高三第一轮复习椭圆

椭圆基础知识1.椭圆的定义设F1,F2，M分别为平面内的两个定点与动点，若_______________=2a，且2a＞|F1F2|，则点M的轨迹为椭圆,___________叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的_______.|MF1|+|MF2|两个定点焦距基础知识图形标准方程__________(a＞b＞0)___________(a＞b＞0)2.椭圆的标准方程和几何性质2222xy1ab2222yx1ab基础知识图形性质范围___≤x≤_____≤y≤_____≤x≤_____≤y≤__对称性对称轴：_______对称中心：_____顶点A1_______A2______B1_______B2______A1_______A2_______B1_______B2_______-aa-bb-bb-aa坐标轴原点(-a，0)(a，0)(0，-b)(0，b)(0，-a)(0，a)(-b，0)(b，0)基础知识图形性质轴长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|=2c离心率e=∈_______a,b,c的关系a2=_____(0，1)b2+c2ca对点演练1.已知△ABC的顶点B,C在椭圆𝒙𝟐𝟒+𝒚𝟐𝟏𝟐=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是.8𝟑2.已知点P是椭圆𝒙𝟐𝟓+𝒚𝟐𝟒=1上y轴右侧的一点,且以点P及焦点F1,F2为顶点的三角形的面积等于1,则点P的坐标为.𝟏𝟓𝟐,𝟏或𝟏𝟓𝟐,-𝟏对点演练3.已知椭圆𝒙𝟐𝒎-𝟐+𝒚𝟐𝟏𝟎-𝒎=1的焦点在x轴上,焦距为4,则m等于.84.椭圆的焦点坐标为(-5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距离和是26,则椭圆的方程为()(A)=1(B)=1(C)=1(D)=122xy16914422xy14416922xy1692522xy14425A对点演练5.已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A为圆上任意一点,点N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是.椭圆6.“2m6”是“方程𝒙𝟐𝒎-𝟐+𝒚𝟐𝟔-𝒎=1表示椭圆”的条件.(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”)必要不充分条件对点演练7.已知椭圆的焦点在坐标轴上,中心在坐标原点,若直线x-2y+2=0经过该椭圆的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的标准方程为.𝒙𝟐𝟓+y2=1或𝒚𝟐𝟓+𝒙𝟐𝟒=18.已知椭圆𝒙𝟐𝟗+𝒚𝟐𝟒-𝒌=1的离心率为𝟒𝟓,则k=.𝟏𝟗𝟐𝟓或-21二、考点探究探究点一椭圆的定义例1(1)已知椭圆C:𝒙𝟐𝒂𝟐+𝒚𝟐𝒃𝟐=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为𝟑𝟑,过F2的直线l交C于A,B两点.若△AF1B的周长为4𝟑,则C的方程为()A.𝒙𝟐𝟑+𝒚𝟐𝟐=1B.𝒙𝟐𝟑+y2=1C.𝒙𝟐𝟏𝟐+𝒚𝟐𝟖=1D.𝒙𝟐𝟏𝟐+𝒚𝟐𝟒=1A二、考点探究探究点一椭圆的定义（2）已知F1，F2是椭圆=1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为()(A)6(B)5(C)4(D)322xy169A二、考点探究探究点一椭圆的定义练习(1)已知椭圆𝒙𝟐𝟖+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,则|PF1|·|PF2|的最大值是()A.8B.2𝟐C.10D.4𝟐(2)已知F1,F2是椭圆C:𝒙𝟐𝒂𝟐+𝒚𝟐𝒃𝟐=1(ab0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且𝑷𝑭𝟏⊥𝑷𝑭𝟐.若△PF1F2的面积为9,则b=.A3二、考点探究探究点二椭圆的标准方程例2(1)已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍,且过点A(3,0),并且以坐标轴为对称轴,则椭圆的标准方程为.(2)设F1,F2分别是椭圆E:x2+𝒚𝟐𝒃𝟐=1(0b1)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x轴,则椭圆E的方程为.𝒙𝟐𝟗+y2=1或𝒚𝟐𝟖𝟏+𝒙𝟐𝟗=1x2+𝟑𝒚𝟐𝟐=1二、考点探究探究点二椭圆的标准方程[总结反思]根据条件求椭圆方程的主要方法有:(1)定义法:根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.(2)待定系数法:根据题目所给的条件确定椭圆中的a,b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时,一般可设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m0,n0,m≠n),不必考虑焦点位置,用待定系数法求出m,n的值即可.二、考点探究探究点二椭圆的标准方程变式题(1)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点的距离分别为𝟒𝟓𝟑和𝟐𝟓𝟑,过点P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点,则该椭圆的方程是()A.𝒙𝟐𝟓+𝟑𝒚𝟐𝟏𝟎=1B.𝒙𝟐𝟏𝟎+𝟑𝒚𝟐𝟓=1C.𝒙𝟐𝟓+𝟑𝒚𝟐𝟏𝟎=1或𝒙𝟐𝟏𝟎+𝟑𝒚𝟐𝟓=1D.𝒙𝟐𝟓+𝟑𝒚𝟐𝟏𝟎=1或𝟑𝒙𝟐𝟏𝟎+𝒚𝟐𝟓=1(2)已知椭圆的一个焦点为F(1,0),离心率为𝟏𝟐,则椭圆的标准方程为.D𝒙𝟐𝟒+𝒚𝟐𝟑=1二、考点探究探究点三椭圆的几何性质例3(1)设A,B是椭圆C:𝒙𝟐𝟑+𝒚𝟐𝒎=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是()A.(0,1]∪[9,+∞)B.(0,𝟑]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞)D.(0,𝟑]∪[4,+∞)(2)设F1,F2分别是椭圆E:𝒙𝟐𝒂𝟐+𝒚𝟐𝒃𝟐=1(ab0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,且|AF1|=3|BF1|.若cos∠AF2B=𝟑𝟓,则椭圆E的离心率为()A.𝟏𝟐B.𝟐𝟑C.𝟑𝟐D.𝟐𝟐AD二、考点探究探究点三椭圆的几何性质[总结反思]椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种常见的方法:①求出a,c,代入公式e=𝒄𝒂;②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2=a2-c2转化为a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边同时除以a或a2转化为关于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).二、考点探究探究点三椭圆的几何性质变式题(1)已知椭圆𝒙𝟐𝒂𝟐+𝒚𝟐𝒃𝟐=1(ab0)过点(3,2),当a2+b2取得最小值时,椭圆的离心率为()A.𝟏𝟐B.𝟐𝟐C.𝟑𝟐D.𝟑𝟑(2)椭圆𝒙𝟐𝒂𝟐+𝒚𝟐𝒃𝟐=1(ab0)的右焦点F(c,0)关于直线y=𝒃𝒄x的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是.𝟐𝟐D二、考点探究探究点三椭圆的几何性质(3)设F1,F2是椭圆E:𝒙𝟐𝒂𝟐+𝒚𝟐𝒃𝟐=1(ab0)的左、右焦点,P为直线x=𝟑𝒂𝟐上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为(C)A.𝟏𝟐B.𝟐𝟑C.𝟑𝟒D.𝟒𝟓二、考点探究探究点三椭圆的几何性质解析:令c=𝒂𝟐-𝒃𝟐.如图,据题意,|F2P|=|F1F2|,∠F1PF2=30°,∴∠F1F2P=120°,∴∠PF2x=60°,∴|F2P|=2𝟑𝒂𝟐-𝐜=3a-2c.∵|F1F2|=2c,∴3a-2c=2c,∴3a=4c,∴𝒄𝒂=𝟑𝟒,即椭圆的离心率为𝟑𝟒.故选C.二、考点探究探究点四直线与椭圆的位置关系例4已知椭圆C:𝒙𝟐𝒂𝟐+𝒚𝟐𝒃𝟐=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为𝟏𝟐,点A在椭圆C上,|AF1|=2,∠F1AF2=60°,过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P,Q两点,N为PQ的中点.(1)求椭圆C的方程;(2)设点M𝟎,𝟏𝟖,且MN⊥PQ于N,求直线MN的方程.二、考点探究探究点四直线与椭圆的位置关系解:(1)由e=𝟏𝟐,得a=2c.因为|AF1|=2,所以|AF2|=2a-2,由余弦定理得|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|·|AF2|cos∠F1AF2=|F1F2|2,即a2-3a+3=c2,解得c=1,a=2,所以b2=a2-c2=3,所以椭圆C的方程为𝒙𝟐𝟒+𝒚𝟐𝟑=1.(2)易知直线PQ的斜率存在,设直线PQ的方程为y=k(x-1),P(x1,y1),Q(x2,y2),二、考点探究探究点四直线与椭圆的位置关系联立𝒚=𝒌(𝒙-𝟏),𝒙𝟐𝟒+𝒚𝟐𝟑=𝟏,整理(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,由韦达定理知x1+x2=𝟖𝒌𝟐𝟑+𝟒𝒌𝟐,所以y1+y2=k(x1+x2)-2k=-𝟔𝒌𝟑+𝟒𝒌𝟐,所以N𝟒𝒌𝟐𝟑+𝟒𝒌𝟐,-𝟑𝒌𝟑+𝟒𝒌𝟐,又M𝟎,𝟏𝟖,所以kMN=𝟏𝟖+𝟑𝒌𝟑+𝟒𝒌𝟐𝟎-𝟒𝒌𝟐𝟑+𝟒𝒌𝟐=-𝟐𝟒𝒌+𝟑+𝟒𝒌𝟐𝟑𝟐𝒌𝟐.因为MN⊥PQ,所以kMN=-𝟏𝒌,可得k=𝟏𝟐或𝟑𝟐,则kMN=-2或-𝟐𝟑,故直线MN的方程为16x+8y-1=0或16x+24y-3=0.二、考点探究探究点四直线与椭圆的位置关系[总结反思]椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种常见的方法:①求出a,c,代入公式e=𝒄𝒂;②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2=a2-c2转化为a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边同时除以a或a2转化为关于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).二、考点探究探究点四直线与椭圆的位置关系练习：已知点A(0,-2),椭圆C:𝒙𝟐𝒂𝟐+𝒚𝟐𝒃𝟐=1(ab0)的离心率为𝟑𝟐,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,且𝑨𝑭𝟏·𝑨𝑭𝟐=1,O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程;(2)设过点A的动直线l与椭圆C相交于P,Q两点,当△POQ的面积最大时,求直线l的方程.二、考点探究探究点四直线与椭圆的位置关系解:(1)F1(-c,0),F2(c,0),由𝑨𝑭𝟏·𝑨𝑭𝟐=1知-c2+4=1,得c=𝟑,又𝒄𝒂=𝟑𝟐,所以a=2,所以b2=a2-c2=1,故椭圆C的方程为𝒙𝟐𝟒+y2=1.(2)当l⊥x轴时,不合题意,故可设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).将y=kx-2代入𝒙𝟐𝟒+y2=1中,得(4k2+1)x2-16kx+12=0,则Δ=16(4k2-3)0,即k2𝟑𝟒,由韦达定理得二、考点探究探究点四直线与椭圆的位置关系x1+x2=𝟏𝟔𝒌𝟏+𝟒𝒌𝟐,x1x2=𝟏𝟐𝟏+𝟒𝒌𝟐,从而|PQ|=(𝟏+𝒌𝟐)[(𝒙𝟏+𝒙𝟐)𝟐-𝟒𝒙𝟏𝒙𝟐]=𝟒𝟏+𝒌𝟐·𝟒𝒌𝟐-𝟑𝟏+𝟒𝒌𝟐.又点O到直线PQ的距离d=𝟐𝒌𝟐+𝟏,所以S△OPQ=𝟏𝟐d·|PQ|=𝟒𝟒𝒌𝟐-𝟑𝟒𝒌𝟐+𝟏,设𝟒𝒌𝟐-𝟑=t(t0),则S△OPQ=𝟒𝒕𝒕𝟐+𝟒=𝟒𝒕+𝟒𝒕,因为t+𝟒𝒕≥4,当且仅当t=2,即k=±𝟕𝟐时,等号成立,且满足Δ0,所以当△OPQ的面积最大时,直线l的方程为y=𝟕𝟐x-2或y=-𝟕𝟐x-2.