余弦函数的图像与性质-教学设计

1余弦函数的图像与性质【教学目标】1.能利用单位圆中的余弦线画出余弦函数的图像.2.能类比正弦函数图像与性质得出余弦函数的性质.3.能理解余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义.4.会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间.【知识梳理】问题1:余弦函数的图像的作法(1)平移法:余弦函数y=cosx的图像可以通过将正弦曲线y=sinx的图像向平移个单位长度得到(如图).(2)五点法:余弦曲线在[0,2π]上起作用的五个关键点分别为.问题2:余弦函数的定义域、值域和单调区间(1)定义域为;(2)值域为;(3)单调增区间为,减区间为.问题3:余弦函数的周期、奇偶性、对称轴和对称中心(1)周期T=;(2)偶函数;(3)对称轴为(4)对称中心为.问题4:余弦函数的复合函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A0,ω0)的对称轴、对称中心和单调区间(1)当ωx+φ=+kπ时,即为对称中心;(2)当ωx+φ=kπ时,即为对称轴;(3)当ωx+φ∈[-π+2kπ,2kπ]时,求得x属于的区间为区间;当ωx+φ∈[2kπ,π+2kπ]时,求得x属于的区间为区间.(注:以上k∈Z)【典型例题】要点一余弦函数的图像及应用例1画出y＝cosx(x∈R)的简图，并根据图像写出：(1)y≥12时x的集合；(2)－12≤y≤32时x的集合．解：用“五点法”作出y＝cosx的简图2(1)过0，12点作x轴的平行线，从图像中看出：在[－π，π]区间与余弦曲线交于－π3，12，π3，12点，在[－π，π]区间内，y≥12时，x的集合为x|－π3≤x≤π3.当x∈R时，若y≥12，则x的集合为x－π3＋2kπ≤x≤π3＋2kπ，k∈Z(2)过0，－12，0，32点分别作x轴的平行线，从图像中看出它们分别与余弦曲线交于－2π3＋2kπ，－12，k∈Z，2π3＋2kπ，－12，k∈Z点和－π6＋2kπ，32，k∈Z，π6＋2kπ，32)，k∈Z点，那么曲线上夹在对应两直线之间的点的横坐标的集合即为所求，即当－12≤y≤32时x的集合为：x－2π3＋2kπ≤x≤－π6＋2kπ或π6＋2kπ≤x≤2π3＋2kπ，k∈Z.规律方法：利用三角函数的图像或三角函数线，可解简单的三角函数不等式，但需注意解的完整性．跟踪演练1求函数f(x)＝lgcosx＋25－x2的定义域．解由题意，x满足不等式组cosx025－x2≥0，即－5≤x≤5cosx0，作出y＝cosx的图像．结合图像可得：x∈－5，－32π∪－π2，π2∪32π，5.要点二：余弦函数单调性的应用例2求函数y＝log(cos2x)的增区间．解：由题意得cos2x0且y＝cos2x递减．∴x只须满足：2kπ2x2kπ＋π2，k∈Z.∴kπxkπ＋π4，k∈Z.∴y＝log12(cos2x)的增区间为kπ，kπ＋π4，k∈Z.3规律方法：用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小．跟踪演练2：比较下列各组数的大小．(1)－sin46°与cos221°；(2)cos－235π与cos－174π.解：(1)－sin46°＝－cos44°＝cos136°，cos221°＝－cos41°＝cos139°.∵180°139°136°0°，∴cos139°cos136°，即－sin46°cos221°.(2)cos－235π＝cos235π＝cos4π＋35π＝cos35π，cos－174π＝cos174π＝cos4π＋π4＝cosπ4.∵0π435ππ，且y＝cosx在[0，π]上递减，∴cos35πcosπ4，即cos－235πcos－174π要点三：余弦函数值域(最值)例3：求下列函数的值域．(1)y＝－cos2x＋cosx；(2)y＝2－sinx2＋sinx.解：(1)y＝－cosx－122＋14.∵－1≤cosx≤1，∴当cosx＝12时，ymax＝14.当cosx＝－1时，ymin＝－2.∴函数y＝－cos2x＋cosx的值域是－2，14.(2)y＝4－＋sinx2＋sinx＝42＋sinx－1.∵－1≤sinx≤1，∴1≤2＋sinx≤3，∴13≤12＋sinx≤1，∴43≤42＋sinx≤4，∴13≤42＋sinx－1≤3，即13≤y≤3.4∴函数y＝2－sinx2＋sinx的值域为13，3.规律方法：求值域或最大值、最小值问题，一般依据为：①sinx，cosx的有界性；②sinx，cosx的单调性；③化为sinx＝f(y)或cosx＝f(y)利用|f(y)|≤1来确定；④通过换元转化为二次函数．跟踪演练3求函数y＝cos2x＋4sinx的最值及取到最大值和最小值时的x的集合．(提示：sin2α＋cos2α＝1)解：y＝cos2x＋4sinx＝1－sin2x＋4sinx＝－sin2x＋4sinx＋1＝－(sinx－2)2＋5.∴当sinx＝1，即x＝2kπ＋π2，k∈Z时，ymax＝4；当sinx＝－1时，即x＝2kπ－π2，k∈Z时，ymin＝－4.所以ymax＝4，此时x的取值集合是xx＝2kπ＋π2，k∈Z；ymin＝－4，此时x的取值集合是xx＝2kπ－π2，k∈Z.一、选择题1．函数y＝cosx(0≤x≤π3)的值域是()A．[－1,1]B．[12，1]C．[0，12]D．[－1,0][答案]B[解析]∵函数y＝cosx在[0，π3]上是减函数，∴函数的值域为[cosπ3，cos0]，即[12，1]．2．函数y＝cos2x－3cosx＋2的最小值为()A．2B．0C．－14D．6[答案]B[解析]y＝cosx－322－14，当cosx＝1时，y最小＝0.3．函数y＝cosx＋|cosx|，x∈[0,2π]的大致图像为()5[答案]D[解析]y＝cosx＋|cosx|＝2cosxx∈[0，π2]∪[3π2，2π]0x∈[π2，3π2]，故选D.4．方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)内()A．没有根B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根D．有无穷多个根[答案]C[解析]在同一坐标系中作函数y＝|x|及函数y＝cosx的图像，如图所示．发现有2个交点，所以方程|x|＝cosx有2个根．5．已知函数f(x)＝sin(πx－π2)－1，则下列命题正确的是()A．f(x)是周期为1的奇函数B．f(x)是周期为2的偶函数C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数[答案]B[解析]由f(x＋2)＝f(x)可知T＝2，再f(x)＝sin(πx－π2)－1＝－cosπx－1，∴f(－x)＝－cos(－πx)－1＝－cosπx－1＝f(x)．66．函数y＝cosx3＋cosx的定义域是()A．RB．{x|x≠2kπ，k∈Z}C．{x|x≠2kπ＋π，k∈Z}D．{x|x≠kπ2，k∈Z}[答案]A[解析]要使函数有意义，则需3＋cosx0，又因为－1≤cosx≤1，显然3＋cosx0，所以x∈R.二、填空题7．函数y＝cosx在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是______________．[答案](－π，0][解析]∵y＝cosx在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，∴只有－πa≤0时，满足已知条件，∴a∈(－π，0]．8．比较大小：cos－4710π________cos(－449π)．[答案][解析]cos－4710π＝cos－5π＋310π＝－cos310π，cos－449π＝cos－5π＋π9＝－cosπ9，由y＝cosx在[0，π]上是单调递减的，所以cos310πcosπ9，所以cos－4710cos－449π.三、解答题9．若函数f(x)＝a－bsinx的最大值为32，最小值为－12，求函数y＝1－acosbx的最值和周期．[解析](1)当b0时，若sinx＝－1，f(x)max＝32；若sinx＝1，f(x)min＝－12，即a＋b＝32，a－b＝－12.解得a＝12，b＝1.此时b＝10符合题意，所以y＝1－12cosx.(2)当b＝0时，f(x)＝a，这与f(x)有最大值32，最小值－12矛盾，故b＝0不成立．7(3)当b0时，显然有a－b＝32，a＋b＝－12.解得a＝12，b＝－1，符合题意．所以y＝1－12cos(－x)＝1－12cosx.综上可知，函数y＝1－12cosx的最大值为32，最小值为12，周期为2π.一、选择题1．将下列各式按大小顺序排列，其中正确的是()A．cos0cos12cos1cos30°cosπB．cos0cosπcos12cos30°cos1C．cos0cos12cos1cos30°cosπD．cos0cos12cos30°cos1cosπ[答案]D[解析]在[0，π2]上，012π61，又余弦函数在[0，π2]上是减少的，所以cos0cos12cosπ6cos10.又cosπ0，所以cos0cos12cosπ6cos1cosπ.2．函数f(x)＝－xcosx的部分图像是()[答案]D[解析]由f(x)＝－xcosx是奇函数，可排除A，C.令x＝π4，则f(π4)＝－π4cosπ4＝－2π80.故答案选D.二、填空题3．若cosx＝2m－13m＋2，且x∈R，则m的取值范围是________．8[答案](－∞，－3]∪－15，＋∞[解析]∵2m－13m＋2＝|cosx|≤1，∴|2m－1|≤|3m＋2|.∴(2m－1)2≤(3m＋2)2.∴m≤－3，或m≥－15.∴m∈(－∞，－3]∪－15，＋∞.4．设f(x)的定义域为R，最小正周期为3π2.若f(x)＝cosx－π2≤x0，sinxx，则f－154π＝________.[答案]22[解析]∵T＝3π2，∴kT＝k·3π2(k∈Z)都是y＝f(x)的周期，∴f－15π4＝f－3π2＋3π4＝f3π4＝sin3π4＝sinπ4＝22.三、解答题5．利用余弦函数的单调性，比较cos(－23π5)与cos(－17π4)的大小．[分析]利用诱导公式化为[0，π]上的余弦值，再比较大小．[解析]cos(－23π5)＝cos23π5＝cos3π5，cos(－17π4)＝cos17π4＝cosπ4.因为0π43π5π，且函数y＝cosx，x∈[0，π]是减函数，所以cosπ4cos3π5，即cos(－23π5)cos(－17π4)．6．求下列函数的定义域．(1)y＝x；(2)y＝1－2cosx＋lg(2sinx－1)．[解析](1)要使y＝x有意义，需有cos(sinx)≥0，又∵－1≤sinx≤1，而y＝cosx在[－1,1]上满足cosx0，∴x∈R.∴y＝x的定义域为R.9(2)要使函数有意义，只要1－2cosx≥0，2sinx－10，即cosx≤12，sinx12.由下图可得cosx≤12的解集为{x|π3＋2kπ≤x≤5π3＋2kπ，k∈Z}．sinx12的解集为{x|π6＋2kπx5π6＋2kπ，k∈Z}．它们的交集为{x|π3＋2kπ≤x5π6＋2kπ，k∈Z}，即为函数的定义域．7．函数f(x)＝12－a4＋acosx－cos2x(0≤x≤π2)的最大值为2，求实数a的值．[解析]令t＝cosx，由0≤x≤π2，知0≤cosx≤1，即t