集合及其运算复习课件

知识归纳1．集合的基本概念(1)某些指定的对象集在一起就成为一个集合．其中每个对象叫做集合中的元素．集合中的元素具有确定性、互异性和无序性三个特性．(2)集合有三种表示方法：、、还可以用区间来表示集合．(3)集合中元素与集合的关系分为属于与不属于两种，分别用∈和∉来表示．列举法描述法图示法．2．集合之间的关系(1)若集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的子集，记作.(2)不含任何元素的集合叫空集，用∅表示．(3)由所有的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B.若x∈A∩B，则x∈Ax∈B.(4)由所有的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B.若x∈A∪B，则x∈Ax∈B.(5)若已知全集U，集合A⊆U，则∁UA＝{x|x∈U且x∉A}．A⊆B属于集合A且属于集合B且属于集合A或属于集合B或3．集合中的常用性质(1)A⊆B，B⊆A，则AB；A⊆B，B⊆C，则AC；(2)∅⊆A，若A≠∅，则∅A；(3)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A；(4)A∪A＝A，A∪B＝B∪A，A∪∅＝A；(5)A∩∁UA＝，A∪∁UA＝；(6)A∩B⊆A⊆A∪B；(7)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；(8)A⊆B⇔A∩B＝⇔A∪B＝.＝⊆∅UAB误区警示1．集合中元素的互异性如：设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P*Q＝{x|x＝a·b，“·”为通常的乘法运算，a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,4}，Q＝{1,2,6}，则P*Q中元素的个数是()A．9B．8C．7D．6解析：由题意可知P*Q＝{0,2,4,8,12,24}．故选D.本题易形成错解：从P中选取元素a有3种选法，对于它的每一种选法，在Q中选取b有3种选法，∴共有3×3＝9种，∴选A.2．区分数集与点集以数或点为元素的集合分别叫做数集或点集．这是我们研究的主要对象，因而研究集合必须搞清集合中的元素是什么．3．解集合之间的关系题时，不要忘了空集，正确区分交集与并集、子集与真子集(1)已知A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若BA，求实数a的值．某同学只求出了a＝13或12，还有一个值他没有求出来，你知道是几吗？(2)设M＝{x|f(x)＝0}，N＝{x|g(x)＝0}，则{x|f(x)·g(x)＝0}为()A．MB．NC．M∪ND．以上都不对解析：本题易错选C.事实上我们可举特殊函数来否定C.若设f(x)＝x－1x＋3，g(x)＝x＋3x－1，则集合{x|f(x)·g(x)＝0}＝∅.故正确选项应为D.4．解决集合的子集、交集、并集、补集关系问题时，要特别注意区间端点的值能否取到．[例]已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1x2}，且A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围是()A．a≤1B．a1C．a≥2D．a2解析：∁RB＝{x|x≤1或x≥2}，∵A∪(∁RB)＝R，∴a≥2.这里要特别注意a＝2能否取到．你会求解下列问题吗？集合A＝{x|－2≤x1}．(1)若B＝{x|xm}，A⊆B，则m的取值范围是______．(2)若B＝{x|xm}，A⊆B，则m的取值范围是______．(3)若B＝{x|xm－5或x≥2m－1}，A∩B＝∅，则m的取值范围是________．答案：(1)m－2(2)m≥1(3)1≤m≤3[例1]设全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|2x－y＋m0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，那么点P(2,3)∈A∩(∁UB)的充要条件是()A．m－1且n5B．m－1且n5C．m－1且n5D．m－1且n5解析：∵P∈A，∴m－1，又∁UB＝{(x，y)|x＋y－n0}，P∈∁UB，∴n5，故选A.答案：A点评：一般地，若a∈A，则元素a一定满足集合A中元素的共同属性．(2010·浙江萧山中学)在集合M＝{0，12，1,2,3}的所有非空子集中任取一个集合，该集合恰满足条件“对∀x∈A，有1x∈A”的概率是________．解析：集合M的非空子集有25－1＝31个，而满足条件“对∀x∈A，则1x∈A”的集合A中的元素为1、12或2，且12，2要同时出现，故这样的集合有3个：{1}，{12，2}，{1，12，2}．因此，所求的概率为331.答案：331解析：P：x＝k3＋16＝2k＋16，k∈Z；Q：x＝k6＋13＝k＋26，k∈Z，从而P表示16的“奇数倍”数组成的集合，而Q表示16的所有“整数倍”数组成的集合，故PQ.选B.答案：B[例2]设集合P＝{x|x＝k3＋16，k∈Z}，Q＝{x|x＝k6＋13，k∈Z}，则()A．P＝QB．PQC．PQD．P∩Q＝∅点评：函数值域构成的集合关系的讨论，一般应先求出其值域．如果值域与整数有关，可将两集合中的元素找出它们共同的表达形式，利用整数的性质求解或用列举法讨论．解析：∵P＝{x|y＝x＋1}＝{x|x≥－1}，Q＝{y|y≥0}，∴PQ，∴选B.答案：B(2010·广东省高考调研)集合P＝{x|y＝x＋1}，集合Q＝{y|y＝x－1}，则P与Q的关系是()A．P＝QB．PQC．PQD．P∩Q＝∅[例3](09·重庆)设U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n是3的倍数}，则∁U(A∪B)＝________.解析：U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{3,6}，∴A∪B＝{1,3,5,6,7}，得∁U(A∪B)＝{2,4,8}．答案：{2,4,8}点评：集合的运算问题要依据交、并、补运算的定义求解．(2010·辽宁理，1)已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁UB)∩A＝{9}，则A＝()A．{1,3}B．{3,7,9}C．{3,5,9}D．{3,9}解析：由题意知，A中有3和9，若A中有7(或5)，则∁UB中无7(或5)，即B中有7(或5)，则与A∩B＝{3}矛盾，故选D.答案：D[例4]已知全集I＝R，集合M＝{x||x|2，x∈R}，P＝{x|xa}，并且M∁IP，那么a的取值集合是()A．{2}B．{a|a≤2}C．{a|a≥2}D．{a|a2}解析：∵M＝{x||x|2}＝{x|－2x2}∁IP＝{x|x≤a}M∁IP，∴a≥2，如下图数轴上所示．故选C.答案：C点评：1.一般地，在处理带参数的集合之间的关系时，要把所涉及的集合表示在数轴上，借助其直观性正确判定．要特别注意是否包括分界点即a＝2.2．集合运算与不等式的联系是近年来高考的主要题型(2010·镇海中学)设全集U是实数集R，集合M＝{x|x2－40}，N＝{x|(x－2)21}，则图中阴影部分所表示的集合是()A．{x|－2x≤1}B．{x|1x≤2}C．{x|－2≤x≤1}D．{x|x≥3}解析：Venn中的阴影部分在集合M中，不在集合N中，故所表示的集合为M∩∁UN.∵M＝{x|x2－40}＝{x|－2x2}，N＝{x|(x－2)21}＝{x|1x3}，∴M∩∁UN＝{x|－2x≤1}，故选A.答案：A[例5]已知集合M＝{(x，y)|y－1＝k(x－1)，x，y∈R}，集合N＝{(x，y)|x2＋y2－2y＝0，x，y∈R}，那么M∩N中()A．不可能有两个元素B．至多有一个元素C．不可能只有一个元素D．必含无数个元素解析：y－1＝k(x－1)表示经过定点(1,1)，斜率为k的直线，不包括通过(1,1)与x轴垂直的直线即x＝1.x2＋y2－2y＝0，可化为x2＋(y－1)2＝1，表示圆心在(0,1)半径等于1的圆，又(1,1)是圆上的点，∴直线与圆有两个交点，故选C.答案：C点评：集合与平面解析几何结合是高考的又一热点，这类题型一般以集合为载体考查解析几何基本图形的性质及相互之间的关系，解题关键是抓住表达式的几何意义．解析：结合椭圆x24＋y216＝1的图形及指数函数y＝3x的图象可知，共有两个交点，故A∩B子集的个数为4.答案：A(2010·湖北理，2)设集合A＝{(x，y)|x24＋y216＝1}，B＝{(x，y)|y＝3x}，则A∩B的子集的个数是()A．4B．3C．2D．1[例6]设数集M＝{x|m≤x≤m＋34}，N＝{x|n－13≤x≤n}，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是()A.13B.23C.112D.512解析：此题虽新定义了“长度”概念，但题意不难理解，只要求出M∩N，然后再求一个式子的最小值即可；如何求M∩N呢？若真这样理解的话，就走弯路了．其实，根本用不着求M∩N；集合M的“长度”是34，由于m是一个变量，因此，这个长度为34的区间可以在区间[0,1]上随意移动；同理，集合N的长度为13且也可以在区间[0,1]上随意移动；两区间的移动又互不影响，因此M∩N的“长度”的最小值即为13－1－34＝112，故选C.答案：C点评：该题立意新颖，背景公平．对考生的思维能力和分析解决问题能力有较高的区分度．(文)设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a＋b、a－b、ab、ab∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域．有下列命题：①数域必含有0,1两个数；②整数集是数域；③若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域；④数域必为无限集；其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)解析：结合题设的定义，逐一判断，可知①④正确．①整数集是数域；②若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域；③数域必为无限集；(理)设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a＋b、a－b、ab、ab∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域；数集F＝{a＋b2|a，b∈Q}也是数域．有下列命题：答案：①④④存在无穷多个数域．其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)解析：①整数a＝2，b＝4，ab不是整数；②如将有理数集Q，添上元素2，得到数集M，则取a＝3，b＝2，a＋b∉M；③由数域P的定义知，若a∈P，b∈P(P中至少含有两个元素)，则有a＋b∈P，从而a＋2b，a＋3b，…，a＋nb∈P，∴P中必含有无穷多个元素，∴③对．④设x是一个非完全平方正整数(x1)，a，b∈Q，则由数域定义知，F＝{a＋bx|a、b∈Q}必是数域，这样的数域F有无穷多个．答案：③④※[例7]集合A＝{一条边长为2，一个角为30°的等腰三角形}，则集合A的子集的个数为()A．4B．16C．15D．无数个分析：首先搞清集合A中元素个数n，然后根据公式2n求出子集个数．解析：边长为2的边是等腰三角形的底边时，30°的角可以是三角形的底角，也可以是顶角．故这样的三角形有两个．边长为2的边是等腰三角形的腰长时，30°的角可以是三角形底角，也可以是顶角，故这样的三角形也有两个．故适合条件的三角形共有4个．所以子集个数为24＝16个．选B.答案：B总结评述：关于有限集的子集个数有如下结论：(1)若A＝{a1，a2，…，an}，则A的子集个数为2n，其中含有m(m≤n)个元素的子集个数为Cnm个，A的真子集个数为2n－1，A的非空真子集个数为2n－2个．(2)若{a1，a2…，am}⊆A⊆{a1，a2…，am，am＋1，…，an}，则A的个数为2n－m个，若{a1，a2，…，am}A⊆{a1，a2，…，am，am＋1，…，am}则A的个数为2n－m－1个，若{a1，a2，…，am}A{a1，a2，…，am，am＋1，…，an}则A的个数为2n－m－2个．(3)若{a1，a2，…，am}∪B＝{a1，a2，…，am，am＋1，…，an}，则B的个数为2m个．已知集合{1,2,3，…，100}的两个子集A、B满足：A与B的元素个数相同，且A∩B为空集．若n∈A