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-1-第2课时数列的递推公式-2-第2课时数列的递推公式ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.知道递推公式是给出数列的一种形式.2.能够根据递推公式写出数列的前几项.-3-第2课时数列的递推公式ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航递推公式如果已知数列{an}的首项(或前几项),且任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可用一个公式来表示,那么这个公式叫做数列的递推公式.用递推公式给出数列的方法叫做递推法.名师点拨递推公式也是给出数列的一种重要方法,但并不是所有的数列都有递推公式.【做一做】已知在数列{an}中,a1=3,an+1=2an,则a3等于().A.3B.6C.12D.18解析:a2=2a1=6,a3=2a2=12.答案:C-4-第2课时数列的递推公式ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航通项公式与递推公式的异同剖析:如表所示.不同点相同点通项公式可根据某项的序号,直接用代入法求出该项都可确定一个数列,都可求出数列的任何一项递推公式可根据第1项或前几项的值,通过一次或多次赋值逐项求出数列的项,直至求出所需的项-5-第2课时数列的递推公式ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型一递推公式的应用【例1】已知数列{an}的第一项是1,以后各项由公式an-1=2an-2(n1)给出,写出这个数列的前5项.分析:先将递推公式变形为an=1+12𝑎𝑛−1,再根据递推公式写出数列的前几项.由a1=1及a2=1+12𝑎1求出a2,这一步是解题的关键,求a3,a4,a5与求a2类似.-6-第2课时数列的递推公式ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三解:∵an-1=2an-2(n1),∴an=1+12𝑎𝑛−1(n1).又a1=1,∴a2=1+12𝑎1=1+12×1=32,a3=1+12𝑎2=1+12×32=74,a4=1+12𝑎3=1+12×74=158,a5=1+12𝑎4=1+12×158=3116.∴这个数列的前5项是a1=1,a2=32,a3=74,a4=158,a5=3116.-7-第2课时数列的递推公式ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三反思根据递推公式写出数列的前几项,这类问题要弄清楚递推公式中各部分的关系,依次代入n的值计算即可.解答这类问题时还需注意:若已知首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式;若已知末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.-8-第2课时数列的递推公式ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三【变式训练1】已知数列{an}的第一项a1=1,以后的各项由公式an+1=2𝑎𝑛𝑎𝑛+2给出,试写出这个数列的前5项.解:∵a1=1,an+1=2𝑎𝑛𝑎𝑛+2,∴a2=2𝑎1𝑎1+2=23,a3=2𝑎2𝑎2+2=2×2323+2=12,a4=2𝑎3𝑎3+2=2×1212+2=25,a5=2𝑎4𝑎4+2=2×2525+2=13.故该数列的前5项分别为1,23,12,25,13.-9-第2课时数列的递推公式ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型二由递推公式写出通项公式【例2】已知数列{an}满足a1=1,an=an-1+1𝑛(𝑛-1)(n≥2),写出该数列前5项,并归纳出它的一个通项公式.分析:由首项及递推关系写出前5项,再观察前5项的规律,写出一个通项公式.-10-第2课时数列的递推公式ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三解:a1=1,a2=a1+12×1=1+12=32,a3=a2+13×2=32+16=53,a4=a3+14×3=53+112=74,a5=a4+15×4=74+120=95,故数列的前5项分别为1,32,53,74,95.由于1=2×1-11,32=2×2-12,53=2×3-13,74=2×4-14,95=2×5-15,故数列{an}的一个通项公式为an=2𝑛-1𝑛=2−1𝑛.-11-第2课时数列的递推公式ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三反思由递推公式写出通项公式的步骤:(1)先根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项);(2)根据写出的前几项,归纳总结其特点,并把每一项统一形式;(3)写出数列的一个通项公式.-12-第2课时数列的递推公式ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三【变式训练2】(1)已知在数列{an}中,a1=1,𝑎𝑛+1𝑎𝑛=12,则数列{an}的通项公式是().A.an=2nB.an=12𝑛C.an=12𝑛-1D.an=1𝑛2解析:∵a1=1,𝑎𝑛+1𝑎𝑛=12,∴a2=12𝑎1=12,a3=12𝑎2=14,a4=12𝑎3=18,a5=12𝑎4=116.∴an=12𝑛-1.答案:C-13-第2课时数列的递推公式ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三(2)在数列{an}中,已知a1=0,an+1=an+(2n-1),写出这个数列的前5项,并写出数列{an}的一个通项公式.解:∵a1=0,an+1=an+(2n-1),∴a2=a1+(2×1-1)=0+1=1,a3=a2+(2×2-1)=1+3=4,a4=a3+(2×3-1)=4+5=9,a5=a4+(2×4-1)=9+7=16.故该数列的一个通项公式是an=(n-1)2.-14-第2课时数列的递推公式ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型三易错辨析易错点:忽视函数单调性与数列单调性的关系致错【例3】已知在数列{an}中,an=n2-kn(n∈N*),且{an}单调递增,求实数k的取值范围.错解:∵y=x2-kx在𝑘2,+∞上单调递增,∴an=n2-kn在𝑘2,+∞上也单调递增.∴𝑘2≤1,即k≤2.∴k的取值范围为(-∞,2].-15-第2课时数列的递推公式ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三错因分析:函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别,即数列所对应的函数若单调,则数列一定单调.反之,若数列单调,其所对应的函数不一定单调,关键原因在于数列是一个定义域为正整数集N*(或N*的有限子集{1,2,3,…,n})的特殊函数.故对于数列的单调性的判断,一般要通过比较an+1与an的大小来断定.若an+1an,则数列{an}为递增数列;若an+1an,则数列{an}为递减数列.-16-第2课时数列的递推公式ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三正解:∵an+1=(n+1)2-k(n+1),an=n2-kn,∴an+1-an=(n+1)2-k(n+1)-n2+kn=2n+1-k.由于数列{an}单调递增,故应有an+1-an0,即2n+1-k0,n∈N*恒成立,得k2n+1,n∈N*恒成立.而2n+1≥3,故只需k3即可.∴k的取值范围为(-∞,3).