分式的恒等变形

第二讲：分式的恒等变形page1of12第二讲分式的恒等变形【专题知识点概述】分式的恒等变形是代数式恒等变形的一种。它以整式恒等变形为基础，并结合分式自身的特点，因此更具有独特的复杂性和技巧性，在数学竞赛中常常出现有关这方面的命题。分式的恒等变形涉及到的主要内容有：分式性质、概念的灵活应用，分式的各种运算、化简、求值及恒等证明等等。一：基本知识1.分式的运算规律（1）加减法：)(同分母cbacbca)(异分母bcbdaccdba（2）乘法：bdacdcba（3）除法：bcaddcba（4）乘方：nnnbaba)(2.分式的基本性质（1）)0(,mmbmababmamba（2）分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。3.比例的重要性质（1）如果efbaefcdcdba那么,（传递性）（2）如果bdaccdba那么（内项积等于外项积）（3）如果)(合比性质那么cdcbbadcba（4）如果)()0(,合分比性质那么dbdbcacadbdcba（5）如果,0,ndbnmdcba且那么)(等比性质bandbmca第二讲：分式的恒等变形page2of124.倒数性质（1）如果两个数互为倒数，那么这两个数的乘积为1。（2）如果两个数互为倒数，那么这两个数的同次幂仍互为倒数。（3）如果两个正数互为倒数，那么这两个正数的和不小于2。二、有关分式的运算求值问题乘法公式是进行整式恒等变形的常用的重要的工具，我们通过下面的例题来说明在整式的恒等变形中，如何灵活巧妙的运用乘法公式。例1.若a、b、c均为非零常数，且满足acbabcbaccba，又abcaccbbax))()((，且0x,求x的值。例2.已知的值求yxyxyxyxyx2232,311第二讲：分式的恒等变形page3of12例3.已知三个正数a、b、c满足abc=1,求111caccbbcbaaba的值例4.已知0222cabcbacbabca求222222)()()(cabcbacbabca的值。例5.已知,0,1zcybxaczbyax求222222czbyax的值。第二讲：分式的恒等变形page4of12例6.已知x+y+z=3a(0a,且x、y、z不全相等)，求222)()()())(())(())((azayaxaxazazayayax的值。例7.已知1222222222222abcbacabacbcacb，n是自然数，求122221222212222)2()2()2(nnnabcbacabacbcacb的值。例8.的值求若221,123xxxax。第二讲：分式的恒等变形page5of12例9.已知4112xxx，试求分式1242xxx的值。例10.已知三个不全为零的数x、y、z满足0634zyx，072zyx。求22222275632zyxzyx的值。例11.若x、y、z为有理数，且222)()()(yxxzzy222)2()2()2(zyxyxzxzy求)1)(1)(1()1)(1)(1(222zyxxyzxyz的值第二讲：分式的恒等变形page6of12例12.已知a、b、c互不相等，且满足a+b+c=0,求abccacbbbcaa222222222的值。例13.已知baabxbababa4,0,0,0,，求bxbxaxax2222的值。例14.若acbabcbaccba，求abccbcaba))()((的值。第二讲：分式的恒等变形page7of12例15.如果的值求都是整数，且qpqppqqpqp,1,112,12,,。三、有关分式的化简问题例16.化简))()(())()((accbbaaccbbaacaccbcbbaba。例17.化简3221311]1111[)1(222222xxxxxxxxxxxxxx。第二讲：分式的恒等变形page8of12例18.化简))(())(()(211213212132112nnnxxxxxxxxxxxxxxxxx例19.已知222)(cbaba，并且0b，化简2222)()(cbbcaa。例20.若02nmmnx，化简maxnmxax2。第二讲：分式的恒等变形page9of12例21.化简：)2)(2())(()2)(2())(()2)(2())((zyxxzyzyzxxyzzyxyxyzzyxzyxxzxy三、有关分式的证明问题例22.若00cbabacacbcba且，求证：0222222babaabacaccacbcbbc例23.已知有理数a、b、c满足a+b+c=0，abc=8.试判断cba111是正数、负数、还是零。第二讲：分式的恒等变形page10of12例24.已知有理数a、b、c满足cbacba1111，求证：accbba或或。例25.若n为自然数，且cbacba1111，求证：1212121212121111nnnnnncbacba例26.证明：对于任意自然数n，分数314421nn不可约。第二讲：分式的恒等变形page11of12例27.已知00都不等于、、，且cbacba,求证：03)11()11()11(baccabcba。例28.证明：])1([1])1(][)2([1)2)((1)(1dnaandnadnadadadaa例29.设n为正整数，求证：21)12)(12(1531311nn。第二讲：分式的恒等变形page12of12例30.若,0,0,0,0xzzyyxzyxyxzczxybzyxa,,，求证1111ccbbaa。例31.设a、b、c均为正数，且1cba，证明：9111cba。例32.求证accbbabcaccaabcbaccabacb222))(())(())((。例33.能否找出6个奇数，使其倒数之和为1.