条件ln(1)xx+（0x）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论)2)(1(2≥−nnnn来放缩：⇒−+−+≤+)1(1))1(11(1nnannann111(1)(1)(1)nnaann++≤++−111ln(1)ln(1)ln(1).(1)(1)nnaannnn+⇒+−+≤+−−111)1ln()1ln()1(1)]1ln()1ln([212112−+−+⇒−+−+⇒∑∑−=+−=naaiiaanniiini，即.133ln1)1ln(2eeaann−⇒++例8【简析】当2≥n时naaanaannaannnnnnn11111111+=+≥⇒+≤−−−−−，即naann1111≥−−.1)11(212kaankkknk∑∑=−=≥−⇒于是当3≥n时有⇒−][log211121naan.][log222nbban+注：本题涉及的和式n13121+++!为调和级数，是发散的，不能求和；但是可以利用所给题设结论][log21131212nn+++!来进行有效地放缩；再如：【解析】（Ⅰ）1；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得1xex≥+，对x－1有(1)nnxxe+≤，利用此结论进行巧妙赋值：取1,1,2,,kxknn=−=L，则有121011()1211111()()()()()()()11111nnnnnnneennneeeeeee−−−+++≤++++==−−−LL即对于任意nN∗∈，有1().1nnkkene=−∑例9[