多元函数的极限与连续

第七章多元函数微分学及其应用§1多元函数的极限与连续I基本概念与主要结果一平面点集与多元函数1平面点集（1）邻域坐标平面上满足某种条件P的点的集合，称为平面点集．并记作()(){}Pyxyx满足条件,,=ε．特别地定义1平面点集()()(){}22020,δ−+−yyxxyx和(){}δδ−−00,,yyxxyx分别称为以为中心的(00,yxA)δ圆邻域与δ方邻域，通常均记为()δ,AU，这里0δ，称()()(){}220200,δ−+−yyxxyx与()()(){}0000,,,,,yxyxyyxxyx≠−−δδ分别为点A的去心圆邻域与去心方邻域，记为()δ,0AU．注1理解圆邻域与方邻域的关系，并注意在解题中的灵活应用；注2去心邻域的表示法，尤其是A的δ去心邻域．（2）几类特殊点设点集2RE⊂，点2RP∈．01内点：若0∃δ，使得，则称点P为E的内点；EPU⊂)(02外点：若0∃δ，使得Φ=EPU∩)(，则称P为E的外点；03界点：若0∀δ，有，则称点P为E的界点；Φ≠Φ≠cEPUEPU∩∩)(,)(04聚点：若0∀δ，有，则称点P为E的聚点．Φ≠EPU∩),(0δ2RP∈，2RE⊂为一子集，则P与E之间必有下列三种关系之一：A是E的；或⎪⎩⎪⎨⎧;,,外点界点内点A是E的⎪⎩⎪⎨⎧.,,外点孤立点聚点注聚点的等价定义：i）若点P的任一邻域均含有E中无穷多个点，则称点P为E的聚点；ii）若E存在中一彼此互异的点列{}np，使得)(∞→→nPPn，则称点P为E的聚点．（3）几类特殊点集开集：若E中任一点都是E内点，则称E为开集，即EEint=．闭集：若E的所有聚点都属于E，则称E为闭集，或等价地：若cE是开集，则称E为闭集．注1有限点集一定是闭集，无聚点的点集一定是闭集；注2开集一定是无限集．思考题1是否存在既开又闭的集合？在实数空间中有几个这样的集合？思考题2证明闭集的两个等价定义．连通性：若E中任意两点都可用完全含于E中E的有限条折线连接起来，则称E具有连通性．开（区）域：具有连通性的非空开集．闭（区）域：开域连同其边界所成的点集．区域：开域、闭域或开域连同其一部分界点所成的点集，统称为区域．有界集：若()rOU,∃，使()rOUE,⊂，则称E为有界集；否则称为无界集．其中O表示坐标原点．性质称()()21,,sup21PPDdDPPρ∈=为的直径，则有界DD⇔()+∞Dd．2R2上的完备性定理定义2设{}nP2R⊂为平面点列，为一固定点．若20RP∈0∀ε，0∃N，，有Nn∀()ε,0PUPn∈，则称点列{收敛于点，记作}nP0P0limPPnn=∞→或（0PPn→∞→n）（1）注点列收敛的坐标表示：设，，则（1）式等价于：()nnnyxP,(000,yxP)0PPn→（）∞→n⇔00,yyxxnn→→（∞→n）．定理1（柯西准则）点列{收敛的充要条件是：}nP0∀ε，0∃N，Nn∀，，有+∈∀Zp()ερ+pnnPP,．定理2（闭域套定理）设{是}nD2R中的闭域列，它满足：（1），；1+⊃nnDD,2,1=n（2），()0lim=∞→nnDd则存在唯一的点nDP∈0，．,3,2,1=n定理3（聚点定理）设2RE⊂为有界无限点集，则E在2R中至少有一个聚点．推论（致密性定理）有界无限点列{}nP必存在收敛子列定理4（有限覆盖定理）设2RD⊂为一有界闭域，{}αΔ为一开域族，它覆盖了，则在中必存在有限个域D{αΔ}nΔΔΔ,,,21，它们同样覆盖了．D3多元函数定义3设nRD⊂，．若按某种对应法则，使得中每一点都有唯一确定的实数与之对应，则称为定义在上的n元函数，记作：Φ≠DfDPzfD,,:zPRDf→或()DPPfz∈=,，称为的定义域，为值域，通常记为Df()Df()Pfz=（有时称之为点函数）．若记，则元函数可记为()nxxxPP,,,21=n()nxxxfz,,,21=．特别地，当时，常记为，2=n()yxfz,=()Dyx∈,，称之为二元函数．要求：会求多元函数的定义域，会画定义域草图和某些简单二元函数的图象．二多元函数的极限（以二元函数为例）及其性质1定义定义4设为定义在f2RD⊂上的二元函数，为的一个聚点，0PDA是一个确定的数，若0∀ε，0∃δ，使得当()DPUP∩δ,00∈时，都有()ε−APf，则称在上当时，以fD0PP→A为极限，记作()APfDPPP=∈→0lim．当DP∈不致产生误会时，简记为()APfPP=→0lim．当，分别采用坐标()，0PP00,yx()yx,表示时，则有()()()Ayxfyxyx=→,lim00,,，或()Ayxfyyxx=→→,lim00．注函数极限是否存在与定义域有很大关系．定义5设为二元函数的定义域，为的聚点．若Df0PD0∀M，0∃δ，使得当DPUP∩),(0δ∈时，有，则称在上当时存在非正常极限，记作：()MPffD0PP→∞+()+∞=∈→PfDPPP0lim．类似可定义，()−∞=→PfPP0lim∞．定义6（累次极限）设，，，分别是与的聚点，二元函数在集合=上有定义．若xEREy⊂0x0yxEyEfDxE×yEyEy∈∀，0yy≠，极限()yxfxExxx,lim0∈→存在，记作()yϕ，即()()yyxfxExxxϕ=∈→,lim0且()LyyEyyy=∈→ϕ0lim，则称L为二元函数先对fx（）后对（）的累次极限．记作0xx→y0yy→()LyxfxyExxxEyyy=∈→∈→,limlim00．类似可定义先后yx的累次极限．定义5所定义的极限称为重极限．2性质定理5()DEAPfDPPP⊂∀⇔=∈→0lim，只要是0PE的聚点，就有．()APfEPPP=∈→0lim推论1设，是的聚点，若DE⊂10P1E()APfEPPP=∈→10lim不存在，则不存在．()PfDPPP∈→0lim推论2设，，是它们的聚点．若极限DE⊂1DE⊂20P()110limAPfEPPP=∈→，()220limAPfEPPP=∈→，且，则不存在．21AA≠()PfDPPP∈→0lim推论3()PfDPPP∈→0lim存在{}DPn⊂∀⇔，0PPn≠，（），都收敛．0PPn→∞→n(){}nPf定理6若在存在重极限(yxf,))(00,yx()()()yxfyxyx,lim00,,→与累次极限(yxfyyxx,limlim00→→))，则它们必相等．推论1若两个累次极限与重极限都存在，则三者必相等．推论2若两个累次极限存在，但不相等，则重极限必不存在．推论3若存在，且(yxfyxyx,lim),(),(00→()yxfxx,lim0→存在，则存在且(yxfxxyy,limlim00→→)()PfPP0lim→=()yxfxxyy,limlim00→→．几点说明：（1）重极限是否存在与函数定义域有很大关系，如函数D()⎩⎨⎧+∞∞−=,,0,,0,1,2其余部分xxyyxf当{}+∞−∞=xxyyxD,0).(2时，1),(lim)0,0(),(=→yxfyx，而在的余集上，却有DcD0),(lim)0,0(),(=→yxfyx．（2）若，且在每个上极限存在且相等，则在上极限也成立，且相等．当为无限时结论不再成立．kEEED∪∪∪21=iEDk（3）的方式是任意的，即使沿任何射线趋于时，极限存在且相等，也不能保证重极限存在．如上例，当0PP→0PP沿kxy=趋于()0,0时极限均为0，但当P沿（）趋于时，极限为1，从而极限不存在．2kxy=10k)0,0(（4）两个累次极限存在，但不相等．如()yxyxyxf+−=,在()0,0点．此时重极限一定不存在．（5）两个累次极限都存在且相等，但重极限不存在，如()22,yxxyyxf+=在点．(0,0)（6）重极限存在，但两个累次极限都不存在．如()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=,0,,0,0,1sin1sin,xyxyxyyxyxf在点．(0,0)（7）重极限存在，某一个累次极限存在，另一个累次极限不存在．如()⎪⎩⎪⎨⎧∈≠=,,0,,0,1sin,其它Rxyyxyxf在点．(0,0)（8）重极限与累次极限都不存在，如()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,1sin1sin,xyxyyxyxf在点．(0,0)（9）多元函数极限与一元函数极限具有完全类似的性质，如局部有界性、保序性和四则运算、复合运算等三二元函数的连续性1定义定义7设为定义在点集f2RD⊂上的二元函数，DP∈0．若0∀ε，0∃δ，()DPUP∩δ,0∈∀，有()()ε−0PfPf，则称关于集合在点连续．fD0P若在上任何点关于连续，则称为上连续函数．fDDfD注1注意极限与连续定义的差别：在极限定义中，要求是聚点，连续则不要求；但连续要求，而极限不要求．0PDP∈0注2孤立点一定是连续点，从而连续点未必存在极限，这是与一元函数不同之处．注3若是聚点，则在连续0P()Pf0P⇔()()00limPfPfDPPP=∈→．注4若是的聚点，而0PD∈D()PfPP0lim→不存在，或()PfPP0lim→存在但不等于，称是的不连续点．()0Pf0P)(Pf定义8设()000,yxp，()yxp,D∈，0xxx−=Δ，0yyy−=Δ，称()()()()(00000000,,,,,yxfyyxxfyxfyxfyxfz)−Δ+Δ+=−=Δ=Δ为函数在点的全增量；称f0P()()()000000,,,yxfyxxfyxfx−Δ+=Δ，()()()000000,,,yxfyyxfyxfy−Δ+=Δ，分别为关于fx与y的偏增量．注1在连续()Pf0P⇔()()()0lim,0,0,=Δ∈→ΔΔzDyxyx．注2全增量一般情形下不等于偏增量之和．注3在点连续，则一元函数(yxf,))(00,yx()0,yxf和()yxf,0分别在点与点都连续，但反之不真．例如0xx=0yy=()⎩⎨⎧=≠=,0,0,0,1,xyxyyxf在原点处显然不连续，但()()0,00,≡=yfxf，因此对fx与均连续．y定理7（复合函数的连续性）设函数()yxu,ϕ=，()yxv,ψ=在()δ,0PU有定义，且在点连续，函数在平面上点0P()vuf,uv()00,vuQ某邻域有定义，且在连续，其中0Q()00Puϕ=，(00Pv)ψ=，则复合函数()()()[]yxyxfyxg,,,,ψϕ=在()00,yx连续．2连续函数的性质定理8（有界性与最大、最小值定理）若函数在有界闭域)(Pf2RD⊂上连续，则在D上有界，且能取到最大值与最小值．)(Pf定理9（一致连续性）若函数在有界闭域)(Pf2RD⊂上连续，则在D上一致连续．)(Pf定理10（介值性）设函数在区域)(Pf2RD⊂上连续，若，且，则对任何满足不等式DPP∈21,)()(21PfPf)()(21PfuPf的实数u，必存在，使得DP∈0uPf=)(0．注在这些性质的证明中，有的完全类似于一元函数，有的化为一元函数来证明，特别要注意后一种方法的应用．II曲型例题选讲一多元函数的极限问题例1（浙江大学2001）设二元函数在点的附近有定义．试讨论重极限与累次极限之间的关系．),(yxf),(000yxP),(lim00yxfyyxx→→),(limlim00yxfyyxx→→解二重极限与累次极限之间没有必然的关系，这是因为（1）重极限存在，累次极限未必存在，如函数),(lim00yxfyyxx→→),(limlim00yxfyyxx→→()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=,0,,0,0,1sin1sin,xyxyxyyxyxf在原点的重极限存在且等于0，但累次极限不存在．)0,0(),(limlim00yxfyyxx→→（2）累次极限存在，重极限未必存在，如函数),(limlim00yxfyyxx→→),(lim00yxfyyxx→→()22,yxxyyxf+=，在原点累次极限存在，但重极限不存在．(0,0)但若和都存在，则必相等．),(lim00yxfyyxx→→),(limlim00